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mene QM à l'extrêmité M d'une troifiéme proportion-
nelle aussi quelconque AM, laquelle QM foit divifée
en R, de maniere qu'on ait RM. RQ:: z. 1. Qu'enfui-
te on mene RN à l'extrêmité N d'une quatrième pro--
portionnelle encore quelconque AN, laquelle RN foit
divifée en S, de maniere qu'on ait SN. SR: 3. 1. l'on
aura AS prolongée vers O pour la pofition de la dernie-
re diagonale AP des parallelogrammes faits comme dans
ce Lemme-ci, fans en faire aucun ; & ainfi de quelque
autre nombre de puiffances, ou de leurs proportionnel-
les qu'on puiffe fuppofer. De forte que fi n étoit le nom-
bre des puiffances, lefquelles prifes dans l'ordre préce-
dent euffent QM pour le lieu de toutes, hors de la der-
niere N; l'analogie SN. SR::21. 1. donneroit AS pour
la pofition AO de la diagonale du dernier des parallelo-
grammes faits comme dans ce Lemme-ci.

2o. La position AO de la diagonale du dernier de ces
parallelogrammes étant ainfi trouvée, ce Lemme-ci don-
nera la longueur AP de cette derniere diagonale =4x-
AS, s'il n'y a (comme ici) que trois parallelogrammes,
que les quatre puiffances C, B, M, N, & en general-
cette longueur fera =xAS, fi le nombre des puillances
eft, ou celui des parallelogrammes -1.

Le Corol. 2. donnera auffi la longueur de cette der niere diagonale AFAH+AG-AE÷&c. dans la Fr. 28. Fig. 28. fans faire aucun parallelogramme, en laiffant tomber des extrêmitez des directions proportionnelles AC, AB, AM, AN, &c. des puiffances C, B, M, N, &c. autant de perpendiculaires CF, BH, MG, NE, &c. fur la pofition AO (de cette diagonale) trouvée dans le nomb. I.

FIG. 29.

COROLLA IR E V.

Ce dernier Corol. 4. fournit la maniere de déterminer la route ou la direction & la force d'un corps pouffé ou tiré par le concours de plufieurs puiffances données, & de directions données qui partent d'un même point, fans faire aucun parallelogramme. Car puifque ce corps par le con

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tours de toutes ces puiffances quelconques, quelles qu'en
foient les directions & le nombre, doit (Lem. 3. Corol.10.)
être pouffé ou tiré fuivant la diagonale du dernier des
parallelogrammes faits (comme ci-deffus) de leurs dire-
ctions proportionnelles, & avec une force qui foit à cha-
cune de ces puiffances comme cette diagonale à chacune
de leurs proportionnelles ; & que le précedent Corol. 4.
donne la polition & la longueur de cette derniere diago-
nale, fans faire aucun parallelogramme, il donnera auffi
fans en faire
faire aucun, la route ou la direction & la force
du corps pouffé ou tiré par toutes ces puiffances à la fois,
c'est-à-dire (Def. 7. ) la direction commune de toutes ces
puiffances, & la force réfultante de leur concours fuivant
cette direction. De forte que fi ce corps eft pouffé ou F1 630*
tiré à la fois, par exemple, par quatre puiffances C, B,
M,N, données avec leurs directions particulieres AC,
AB, AM, AN, lefquelles foient proportionnelles à ces
puillances, il n'y aura qu'à mener la droite CB; enfuite
de fon milieu Q mener la droite QM, laquelle foit di-
vifée en R, de maniere qu'on ait RM. RQ:: 2. 1.Après
cela mener RN, qui foit auffi divifée en S, mais de ma-
niere qu'on ait SN. SR:: 3.1. Enfin mener AS prolon-
gée vers O, fur laquelle foit prife AP 4xAS: cette
droite AP féra (Corol. 3.) de pofition & de grandeur la
diagonale du dernier des parallelogrammes qui auroient
été faits (comme dans ce Lemme-ci, Fig. 29.) des pro-
portionnelles fuppofées. Donc (Lem. 3. Corol. 10.) les
quatre puillances ici fuppofées C, B, M, N, poufferont
ou tireront enfemble le long de cette ligne AP ou AS
le corps auquel elles font appliquées, & d'une force qui
fera à chacune d'elles comme cette même AP our fa va-
leur 4×AS eft à chacune de leurs proportionnelles AC,,
AB, AM, AN. Et ainfi de tout autre nombre de puif
fances à volonté, qu'on fuppoferoit agir à la fois fur ce
corps fuivant des directions qui partiffent d'un même
point.

a

COROLLAIRE V I.

Les divifions précedentes fuppofées des lignes CB, QM, NR, &c. en Q, R, S, &c. on voit ( Corol. 5.) que Perfort résultant du concours des deux puifances C,B, fe feroit fuivant AQ; que le réfultant du concours des trois puiffances G, B, M fe feroit fuivant AR;que le réfultant du concours des quatre puiffances C, B, M, N, se feroit suivant AS, & ainfi de tant de puiffances qu'on voudra fuppofer agir toutes à la fois fur un même point A, de quelque maniere que ce foit. Donc fuivant le Corol. 1. du principe general (fi les lieux CB, QM, NR, &c. étoient autant de verges inflexibles & fans pefanteur, aufquelles les puiffances C, B, M, N, &c. fans changer de direction, étoient appliquées comme on le voit ici) il y auroit équilibre entre les deux puiffances C, B, fur un appui placé en Q entre les trois puiffances C, B, M, fur un appui placé en R; entre les quatre puiffances C, B, M, N, fur un appui placé en S, & ainfi de tel autre nombre de puiffances qu'on voudra, dirigées toutes par A. D'où l'on voit ( Déf. 8.) que Qeft le centre d'équilibre des deux puiffances C, B; que R eft celui des trois puiffances C, B, M; que S eft celui des quatre puiffances C, B, M,N, &c. fur les verges ou lignes CB, QM, RN, &c. fuppofées inflexibles & fans pefanteur.

DEFINITION XIII.

Ces points Q, R, S, &c. feront appellez dans la fuite centres principaux d'équilibre de ces puillances C, B, M, N, &c. fçavoir, centre principal d'équilibre des puiffances C, B; R, centre principal d'équilibre des puissances C, B, M; S, centre principal d'équilibre des puissances C, B, M, N; & ainfi de tout autre nombre de puillances libres dirigées toutes par le point A, fuivant quelques plans que ce foit.

DEFINITION XIV.

Les pefanteurs particulieres de toutes les parties d'un

poids quelconque pouvant être regardées (Ax. 2.) comme autant de puiffances qui agiffent enfemble fur lui de haut en bas avec des forces égales à ces pefanteurs, & fuivant les mêmes directions qu'elles ; il fuit du Corol. 10. du Lem. 3. qu'il en doit réfulter à ce corps entier une impreffion ou force totale de haut en bas, qui en faffe la pefanteur totale, & fuivant une ligne qui ( Déf. 3.) en foit la direction. Quelle que foit cette ligne de dire&tion de la pefanteur d'un corps, elle s'appellera verticale dans la fuite ; & les perpendiculaires à celle-là, seront nommées horisontales. Si en quelque fens qu'on tourne ce poids, la direction de fa pefanteur paffe toujours par un même point de ce corps, ce point s'appellera à l'ordinaire le centre de gravité de ce même corps.

COROLLAIRE.

Le Corol. 1. du principe general fait voir qu'un poids qui auroit un tel point, quelque fituation qu'on lui donnât autour de ce point, il y demeureroit toûjours en équilibre & en repos tant que ce point feroit foûtenu, ou fixement arrêté, nonobitant la mobilité de ce corps autour de ce même point fixe..

On verrà dans la fuite fi un tel centre de gravité eft poffi ble, & en quel fens ; c'est-à-dire, quelles doivent être pour cela les directions des pefanteurs particulieres de toutes les parties des poids. En attendant nous ne nous fervirons point des centres de gravité, mais feulement des directions de ces poids, lefquelles fe trouvent toujours (Corol. 2. princip. gener.) étre les lignes fuivant lefquelles ils demeurent fufpendus.

LEMME XII.

Soit un parallelogramme quelconque MDNG, dont les Fr6, 316 deux côtez DM, DN, prolongez ( s'il eft neceffaire) foient 32. rencontrez perpendiculairement en H, K, par les deux cóte HR, KR, d'un angle auffi quelconque HRK placé en méme plan. fe dis que fi HRXDM=KR×DN, ou ( ce qui revient au méme ) fi HR. KR:: DN. DM. La diagonale DG du pa

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rallelogramme MD NG, prolongée (s'il eft necessaire) paffeva par l'angle R.

DEMONSTRATION.

Si l'on nie que la diagonale DG paffe par l'angle R., foit menée la droite DR,, qui foit prife pour le finus total; foit auffi prife.f pour la marque ou la caracteristique des autres finus. Les angles (Hyp.) droits en H, K, donneront /HDR./KDR :: HR. KR(Hyp.):: DN. DM:: MG. DM (Lem.8. Cor. 2.) :: SMDG./MGD::/MDG. sNDG. Cependant fi DG ne fe confondoit pas avec DR, l'on auroit ici (HDR à (KDR en moindre raifon que /MDG à NDG; & en plus grande, fi DR y étoit de l'autre côté de DG. Donc ces deux lignes DG, DR, doivent fe confondre en une ; & par confequent la diagonale DG ainfi confondue avec DR, & prolongée, s'il eit neceffaire, paffera comme DR par l'angle R. Ce qu'il fal loit démontrer.

LEMME XIII.

Par un point D donné dans un angle donné HAG, mener une ligne droite BC, que ce point D divife en raison don née de mà n,c'est-à-dire, en forte qu'on ait BD.DC:: m. n.

SOLUTION.

Sur AD prolongée du côté de D, foit prise DE. AD:: n.m. Soit menée EC parallele à AG, & qui rencontre AH en C; de ce point C par le donné D foit menée CD, qui prolongée rencontre AG en B: je dis que CB eft la ligne requife, c'eft-à-dire, que non feulement elle paffe par le point donné D, mais encore qu'elle y eft divifée de maniere que BD. DC:: m. n. ainfi qu'il eft ici requis.

DEMONSTRATION.

Puifque AB, EC, font (conftr.) paralleles entr'elles, & qu'ainfi les triangles ADB, EDC, font femblables entr'eux, l'on aura ici DC. DB:: DE. DA (conftr.): n m,

Done

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