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ou plâtôt restante de la directe contrarieté qui( Lem. 6c Corol. 4. ) seroit alors entr'elles, ne seroit plus alors qu'égale à la difference de ces deux puissances, & dirigée s Lem. 6. Corol. 4.) parallelement à leurs directions alors paralleles entr'elles ou directement opposées , & en même fens

que. la plus forte d'entr'elles , à qui seule leur directe contrarieté ne laisseroit que son excès sur l'autre pour agir sur ce corps ou point B.

Ces deux Corol. 1. 2. s'accordent parfaitement avec les loix ordinaires du choc des corps , suivant lesquelles deux donnant à la fois sur un en même sens, le pousseroient en ce sens de la somme de toutes les forces qu'ils lui communiqueroient separément, conformément au Corol. 1. Et deux donnant à la fois sur un en sens directement contraires , ne le pousseroient que de la difference de ces deux forces dans le sens de la plus grande , conformément au Corol. 2.

COROLLAIRE III.

Si l'on imagine, comme dans la démonstrat. de la Part; 2. les côtez BA, BD, du triangle ABD, mobiles autour des points fixes A, D, de la base AD , laquelle s'allonge à mesure qu'en écrasant ce triangle vers elle, on en approche l'angle B ; cette démonstration de la Part. 2. fait voir que lorsque ce sommet B sera sur cette base allongée AD, elle sera égale à la fomme des deux autres côtez, BA,BD , de ce triangle ABD, & chacun de ces côtez égal à la difference dont l'autre est alors surpassé par cétte base:& comme ( Déf. 11.) l'angle ABD du triangle de ce nom, se trouve alors infiniment obtus, & chacun des deux autres BAD, BDA, infiniment aigu; il s'ensuit que dans un triangle réduit à un angle infiniment obtus , &à deux infiniment aigus,

1°. Que le côté opposé à l'angle infiaiment obtus, vaut : la somme des deux autres côtez.

2°: Que le côté oppofé à un angle infiniment aigu, vautla difference des deux autres côtez.

SCHOLIE. I. Dans la démonstrat. de la Part, 2. on vient de voir qne lorsque deux angles opposez ABD, ACD, du parallelogramme ABDČ deviennent infiniment obtus

par l'arrivée de leurs sommets B, C, sur la diagonale AD; cette diagonale AD , sur laquelle les deux côtez AB, BD, se couchent alors en Q i de même que les deux aultres AC, CD, en P, se trouve alors égale à la somme de ces côteż pris ainsi deux à deux, c'eit-à-dire, qu'alors AD=AB-+-BD=AG-CD. Or lorsque l'angle ABD se trouve infiniment obrus, fon complement BAC eft (.com rol. 11.) infiniment aigu. Donc lorsqu'un angle BAC d'un parallelogramme quelconque ABDC devient infiniment aigu par l'arrivée de ses côtez AB, AC, sur la diagonale AD, cette diagonale se trouve toûjours alors égale à la somme de ces deux mêmes côtez. Ce qui est encore une nouvelle preuve très-sensible de la Part. 1. de ce Lemme-ci, pour le cas où les sommets B, C, des angles ABD, ACD, sont mobiles.

II. Pour avoir aussi de cette Part. 1. une démonstrarion sensible autant que l'incompréhensibilité de l'infini le

peut être , lorsque l'angle BAC devient infiniment aigu, les deux points B, C, demeurant fixes; imaginons le parallelogramme ABDC fait des parties BA, BD, CA, CD, de quatre régles indéfinies BE, BG, CF, CH, mobiles autour de ces points fixes B, C, & qui dans leur mouvement autour de ces deux points , se coupent toûjours en deux quelconques A, D, de la droite infinie MN, fixe à égales distances des points ausli fixes B, C. On verra qu'à mesure que ces points de concours A, D, s'éloigneront l'un de l'autre le long de cette droite MN, les angles opposez BAC, BDC, deviendront aigus de plus en plus , & les opposez ABD, ACD, obtus de plus en plus ; & que lorsque ces deux points de concours A, D, seront infiniment éloignez l'un de l'autre , & des points fixes B, C, les angles BAC, BDC, seront infinimeht aigus, & les deux autres ( Corol. de la Déf. 11.) ABD , ADC, infiniment obtus. Or fi du centre D, &des rayons DB, DC, on a conçû deux arcs circulaires BQ, Cľ, variables comme leurs rayons par l'éloignement continuel de leur centre D, on verra qu'à mesure que ce centre D s'éloigne, comme le point A, des points fixes B, C, ces deux arcs deviennent moins courbes de plus en plus, jusqu'à devenir lignes droites perpendiculaires : à MN, & aux deux régles de chacun des points B, C,' bour à bout en lignes droites paralleles à MN, lorfque les points A, D, Iont infiniment éloignez l'un de l'autre, & des points fixes B, C, & que les lignes PA, PD, CA, CD, QA, QD , BA, BD, ainsi changées en infinies PM, PN, CF, CH, QM,QN, BE, BG, paralleles entr'elles, seront

pour lors PA=PM=CFSCA, PD=PN=CH= CD, QA=QM=BF=BA , & QD=QN=BG=BD. Donc alors la diagonale infinie AD ( PA+PD)=CA +CD, & AD (OA-TQD) =BA+BD; c'est-à-dire, dans ce cas-ci des points fixes B, C, comme dans celui ( art. 1. )de ces deux points mobiles , que la diagonale AD d'un parallelogramme quelconque ABDC eit toûjours égale à la fomine de ses côtez CA, CD, ou BA, BD, lorsque l'angle BAC, Ou BDC en est aigu.

III. Les angles · ABD, ACD du parallelogramme ABDC, devenant obtus comme dans le précedent art. 2. · par l'écartement vers M, N, de leurs côtez autour de leurs sommets fixes B, C; on voit que la diagonale BC ne change point pendant que l'autre diagonale AD, & tous les côtez de ce parallelogramme changent comme dans cet art. 2. jusqu'à devenir infinis par cet écartement fait jusqu'au parallelisme de ces lignes entr'elles. D'où l'on voit que ce cas des angles ABD, ACD, devenus infiniment obrus par un tel mouvement de leurs côtezautour de leurs fominets fixes B, C, n'est point compris dans la o Part. 2. de ce Lemme-ci ; & qu'ainsi la démonstration qu'on a donnée ci-dessus de cette Part. 2- en comprend. toute l'étendue.

Quant à la part. 1. elle comprend les deux cas des sommers B, C, fixes ou mobiles des angles ABD, ACD, & outre la démonstration qu'on en a donnée d'abord dans toute cette étendue, les deux précedens art. 1.2. en fournissent encore une nouvelle" plus sensible de la même étendue.

L EM ME X.

Fig.22. 23.

Soit un parallelogramme quelconque GICE , avec une li24. 25. 26. gne droite HP sposée comme l'on voudra par rapport à lui,

dans le même ou dans differens plans, il n'importe. Si des quatre angles ou pointes G,1,C, E, de ce parallelogramme on mene à volonté quatre plans exprimez en profil par GL, IP, CH, EV, tous paralleles entr'eux ; e que de ces quatre pointes jusqu'à HP, on tire le long de ces plans autant de lignes droites GL,IP, CH, EV, lesquelles rencontrent HP en 1, P, H, V , de quelque maniere que ce soit: je dis que la partie de celle-ci , par exemple, HL, comprise entre deux GL, ÇH , de celles-, lesquelles partent des points GC, diagonakement opposez, est toûjours égale à la somme de ses autres partics HV ,HP , lorsque les points V , P , se trouvent du même côté de H, comme dans les Fig. 2 1. 2 2. ou à la difference de ces mêmes parties HV, HP, lorsque ces points V, P, se trouwent de differens côtez de H, comme dans les Fig. 2 3.24. 25. c'est-à-dire, HL=H7+HP, dans le cas des Fig. 2 1. 2 2.0 HL=HV-HP ,comme dans celui des Fig. 23. 24. ou HL HP-HV, comme dans la Fig. 25

DEMONSTRATION. Menez les diagonales JE, GC, qui se coupent chacune par la moitié en K; & après avoir conduit par ce point K un plan encore parallele à ceux qu’on a Tupposé l'être par les pointes du parallelogramme GICE , faites tomber de ces quatre pointes ou angles G,1,C,E, quatre lignes GR, IM, CS, EN, toutes paralleleles à HP, & qui rencontrent ce dernier plan en R,M,S, N.Enfin du point Q ou ce dernier plan rencontre HP,menez QK, QR, QM,QS, QN

Cela

Cela fait, soit que ces cinq lignes en fassent plusieurs differentes, soit qu'elles se confondent en une seule, il est clair que puisque GR , IM, CS, EN, HP, font toutes (constr.) paralleles entr'elles.

1°.IM & PQ_sont dans un même plan avec PI & QM; ainsi puisque PI & QM se trouvent dans des plans (Hyp.) paralleles entr'eux, elles seront ausli paralleles entr'elles & par consequent MP sera un parallelogramme. On prouvera de même que RL,SH, & VN, sont autant de parallelogrammes. Donc IM=PQ, GR=LQ, CS=HQ, & EN=YQ.

20. De ce que IM, EN , sont (constr. ) paralleles entr'elles , il suit aussi que les angles MIK, NEK, font égaux entr'eux, & que ces deux lignes sont dans un même plan avec IE. Par consequent si l'on mene KM,KN, ces deux lignes-ci seront aussi dans ce même plan IMEN; ainsi puisqu'elles sont encore (constr.) dans un autre plan qui passe par KQ , elles seront la commune section de ces deux plans; & par consequent elles ne font ensemble qu'une même ligne droite. Ce qui donnant encore les angles IKM, EKŇ, égaux entr'eux, il suit manifestement

que les triangles IMK, ENK , sont semblables, & que puisque IK=KE, l'on aura aussi IMEEN. On prouvera de même que les triangles GKR, CKS, sont semblables entr'eux

& que puisque GK=CK, l'on aura aussi GRECS.

Or on vient de voir ( constr.) que IM=PQ, EN=VQ, GR=LQ, CS=HQ. Donc (nomb. 2.) PQ=VQ, &LO

HQ. Donc ansli LP=HV. Donc enfin HL=HV-+ HP dans le cas des Fig. 2 2. 2 3. où V ,P, se trouvent du même côté de H; & dans celui où V, P, se trouvent de differens côtez de H, l'on aura HL=HV-HP comme dans les Fig. 24. 25. ou HL=HP-HV, comme dans la Fig. 26. Ce qu'il falloit démontrer.

S'il se trouve des Commençans qui , embarrassez par la multitude des Fig. 21. 2 2. 23. 24. 25. ausquelles cette démonftration convient , ayent de la peine à l'appliquer à tow

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I

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