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la diagonale AD prise de grandeur arbitraire , l'on imagine un parallelogramme ABDC , dont les côtez DB, VC, soient sur ceux de l'angle suppolé BDC ; on verra que plus cet angle diminuera, plus cette diagonale AD augmentera , les côtez DB, DC, du parallelogramme ABDC demeurant toûjours les mêmes, & plus au contraire cet angle BDC augmentera , plus cette diagonale AD diminuera. Donc dans tous ces changemens du parallelogramme ABDC, cette diagonale AD se trouvant toûjours ( Corol. 4.) à ses côtez BD, DC, comme le sinus de fangle total BDC sera aux sinus des angles partiaux ADC, ADB.

1°. Plus cet angle total BDC diminucra , plus au contraire le rapport de son sinus à chacun des sinus de deux angles partiaux ADC , ADB, augmentesa jusqu'à fe trouver le plus grand qu'il puisse être, lorsque cet angle BDC sera infiniment aigu.

12o. Reciproquement plus.ce même angle total BDC augmentera, plus au contraire le rapport de son finus è chacun des Sinus des deux angles partiaux ADC,ADB, diminuera , jusqu'à se trouver le plus petit qu'il puisse être lorsque cet angle BDC sera infiniment obtus.

COROLL AIRE. VII. - Il suit de plus du Corol. 4. qu'en quelque rapport fini qu'un angle rectiligne fini quelconque BỐC, soit divisé par la droite AD, chacun des sinus de cet angle total, & des deux partiaux ADC, ADB, sera toujours moindre que la somme des deux autres finus. Car fi sur AD de longueur prise à volonté , & de côtez pris sur DC, DB, on fait( comme dans le précedent Corol. 6. ) le parallelogramme ABDC ; le Corol. 4.. fait voir que les finus de ces trois angles - BDC, ADC, ADB, sont entr'eux comme AD, BD, CD, vu(à cause de AC-BD ).comine les trois côtéz AD, AC, CD, du triangle ACD. Or on sçait que chacun de ces trois côtez est moindre

que

la somHe des deux autres. Donc ausli chacun des linus des

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trois angles finis BDC, ADC, ADB est moindre que la somme des deux autres sinus.

COROLLAIR E VIII. Trois lignes droites DE, DC, DA , étant menées d'un Frö. 18, même point D sur un même plan, faisant entr'elles des 19.20. angles quelconques, li par tels points H, L, K, qu'on voudra de ces trois lignes prolongées, ou non , on leur fait autant de perpendiculaires EF, FG, EG; il suit encore du Corol. 2. que ces côtez EF, FG, EG, du triangle EFG, qui en résultera , seront toûjours entr'eux comme les sinus des angles ADC, ADB, BDC, à travers desquels, ou des complemens desquels , leurs perpendiculaires DB, DC, DA , prolongées passeroient.

Car si l'on imagine PQ parallele à BD, avec laquelle, & avec AD prolongée (s'il est necessaire ) elle fasse le triangle PQD,

& que l'on prolonge BD, CD, jusqu'à la rencontre de EG ( prolongée ) en NN: les triangles EHM, DKM , rectangles ( Hyp.) en H,Ķ, ayant de plus les angles EMHEDMK , ont ausi leurs troisiéines angles MEH=MDK : de même les triangles GLN , DKN, rectangles ( Hyp.) en L,K, ayant aussi de plus les angles GNL=DNK, ont pareillement leurs troisiémes angles NGLENDK. Mais les angles MEH=GEF, MDK= BDP=DPQ, à cause de Pè fupposée parallele à BD; & les angles NGL=EGF,NDK=PDQ. Donc les angles GEF=DPQ

, EGF=PDQ, dans les triangles EFG, ŽQD, lesquels en consequence

ont leurs troisiémes angles en F, 'Q, pareillement égaux entr'eux: ce qui rend ces deux triangles semblables entr'eux ; & par consequent les trois côtez EF , FG, EG , du premier EFG, proportionnels aux trois côtez PQ, QD, PD, du second PQD de ces deux triangles ; c'est-à-dire, EF. FG. EG :: PO. QD. PD:

Or ces trois derniers côtez FQ, QD, PD, du triangle IQD, sont entr'eux / Corol. ) comme les sinus des angles PDO, DPQ, DQP, ou ( Déf. 9. Corol. 2.) ou de leurs

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complemens ADC, ADB , BDC. Donc aussi les côtéz
EF, FG, EG , du triangle EFG, sont entr'eux comme les
sinus des angles ADC, ADB, BDC, à travers desquels ,
ou des complemens defquels leurs perpendiculaires
(Hyp: )DB, DC,DA , prolongées passeroient , ainsi qu'on :
le voit avancé au commencement de ce Corollaire-ci..

COROLLA IRE IX.
Il suit ausfi du present Lem. 8. que de quelque point
E d'un des côtez AD d'un parallelogramme quelconque
ADCM , qu'on mene des perpendiculaires EG, EF , sur
la diagonale AC, & sur fon autre côté AM; cet autre
côté AM,& cette diagonale AC seront toûjours entre-
eux en raison reciproque de ces deux perpendiculaires.
EG, EF, sçavoir , EF. EG:: AC. AM. Puisque ce Lem. 8.
donne toûjours EF. EG::DH. DK:: DB. DC:: AC. AM.

Cela peut ausli le démontrer immediatement de cela. seul que

EF. EG:: DH. DK :: DB. DC:: AC. AM. On pourra tirer de ceci des consequences semblables à celles qu'on vient de tirer du present Lem. 8.cela est presentement trop facile pour s'y anéter.

COROLLAIRE X. Il suit enfin de ce dernier Corol. 9.& du present Lem. 8. que de quelque point , soit de la diagonale, ou d'un des côtez d'un parallelogramıne quelconque , qu'on mene des perpendiculaires sur les deux autres de ces trois lignes prolongées, ou non ; ces deux perpendiculaires seront toujours entr'elles en raison reciproque des deux côtez , ou d'un d'eux, & de la diagonale du parallelogramme proposé quelconque, sur lesquelles elles sont à angles droits.

LEMME IX.

1. Lorsqu'un angle d'un parallelogramme quelconque devient infiniment aigu, la diagonale qui passe par cet angle, devient égale à la somme de ses côtez..

II. Au contraire lorsque cet angle devient infiniment obtus, cette diagonale ne se trouve plus égale qu'à la difference de ces mémes côtez,

DEMONSTRATION.

PAR T. I. Suivant le Corol. 3. du Lem. 8..la diagona- Fici 21; le AD d'un parallelogramme quelconque ABDČ eft toûjours aux côtez AB, AC, de ce parallelogramme comme le finus de l'angle cocal BAC eit aux sinus des angles partiaux DAC, DAB. Mais lorsque cet angle total BAC devient infinimert aigu , fon sinus( Lem. 7. ) devient égal à la somme des finus des angles partiaux DAC, DAB. Donc aufli

pour lors la diagonale AD devient égale à la somme des côtez AB, AČ. Ce qu'il falloit 1o. démontrer.

PART. II. Imaginons le parallelogramme ABDC fait de

quatre régles AB, BD, AC, CD, mobiles autour de quatre clous qui les retiennent ensemble en A,B, D, Č, & qu'on l'écrase en pressant les deux points ou clous B, C,lun vers l'autre jusqu'à sa diagonale AD, qui s’alongera ainsi à mesure que l'autre BC s'acourcira, les côtez du parallelogramme ainsi varié demeurant toûjours les mêmes. On verra qu'à mesure que ABD, ACD, deviendront ainsi plus obtus, les côtez DB, DC, avanceront vers AD en décrivant du centre D les arcs circulaires BQ, CP, jusqu'à ce que les sommets B, C, de ces deux angles soient arrivez en Q, P, & ces côtez DB , DC, en DQ, DP, sur cette diagonale AD, dont l'allongement joint au racourcissement de l'autre BC, permettra aufli aux deux autres côtez AD, AC, d'arriver

pour lors sur elle en AQ, AP; auquel instant des angles ABD, ACD, ainsi devenus infiniment obtus, la diagonale BC sera en PQ. Donc alors BC=PQ=DP DO=DC-DB=AB-AC. Ce qu'il falloit zo: démon

les angles

trer.

COROLLA I R E I. Si l'on suppose presentement qu'un corps ou point A foit poussé ou tiré par deux puissances à la fois, dirigées fuivant les côtez AB, AC, du parallelogramme ABDC, lesquels leur soient proportionnels ; les art. 1. 2. du Corol. 1. du Lem. 3. faisant voir que ce corps ou point

A devroit alors tendre de A vers D suivant la diagonale AD de ce parallelogramme, & d'une force qui seroit à chacune de ces puissances comme cette diagonale à chacun des côtez AB, AC, qui leur sont (Hyp. ) proportionnels. La démonstration de la Part. I. de ce Lemme-ci fait consequemment voir que si l'angle BAC étoit infiniment aigu, la force du corps ou point A suivant AD; résultante du concours des puissances dirigées suivant AB , AC, seroit alors égale à la somme de ces deux puissances , & dirigée (Lem. 6. Corol. 1.) parallelement à leurs directions alors paralleles entr'elles , & en même sens que ces puissances qui tendroient alors toutes deux de A vers D, & conspireroient ainsi toạtes entieres à mouvoir en ce sens ce corps ou point A de la lomme entiere de leurs forces. COROLLA IR E II.

. Si B étoit le point ou le corps poussé ou tiré à la fois par les deux puissances précedentes dirigées presentement luivant les côtez BA, BD, du parallelogramme ABDC, qui leur sont ( Hyp. ) proportionnels ; les art. I. 2.du Corol. 1. du Lem. 3. faisant encore voir que ce corps. ou point B tendroit alors de B vers C, suivant l'autre diagonale BC de ce parallelogramme , & d'une force qui feroit à chacune de ces puissances comme cette diagonale BC à chacun des côtez BA,BD, de ce même parallelogramme ABDC ; la démonstration de la Part. 2. de ce Lemme-ci fait consequemment voir aussi ( au contraire de la démoustration de la Part. 1.) que si l'angle ABD étoit infiniment obtus, la force du corps ou point B. sui vant BC, résultante du concours de ces deux puissances,

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