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mene QM à l'extrêmité M d'une troifiéme proportionnelle auffi quelconque AM, laquelle QM foit divifée en R, de maniere qu'on ait RM. RQ:: z. 1. Qu'enfuite on mene RN à l'extrêmité N d'une quatriéme proportionnelle encore quelconque AN, laquelle RN foit divifée en S, de maniere qu'on ait SN. SR :: 3. 1. l'on aura AS prolongée vers O pour la position de la derniere diagonale AP des parallelogrammes faits comme dans ce Lemme-ci, fans en faire aucun ; & ainfi de quelque autre nombre de puiffances, ou de leurs proportionnelles qu'on puiffe fuppofer. De forte que fi n étoit le nomfin : bre des puiffances, lefquelles prifes dans l'ordre précedent euffent QM pour le lieu de toutes, hors de la derniere N; l'analogie SN. SR::-1.1. donneroit AS pour la pofition AO de la diagonale du dernier des parallelogrammes faits comme dans ce Lemme-ci.

2o. La position AO de la diagonale du dernier de ces parallelogrammes étant ainfi trouvée, ce Lemme-ci donnera la longueur AP de cette derniere diagonale=4×· AS, s'il n'y a (comme ici) que trois parallelogrammes; que les quatre puiffances C, B, M, N, & en generalcette longueur fera =>AS, fi le nombre des puissances eft, ou celui des parallelogrammes —— 1.

Le Corol. 2. donnera auffi la longueur de cette der niere diagonale AFAH+AG¬AE÷&c. dans la Fr. 28. Fig. 28. fans faire aucun parallelogramme, en laissant tomber des extrêmitez des directions proportionnelles AC, AB, AM, AN, &c. des puiffances C, B, M, N, &c. autant de perpendiculaires CF, BH, MG, NE, &c. fur la pofition AO (de cette diagonale) trouvée dans le nomb. I. COROLLAIRE V.

FIG. 29.

Ce dernier Corol. 4. fournit la maniere de déterminer la route ou la direction & la force d'un corps pouffé ou tiré par le concours de plufieurs puiffances données, & dedirections données qui partent d'un même point, fans faire aucun parallelogramme. Car puifque ce corps par le con

tours de toutes ces puiffances quelconques, quelles qu'en foient les directions & le nombre, doit (Lem. 3. Corol.10.) être pouffé ou tiré fuivant la diagonale du dernier des parallelogrammes faits (comme ci-deffus) de leurs directions proportionnelles, & avec une force qui foit à chacune de ces puiffances comme cette diagonale à chacune de leurs proportionnelles ; & que le précedent Corol. 4. donne la polition & la longueur de cette derniere diagonale, fans faire aucun parallelogramme, il donnera auffi fans en faire aucun, la route ou la direction & la force du corps pouffé ou tiré par toutes ces puiffances à la fois, c'est-à-dire (Déf. 7. ) la direction commune de toutes ces puiffances, & la force réfultante de leur concours fuivant cette direction. De forte que fi ce corps eft pouffé ou F1 G30* tiré à la fois, par exemple, par quatre puiffances C, B M, N, données avec leurs directions particulieres AC, AB, AM, AN, lefquelles foient proportionnelles à ces puillances, il n'y aura qu'à mener la droite CB; enfuite de fon milieu Q mener la droite QM, laquelle foit divifée en R., de maniere qu'on ait RM.RQ: 2. 1.Après cela mener RN, qui foit auffi divifée en S, mais de maniere qu'on ait SN. SR:: 3.1. Enfin mener AS prolongée vers O, fur laquelle foit prife AP 4×AS: cette droite AP féra (Corol. 3.) de pofition & de grandeur la diagonale du dernier des parallelogrammes qui auroient été faits (comme dans ce Lemme-cì, Fig. 19.) des proportionnelles fuppofées. Donc (Lem. 3. Corol. 10.) les quatre puiffances ici fuppofées C, B, M, N, poufferont ou tireront ensemble le long de cette ligne AP ou AS le corps auquel elles font appliquées, & d'une force qui fera à chacune d'elles comme cette même AP our fa valeur 4×AS eft à chacune de leurs proportionnelles AC,, AB, AM, AN. Et ainfi de tout autre nombre de puiffances à volonté, qu'on fuppoferoit agir à la fois fur ce. corps fuivant des directions qui partiffent d'un même point.

COROLLAIRE VI.

Les divifions précedentes fuppofées des lignes CB, QM, NR, &c. en Q, R, S, &c. on voit ( Corol. 5.) que Perfort réfultant du concours des deux puillances C,B, fe feroit fuivant AQ; que le réfultant du concours des trois puiffances C, B, M fe feroit fuivant AR;que le réfultantdu concours des quatre puiffances C, B, M, N, fe feroit fuivant AS, & ainfi de tant de puiffances qu'on voudra fuppofer agir toutes à la fois fur un même point A, de quelque maniere que ce foit. Donc fuivant le Corol. 1. du principe general (fi les lieux CB, QM, NR, &c. étoient autant de verges inflexibles & fans pefanteur, aufquelles les puiffances C, B, M, N, &c. fans changer de direction, étoient appliquées comme on le voit ici) il y auroit équilibre entre les deux puiffances C, B, fur un appui placé en Q; entre les trois puiffances C, B, M, fur un appui placé en Rs entre les quatre puiffances C, B, M, N, fur un appui placé en S, & ainfi de tel autre nombre de puiffances qu'on voudra, dirigées toutes par A. D'où l'on voit ( Déf. 8.) que Qeft le centre d'équilibre des deux puiffances C, B; que R eft celui des trois puiffances C, B, M; que S eft celui des quatre puiffances C, B, M,N, &c. fur les verges ou lignes CB, QM, RN, &c. fuppofées inflexibles & fans pefanteur.

DEFINITION XIII.

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Ces points Q, R, S, &c. feront appellez dans la fuite centres principaux d'équilibre de ces puillances C, B, M, N, &c. fçavoir Q, centre principal d'équilibre des puiffances C, B; R, centre principal d'équilibre des puiffances C, B, M; S, centre principal d'équilibre des puiances C, B, M, N ; & ainfi de tout autre nombre de puillances libres dirigées toutes par le point A, fuivant quelques plans que ce foit.

DEFINATION XIV.

Les pefanteurs particulieres de toutes les parties d'un

poids quelconque pouvant être regardées (Ax. 2.) com-
me autant de puiffances qui agiffent ensemble fur lui de
haut en bas avec des forces égales à ces pefanteurs, &
fuivant les mêmes directions qu'elles; il fuit du Corol.
10. du Lem. 3. qu'il en doit réfulter à ce corps entier
une impreffion ou force totale de haut en bas, qui en
faffe la pefanteur totale, & fuivant une ligne qui ( Déf. 3.)
en foit la direction. Quelle que foit cette ligne de dire-
ation de la pefanteur d'un corps, elle s'appellera verti-
cale dans la suite ; & les perpendiculaires à celle-là, se-
ront nommées horisontales. Sien quelque fens qu'on tour-
ne ce poids, la direction de fa pefanteur paffe toujours
par un même point de ce corps, ce point s'appellera à
l'ordinaire le centre de gravité de ce
ce même

COROLLAIRE.

corps.

Le Corol. 1. du principe general fait voir qu'un poids qui auroit un tel point, quelque fituation qu'on lui donnât autour de ce point, il y demeureroit toûjours en équilibre & en repos tant que ce point feroit foutenu ou fixement arrêté, nonobitant la mobilité de ce corps autour de ce même point fixe.

On verrà dans la fuite fi un tel centre de gravité eft possi ble, & en quel fens ; c'est-à-dire, quelles doivent étre pour cela les directions des pefanteurs particulieres de toutes les parties des poids. En attendant nous ne nous fervirons point des centres de gravité, mais feulement des directions de ces poids, lefquelles fe trouvent toujours (Corol. 2. princip. gener.) être les lignes fuivant lefquelles ils demeurent fufpendus.

LEMME XII

Soit un parallelogramme quelconque MDNG, dont les Fre. 310 deux côtez DM, DN, prolongez ( s'il eft neceffaire) foient 32. rencontrez perpendiculairement en H, K, par les deux cóte HR, KR, d'un angle auffi quelconque HRK placé en méme plan. fe dis que fi HRXDM KRXDN, ou (ce qui revient au méme ) fi HR. KR :: DN. DM. La diagonale DG du pa

FIG. 33.

rallelogramme MD NG, prolongée (s'il eft neceffaire) paffera par l'angle R.

DEMONSTRATIO N.

Si l'on nie que la diagonale DG paffe par l'angle R, foit menée la droite DR,, qui foit prife pour le finus total; foit auffi prife / pour la marque ou la caracteristique des autres finus. Les angles (Hyp.) droits en H, K, donneront /HDR./KDR :: HR. KR(Hyp.):: DN. DM:: MG. DM (Lem.8. Cor. 2.) :: MDG.MGD::SMDG. SNDG. Cependant fi DG ne fe confondoit pas avec DR, l'on auroit ici HDR à SKDR en moindre raifon que (MDG à NDG; & en plus grande, fi DR y étoit de l'autre côté de DG. Donc ces deux lignes DG, DR, doivent fe confondre en une ; & par confequent la diagonale DG ainfi confondue avec DR, & prolongée, s'il eit neceffaire, paffera comme DR par l'angle R. Ce qu'il fal loit démontrer.

LEMME XIII.

Par un point D donné dans un angle donné HAG, mener une ligne droite BC, que ce point D divife en raifon donnée de màn, c'est-à-dire, en forte qu'on ait BD. DC :: m. n.

SOLUTION.

Sur AD prolongée du côté de D, foit prise DE. AD:: n.m. Soit menée EC parallele à AG, & qui rencontre AH en C; de ce point C par le donné D foit menée CD, qui prolongée rencontre AG en B: je dis que CB eft la ligne requife, c'est-à-dire, que non feulement elle paffe par le point donné D, mais encore qu'elle y eft divifée de maniere que BD. DC:: m. n. ainfi qu'il eft ici requis. DEMONSTRATION.

་་

Puifque AB, EC, font (conftr.) paralleles entr'elles, & qu'ainfi les triangles ADB, EDC, font femblables entr'eux, l'on aura ici DC. DB:: DE. DA (conftr.): nm,

Done

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