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même plan deux d'un côté, & deux de l'autre de la direction commune AO, comme elles paroiffent ici, l'on y auroit FC+HBGM+EN; puisque FC, HB, GM, EN, feroient entr'elles ( Lem. 3. part. 1.) comme les efforts des puiffances C, B, M, N, en ces deux fens, & que les deux premiers feroient ainfi diamétralement oppofez aux deux ·

autres..

DEFINITION XII.

Pour éviter les équivoques dans la fuite nous appellerons puissances libres celles qui par leur concours d'action fur un corps ou fur un point, le meuvroient effectivement comme dans le principe general, & dans les Lem. 1. 2. 3. Et lorfqu'elles en feront empêchées par quelque obftacle, ou par quelqu'autre puiffance qui, égale & directement oppofée à fleur concours d'action, les arrête toutes en équilibre avec elle fur ce corps ou fur ce point; nous les appellerons toutes puiflances forcées ou retenues. Suivant cela en appellant comme nous ferons toûjours dans la fuite) n le nombre des puiffances libres, & m celui des forcées, nous aurons toûjours alors m—n➡1.

LEMME X I.

Soient encore (comme dans le Cor. 1. du précedent Lem.10.) F10.2% par le point A dans des plans quelconques tant de parallelogrammes auffi quelconques qu'on voudra, dont le premier foit ACDB,de qui la diagonale AD foit un des cótez du fecond ADLM, de qui la diagonale AL foit auffi un des côtez du troifiéme ALPN, de qui la diagonale AP foit pareillement un des côtez d'un quatrième, & ainfi à l'infini. Par les extrêmitez C, B, des côtez AC, AB, du premier ACDB de ces · parallelogrammes foit une feconde diagonale CB, qui rencontre la premiere AD en 2; de ce point 2 par l'extrémité M du côté AM du fecond parallelogramme ADLM, foit QM qui rencontre fa diagonale AL en R de ce point R par Pextrémité N du côté AN du troifiéme parallelogramme: ALPN, foit RN qui rencontre fa diagonale AP en S,

&

toujours de même jusqu'à la derniere, laquelle foit ici AP pour ne pas aller à l'infini.

Cela fait, je dis que la partie AS de cette derniere diagonale fera à cette diagonale entiere AP, comme l'unité est au nombre des côtez non diagonaux AC, AB, AM, AN, des parallelogrammes fuppofez, ou (ce qui revient au même) comme l'unité est au nombre de ces parallelogrammes plus unā c'est-à-dire ici, AS. AP: : 1. 4.

DEMONSTRATION.

Les parallelogrammes ALPN, ADLM, ACDB, donnant NP AL, ML=AD=2×AQ, les triangles femblables ASR, PSN, & ARQ, LRM, donneront AS. SP:: AR. NP:: AR. AL:: AR: ARRL:: AQ. AQ+ML ::AQ AQ TAD: AQ. AQ-+2×AQ ::AQ. 3×AQ:: 1. 3. Donc auffi AS. AS-SP:: 1. 13. c'est-à-dire, AS. AP:: 1.4. Et ainfi dans le dernier de tout ce qu'on peut ajoûter d'autres parallelogrammes à ceux-ci de la maniere précedente: la derniere diagonale s'y trouvera toujours divifée de la maniere précedente en deux parties, dont la plus proche du point A fera à cette diagonale entiere, comme l'unité fera au nombre des côtez non diagonaux de tous ces parallelogrammes, ou ( ce qui revient au même) comme l'unité fera au nombre de ces parallelogrammes plus un. De forte que fi le nombre des côtez non diagonaux étoit, & que confequemment le nombre de ces parallelogrammes fût 1. la partie la plus proche de A de la derniere diagonale divifée en deux comme ci-deffus, feroit à cette diagonale entiere :: I.n. Ce qu'il falloit démontrer.

C'eft M. Leibrutz qui m'a fait penser à ce Lemme, dont il n'a donné que l'énoncé, avec quelques explications dans le Journal des Sçavans de 1693. pag. 417. L'usage qu'il me parut pouvoir avoir dans mon Projet d'une nouvelle Mécanique de 1687. me fit en chercher la démonftration, que je trouvai auffi-tot telle qu'on la voit ici : cetusage paroîtra dansla fuite.

COROLLAIRE

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COROLLAIRE I.

Si donc le point A, ou un corps (fans pefanteur) exprimé par A, étoit pouffé ou tiré à la fois fuivant AC, AB, AM, AN, &c. par autant de forces ou puiffances proportionnelles à ces côtez de parallelogrammes, & dirigées fuivant ces lignes; non feulement il feroit pouffé ou tiré (Lem. 3. Corol. 10.) par le concours de toutes ces puiffances enfemble fuivant la derniere diagonale AP, d'une force qui feroit à celles-là comme cette derniere diagonale aux côtez, AC, AB, AM, AN, qui leur font

Hyp.) proportionnels; mais encore cette derniere diagonale AP feroit à fa partie AS, comme le nombre des puiffances à l'unité; puifque (Hyp.) le nombre de ces puiffances feroit celui de ces côtez non diagonaux, ou celui des parallelogrammes plus un.

COROLLAIRE II.

On voit de-là fuivant ce Lemme-ci, que la derniere diagonale AP étant donnée, ou fa partie AS, il eft aisé de trouver l'une par l'autre ayant le nombre des puiffances; fçavoir ici AP=4×AS, & ASAP: mais fi l'une ni l'autre n'étoit donnée que de pofition AO, comme dans la Fig. 30. par rapport aux proportionnelles & directions AC, AB, AM, AN, &c. des puiffances appellées C, B, M, N, &c. dont le nombre foit n, il faudroit avoir recours au Corol. 3. du Lem. 10. du Lem. 10. lequel fans faire aucun parallelogramme, donneroit la derniere diagonale cherchée AP AF+AH+AG-AF, &c. en menant FIG. 176 feulement des extrêmitez des proportionnelles préceden- 28. tes les paralleles CF, BH, MG, NE, &c. fous quelque angle qu'elles rencontrent la direction donnée AO de cette diagonale cherchée AP prolongée de part & d'autre de-là le present Lem. 11. donnant ASAP, l'on auroit auffi AS AF→AH¬AG¬AE— ̈ &c fans ( dis-je ) fai

K

18. 29.

re aucun parallelogramme. D'où l'on voit fuivant le précedent Corol. 1. que l'unité feroit ici au nombre AFAHAG—AE=&c. à la der des puiffances, comme

n

niere diagonale cherchée AP, qui fe trouvera ainfi dans la Fig 28. fans y faire aucun des parallelogrammes qui l'ont donnée dans la Fig. 27. Corol. 1. du Lem. 10.

COROLLAIRE III.

Mais cela fuppofe qu'on ait la position AO de la derniere diagonale AP, par rapport aux directions données des puiffances. Prefentement pour trouver cette pofition il faut confiderer,

1o. Que BQ=CQ, ou BQ.CQ :: 1. 1. Puifque BQ. CQ:: AB. CD :: 1. 1.

2o. Que RM. RQ :: 2. 1. Puifque RM. RQ :: LM. AQ::AD. AQ :: BC. CQ ( nomb. 1):: 2. I.

3°. Que NS.RS:: 3.1. Puifque NS.RS: : NP. AR:: AL. AR:: QM. QR (nomb. 2.): : 3. 1. Et ainfi à l'infini.

D'où l'on voit que les directions AC, AB, AM, AN, &c. des puiffances C, B, M, N, &c. étant données proportionnelles à ces mêmes puiffances, fi par les extrêmitez des deux premieres AC, AB, on mene la droite BC, fon milieu Q avec A donnera la position de la premiere diagonale AD. Si l'on mene enfuite de ce point Q la droite QM à l'extrêmité M de la troifiéme proportionnelle AM, laquelle QM foit divifée en R de maniere qu'on ait RM.RQ :: 2.1. ce point R avec A donnera la pofition de la feconde diagonale AL. Si après cela du point R on mene la droite RN à l'extrêmité N de la quatriéme proportionnelle AN, laquelle RN foit divifée en S de maniere qu'on ait NS.RS: 3. 1. ce point S avec le foi t A donne a la fofition de la troifiéme diagonale Af;& ainfi à l'infini, en divifant de même en raifon reciproque de 1 à 4, la ligne qui de S fe termineroit à l'ex

trêmité d'une cinquième proportionnelle ; la fuivante en raifon reciproque de 1 à 5 ; la fuivante encore en raison reciproque de 1 à 6, & toujours de même les fuivantes, en raifon réciproque de 1 à 7, de 1 à 8, de 1 à 9, de 1 à Io, &c.

Lieu

C'eft-à-dire en general (en appellant les droites BC, QM, RN, &c. Lieux des puiffances: fçavoir ici BC, des deux puiffances C, B; QM, Lieu des trois puiffances C, B, M; RN, Lieu des quatre puiflances C, B, M, N ; &c. qu'en divifant chaque Lieu en raifon reciproque de l'unité de la puiffance, à la proportionnelle de laquelle il fe termine par un bout, au nombre des puiffances du lieu auquel il fe termine par l'autre bout, de même que RN ici divifée en SN. SR: 3.1. l'eft en raifon reciproque de l'unité de la puiffance N au nombre 3. des puiffances C, B, M, du Lieu QM: on voit, dis-je, en general que le point d'une telle divifion de chaque Lieu, donnera toujours avec A la pofition de la diagonale, fuivant laquelle fe fait le concours d'action de toutes les puiffances de ce Lieu, de même que le point S du Lieu RN ainsi divisé en ce point S, donne avec le point A la position de la diagonale AP, fuivant laquelle fe fait ici (Lem. 3. Corol. 10.) le concours d'action des quatre puiffances C, B, M, N, de ce Lieu RN.

COROLLAIRE IV.

Suivant cela, & le Corol. 2. il fera toûjours aifé de trou-, ver la pofition & la longueur de la derniere diagonale de tant de parallelogrammes qu'on voudra, faits com- F 1 9. 302 me dans le prefent Lemme 11. fans en faire aucun, ayant feulement les directions AC, AB, AM, AN, &c. des puiffances C, B, M, N, &c. proportionnelles à ces mêmes lignes: voici comment.

1°. Ces proportionnelles ayant été prifes jufqu'ici dans un ordre arbitraire, le Corol. 3. fait voir que fi par les extrêmitez C, B, de deux quelconques AC, AB, d'entr'elles on mene la droite CB; que de fon milieu Qon:

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