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ou plûtôt reftante de la directe contrarieté qui( Lem.6. Corol. 4.) feroit alors entr'elles, ne feroit plus alors qu'égale à la difference de ces deux puiffances, & dirigée (Lem. 6. Corol. 4. ) parallelement à leurs directions alors paralleles entr'elles ou directement oppofées, & en même fens que la plus forte d'entr'elles, à qui feule leur direête contrarieté ne laifferoit que fon excès fur l'autre pour agir fur ce corps ou point B.

Ces deux Corol. 1. 2. s'accordent parfaitement avec les loix ordinaires du choc des corps, fuivant lefquelles deux donnant à la fois fur un en même fens, le poufferoient en ce fens de la Somme de toutes les forces qu'ils lui communiqueroient separément, conformément au Corol. I. Et deux donnant à la fois fur un en fens directement contraires, ne le poufferoient que de la difference de ces deux forces dans le fens de la plus grande, conformément au Corol. 2.

COROLLAIRE III.

Si l'on imagine, comme dans la démonstrat. de la Part. z. les côtez BA, BD, du triangle ABD, mobiles autour des points fixes A, D, de la bafe AD, laquelle s'allonge à mesure qu'en écrafant ce triangle vers elle, on en approche l'angle B; cette démonftration de la Part. 2. fait voir que lorfque ce fommet B fera fur cette bafe allongée AD, elle fera égale à la fomme des deux autres côtez, BA, BD, de ce triangle ABD, & chacun de ces côtez égal à la difference dont l'autre eft alors furpaffé par cet-te base: & comme ( Def. 11.) l'angle ABD du triangle de ce nom, fe trouve alors infiniment obtus, & chacun des deux autres BAD, BDA, infiniment aigu; il s'enfuit que dans un triangle réduit à un angle infiniment obtus, & à deux infiniment aigus,

1°. Que le côté oppofé à l'angle infiniment obtus, vaut la fomme des deux autres côtez.

2°. Que le côté oppofé à un angle infiniment aigu, vaut la difference des deux autres côtez.

SCHOLIE.

I. Dans la démonftrat. de la Part. 2. on vient de voir que lorfque deux angles oppofez ABD, ACD, du parallelogramme ABDC deviennent infiniment obtus par l'arrivée de leurs fommets B, C, fur la diagonale AD; cette diagonale AD, fur laquelle les deux côtez AB, BD, fe couchent alors en Q, de même que les deux autres AC, CD, en P, fe trouve alors égale à la fomme de ces côtez pris ainfi deux à deux, c'est-à-dire, qu'alors AD AB+BD ACCD. Or lorfque l'angle ABD fe trouve infiniment obtus, fon complement BAC eft (Corol. 11.) infiniment aigu. Donc forfqu'un angle BAC d'un parallelogramme quelconque ABDC devient infiniment aigu par l'arrivée de fes côtez AB, AC, fur la diagonale AD, cette diagonale fe trouve toujours alors égale à la fomme de ces deux mêmes côtez. Ce qui eft encore une nouvelle preuve très-fenfible de la Part. 1. de ce Lemme-ci, pour le cas où les fommets B, C, des angles ABD, ACD, font mobiles.

II. Pour avoir auffi de cette Part. 1. une démonftration fenfible autant que l'incompréhenfibilité de l'infini le peut être, lorfque l'angle BAC devient infiniment aigu, les deux points B, C, demeurant fixes; imaginons le parallelogramme ABDC fait des parties BA, BD, CA, CD, de quatre régles indéfinies BE, BG, CF, CH, mobiles autour de ces points fixes B, C, & qui dans leur mouvement autour de ces deux points, fe coupent toû jours en deux quelconques A, D, de la droite infinie MN, fixe à égales diftances des points auffi fixes B, C. On verra qu'à mefure que ces points de concours A, D, s'éloigneront l'un de l'autre le long de cette droite MN, les angles oppofez BAC, BDC, deviendront aigus de plus en plus, & les oppofez ABD, ACD, obtus de plus en plus; & que lorfque ces deux points de concours A, D, feront infiniment éloignez l'un de l'autre, & des points fixes B, C, les angles BAC, BDC, feront infini

ment aigus, & les deux autres (Corol. de la Déf. 11.) ABD, ADC, infiniment obtus. Or fi du centre D, & des rayons DB, DC, on a conçû deux arcs circulaires BQ, CP, variables comme leurs rayons par l'éloignement continuel de leur centre D, on verra qu'à mefure que ce centre D s'éloigne, comme le point A, des points fixes B, C, ces deux arcs deviennent moins courbes de plus en plus, jufqu'à devenir lignes droites perpendiculaires à MN, & aux deux régles de chacun des points B,C, bout à bout en lignes droites paralleles à MN, lorfque les points A, D, font infiniment éloignez l'un de l'autre, & des points fixes B, C, & que les lignes PA, PD, CA, CD, QA, QD, BA, BD, ainfi changées en infinies PM, PN, CF, CH, QM, QN, BE, BG, paralleles entr'elles, feront pour lors PA-PM-CF CA, PD=PN=CH= CD, QA QM BF BA, & QD-QN=BG=BD. Donc alors la diagonale infinie AD ( PA-+PD) CA ➡CD, & AD (QA++QD) =BA+BD; c'est-à-dire, dans ce cas-ci des points fixes B, C, comme dans celui (art. 1.)de ces deux points mobiles, que la diagonale AD d'un parallelogramme quelconque ABDC eit toûjours égale à la fomme de fes côtez CA, CD, ou BA, BD, lorfque l'angle BAC, ou BDC en eft aigu..

"

III. Les angles ABD, ACD du parallelogramme ABDC, devenant obtus comme dans le précedent art. 2. par l'écartement vers M, N, de leurs côtez autour de leurs fommets fixes B, C; on voit que la diagonale BC ne change point pendant que l'autre diagonale AD, & tous les côtez de ce parallelogramme changent comme dans cet art. 2. jufqu'à devenir infinis par cet écartement fait jufqu'au parallelifme de ces lignes entr'elles. D'où l'on voit que ce cas des angles ABD, ACD, devenus infini--ment obtus par un tel mouvement de leurs côtez autour de leurs fommets fixes B, C, n'eft point compris dans la Fart. 2. de ce Lemme-ci ; & qu'ainfi la démonstration qu'on a donnée ci-deffus de cette Part. 2. en comprend toute l'étendue.

Quant à la part. 1. elle comprend les deux cas des fommets B, C, fixes ou mobiles des angles ABD, ACD, & outre la démonftration qu'on en a donnée d'abord dans toute cette étendue, les deux précedens art. 1.2. en fourniffent encore une nouvelle plus fenfible de la même étendue.

LEMME X.

FIG. 22.23.

Soit un parallelogramme quelconque GICE, avec une li24. 25. 26. gne droite HP,pofée comme l'on voudra par rappòrt à lui, dans le même ou dans differens plans, il n'importe. Si des quatre angles ou pointes G, I, C, E, de ce parallelogramme on mene à volonté quatre plans exprimez en profil par GL, IP, CH, EV, tous paralleles entr'eux; & que de ces quatre pointes jufqu'à HP, on tire le long de ces plans autant de lignes droites GL, IP, CH, EV, lesquelles rencontrent HP en L, P, H, V, de quelque maniere que ce foit: je dis que la partie de celle-ci, par exemple, HL, comprise entre deux GL, CH, de celles-là, lefquelles partent des points GC, diagonalement oppofez, eft toûjours égale à la fomme de fes autres partics HV, HP, lorfque les points V, P, fe trouvent du même côté de H, comme dans les Fig. 21. 22. ou à la difference de ces mêmes parties HV, HP, lorfque ces points V, P, fe trouwent de differens côtez de H, comme dans les Fig. 23.24.25. deft-à-dire, HL HVHP, dans le cas des Fig. 21. 22. & HL=HV—HP, comme dans celui des Fig. 23. 24. ou HL HP-HV, comme dans la Fig. 25.

DEMONSTRATION.

Menez les diagonales IE, GC, qui fe coupent chacune par la moitié en K; & après avoir conduit par ce point K un plan encore parallele à ceux qu'on a fuppofé l'être par les pointes du parallelogramme GICE, faites tomber de ces quatre pointes ou angles G, I, C, E, quatre lignes GR, IM, CS, EN, toutes paralleleles à HP, & qui rencontrent ce dernier plan en R, M, S, N. Enfin du point Q où ce dernier plan rencontre HP,menez QK,OR,QM,QS, ON

Cela

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Cela fait, foit que ces cinq lignes en faffent plufieurs differentes, foit qu'elles fe confondent en une feule, il est clair que puifque GR, IM, CS, EN, HP, font toutes (conftr.) paralleles entr'elles.

1o. IM & PQ font dans un même plan avec PI & QM; ainfi puifque PI & QM fe trouvent dans des plans (Hyp.) paralleles entr'eux, elles feront auffi paralleles entr'elles, & par confequent MP fera un parallelogramme. On prouvera de même que RL, SH, & VN, font autant de parallelogrammes. Donc IM=PQ, GR=LQ, CS=HQ, & EN=VQ.

2. De ce que IM, EN, font (conftr.) paralleles entr'elles, il fuit auffi que les angles MIK, NEK, font égaux entr'eux, & que ces deux lignes font dans un même plan avec IE. Par confequent fi l'on mene KM, KN, ces deux lignes-ci feront auffi dans ce même plan IMEN; ainfi puifqu'elles font encore (conftr.) dans un autre plan qui paffe par KQ, elles feront la commune fection de ces deux plans; & par confequent elles ne font ensemble qu'une même ligne droite. Ce qui donnant encore les angles IKM, EKN, égaux entr'eux, il fuit manifeftement que les triangles IMK, ENK, font femblables, & que puifque IK KE, l'on aura auffi IM EN. On prouvera de même que les triangles GKR, CKS, font femblables entr'eux, & que puifque GK CK, l'on aura aufsi GRECS.

Or on vient de voir ( conftr.) que IM-PQ, EN=VQ, GR=LQ,CS=HQ. Donc (nomb. 2.) PQ=VQ, & LQ

HQ. Donc auffi LP HV. Donc enfin HL HV+ HP dans le cas des Fig. 22. 23. où V,P, fe trouvent du même côté de H; & dans celui où V, P., fe trouvent de differens côtez de H, l'on aura HL-HV-HP comme dans les Fig. 24. 25. ou HL-HP-HV, comme dans la Fig. 2.6. Ce qu'il falloit démontrer.

S'il fe trouve des Commençans qui, embarrassez par la multitude des Fig. 21. 22. 23. 24. 25. aufquelles cette démonftration convient, ayent de la peine à l'appliquer à tou

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