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mene QM à l'extrêmité M d'une troisiéme proportionnelle aulli quelconque AM , laquelle QM foic divisée en R, de maniere qu'on ait RM.RQ:: 2. 1. Qu'ensuite 011 mene RN à l'extrêmité N d'une quatrieme

proportionnelle encore quelconque AN, laquelle RN soit divisée en S, de maniere qu'on ait SN. SR :: 3. 1. l'on aura AS prolongée vers O pour la position de la derniere diagonale AP des parallelogrammes faits comme dans ce Lemme-ci, fans en faire aucun ; & ainsi de quelque autre nombre de puissances , ou de leurs

proportionnels les qu'on puisse supposer. De sorte que li n étoit le nombre des puiffances, lesquelles prises dans l'ordre précedent eussent QM pour le lieu de toutes , hors de la derniere N; l'analogie SN.SR::9–1. 1. donneroit AS

pour la position AO de la diagonale du dernier des para lielogrammes faits comme dans ce Lemme-ci.

2°. La position AO de la diagonale du dernier de ces parallelogrammes étant ainsi trouvée, ce Lemme-ci donnera la longueur AP de cette derniere diagonale=4* AS, s'il n'y a (comme ici) que trois parallelogrammes, que les quatre puissances C, B, M, N ; & en generalcette longueur lera =nxAS, fi le nombre des puiilances est=», ou celui des parallelogrammes = .

Le Corol. 2. donnera aussi la longueur de cette der

niere diagonale =AF+AH+AG-AE+&c. dans la ra. 28. Fig. 28. lans faire aucun parallelogramme , en laillant

tomber des extrêmitez des directions proportionnelles AC, AB, AM, AN, &c. des puillances C, B,M,N, &c. autant de perpendiculaires CF, BH , MG , NE, &c. sur la position AO (de cette diagonale) trouvée dans le nomb. I.

COROLLA IR E V.. Ce dernier Corol. 4. fournit la maniere de déterminer la route ou la direction & la force d'un corps poussé ou tiré par le concours de plusieurs puissances données, & de directions données qui partent d'un même point, sans faire aucun parallelograinme. Car puisque ce corps par le con

II. 29.

FIG. 300

tours de toutes ces puissances quelconques , quelles qu'en
soient les directions & le nombre, doit (Lem. 3. Corol. 10.)
être poussé ou tiré suivant la diagonale du dernier des
parallelogrammes faits ( comme ci-dessus ) de leurs dire-
&tions proportionnelles, & avec une force qui soit à cha-
cune de ces puissances comme cette diagonale à chacune
de leurs proportionnelles ; & que le precedent Corol. 4.
dunne la polition & la longueur de cette derniere diago-
nale, sans faire aucun parallelogramme, il donnera aussi
sans en faire aucun, la route ou la direction & la force
du corps poussé ou tiré par toutes ces puiilances à la fois,
c'est-à-dire ( Dif: 7:) la direction commune de toutes ces
puissances , & la force résultante de leur concours suivant
cette direction. De sorte que si ce corps est poussé ou
tiré à la fois , par exemple, par quatre puissances C, B
M,N, données avec leurs directions particulieres AC,
AB, AM, AN , lesquelles soient proportionnelles à ces
puillances , il n'y aura qu'à mener la droite CB ; ensuite
de son milieu Q mener la droite QM , laquelle soit di-
visée en R, de maniere qu'on ait RM.RQ:: 2. 1. Après
cela mener RN; qui foit aussi divisée en S, mais de ma-
niere qu'on ait SN.SR :: 3. 1. Enfin mener AS, prolon-
gée vers O, sur laquelle soit prise Af=4XAS: certe
droite AP séra ( Corol

. 3.) de position & de grandeur la diagonale du dernier des parallelogrammes qui auroient été faits ( comme dans ce Lemme-ci, Fig. 29.) des

proportionnelles supposées. Donc ( Lem. 3. Corol. 10.) les quatre puissances ici supposées C, B, M, N, pousseront: ou tireront ensemble le long de cette ligne AP ou AS le corps auquel elles sont appliquées, & d'une force qui sera à chacune d'elles comme cette même AP ou sa valeur 4xAS elt à chacune de leurs proportionnelles AC, AB, AM, AN. Et ainsi de tout autre nombre de puisa sances à volonté, qu'on supposeroit agir à la fois sur ce. corps suivant des directions qui partissent d'un même point.

ز

COROLLA I R E V I. Les divisions précedentes supposées des lignes CB, QM, NR, &c. en Q,R,S, &c. on voit ( Corol

. s. ) que l'effort rélultant du concours des deux puillances C, B, fe fervit luivant AQ; que le résultant du concours des trois puissances C, B, M ile feroit suivant AR;que le résultant du concours des quatre puissances C, B, M, N, se feroit suivant AS, & ainsi de tant de puissances qu'on voudra supposer agir toutes à la fois sur un même point A, de quelque maniere quece soit. Donc suivant le Corol. 1. du principe general ( si les lieux CB , QM, NR , &c. étoient autant de verges inflexibles & fans pesanteur , ausquelles les puissances C, B,M,N, &c. fans changer de direction, étoient appliquées comme on le voit ici) il y auroit équilibre entre les deux puissances C, B, sur un appui placé en Q ; entre les trois puissances C, B, M, fur un appui placé en R; entre les quatre puissances C, B, M, N, sur un appui placé en S, & ainsi de tel autre nombre de puissances qu'on voudra, dirigées toutes par A. D'où l'on voit ( Déf. 8.) que Q est le centre d'équilibre des deux puissances C, B; que R est celui des trois puissances C, B,M;que S est celui des quatre puissances C, B, M,N, &c. sur les verges ou lignes CB , QM, RN, &ç. fupposées inflexibles & sans pesanteur.

DEFINITION XIII. Ces points Q, R, S, &c. seront appellez dans la suite centres principaux d'équilibre de ces puissances C, B,

M, N, &c. fçavoir e, centre principal d'equilibre des puissances C, B; R, centre principal d'équilibre des puissances C, B,M; S, centre principal d'équilibre des puissances C,B, M, N ; & ainsi de tout autre nombre de puissances libres dirigées toutes par le point A , suivant quelques plans que ce soit.

DEFINITION XIV. Les pesanteurs particulieres de toutes les parties d'uj

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ز

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poids quelconque pouvant être regardées ( Ax. 2.) comme autant de puissances qui agissent enseinble sur lui de haut en bas avec des forces égales à ces pesanteurs, & suivant les mêmes directions qu'elles ; il suit du Corol. 10. du Lem. 3. qu'il en doit résulter à ce corps entier une impression ou force totale de haut en bas, qui en falle la pesantcur totale , & fuivant une ligne qui ( Déf: 3.) en soit la direction. Quelle que soit cette ligne de dire&tion de la pesanteur a'un corps , elle s'appellera verticale dans la suite ; & les perpenaiculaires à celle-là, seront nommées horisontales. Sien quelque sens qu’on tourne ce poids, la direction de sa pesanteur passe toujours par un même point de ce corps , ce point s'appellera & l'ordinaire le centre de gravité de ce même corps.

COROLLA IR E. Le Corol. 1. du principe general fait voir qu'un poids qui auroit un tel point, quelque situation qu'on lui donnât autour de ce point, il y demeureroit toujours en équilibre & en repos tant que ce point seroit fuútenu ou fixcinent arrêté , nonobitant la mobilité de ce corps autour de ce même point fixe. · On verrà dans la suite si un tel centre de gravité est possible, & en quel sens ; c'est--dire , quelles doivent étre pour cela les directions des pesanteurs particulieres de toutes les parties des poids. En attendant nous ne nous servirons point des centres de gravité, mais seulement des directions de ces poids, lesquelles se ti ouvent toujours ( Corol. 2. princip. gener. ) étre les lignes suivant lesquelles ils demeurent juspendus.

LEM ME XII. Soit un parallclogramme quelconque MDNG , dont les F.16.3 deux cótez DM, DN, prolongez f s'il est necessaire ) soient 32, rencontrez perpendiculairement en H , K , par les deux cótez HR, KR, d'un angle aussi quelconque HRK placé en méme plan. fe dis que ji HRÖDM=KRXDN, 04 ( ce qui revient Au méme )si HR.KR::DN. DM. La diagonale DG du pa

rallelogrammc MDNG, prolongée (s'il est necessaire ) pallora, par l'angle R.

DEMONSTRATION. Si l'on nie que la diagonale DG passe par l'angle R., soit menée la droite DR , qui soit prise pour le sinus total; soit aussi prise.S pour la marque ou la caracteristique des autres sinus. Les angles ( Hyp.) droits en H, K, donperont (HDR.SKDR::HR. KR (Hyp.):: DN. DM::MG. DM:(Lem.8. Cor.2.) :: SMDG.SMGD::SMDG. SNDG. Cependant si DG ne le confondoit pas avec DR , l'on auroit ici SHDR à SKDR en moindre raison que (MDG à SNDG; & en plus grande, fi DR y étoit de l'autre côté de DG. Donc ces deux lignes DG, DR, doivent se confondre en une ; & par consequent la diagonale DG ainsi confondue avec DR , & prolongée, s'il eit neçeslaire, passera comme DR par l'angle R. Ce qu'il fal. loit démontrer.

LEMME XIII.

F46.33.

Par un point D donné dans un angle donné HÆG , mbner une ligne droite BC, que ce point D divise en raison,don pée de m à n, c'est-à-dire , en sorte qu'on ait BD.DC:: m. n.

SOLUTION. Sur AD.prolongée du côté de D, soit prise DE. AD:: 1.m. Soit menée EC parallele à AG , & qui rencontre AH en C; de ce point C par le donne D soit menée CD, qui prolongée rencontre AG en B: je dis

que

CB est la ligne require, c'est-à-dire, que non seulement elle palle par le point donné D, mais encore qu'elle y est divisée de maniere que BD. DC:: m.n. ainsi qu'il est ici requis.

DEMONSTRATION. Puisque AB, EC, sont (constr. ) paralleles entrelles, & qu’ainli les triangles ADB , EDC, sont semblables enfreux, l'on aura ici DC. DB:: DE.DA (constr.)::: n. m.

Donc

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