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Donc ( en renversant ) BD. DC::m. n. Ce qu'il falloit
faire de démontrer.

LEM ME XI V.
Deux points A, B, étant donnez à volonté, mener du pre-

Fi&.36 mier A deux lignes AD, AC, de grandeurs données P, Qi & du second B, une ligne BC , laquelle foit diviséc en D, C, par ces deux-, en raison donnée de mà n : c'est-à-dire , en sorte qu'on ait ici tout à la fois AD=P, AC-214 BD. DC :: m. n.

SOLUTION Soit menée AB par les deux points donnez A, B, & sur elle prolongée du côté de B, soit prise AE. AB :: n.m Des centres A, E, & des rayons AF="***P, EF=Q. soient décrits deux arcs de cercles qui se coupent en F; ensuite après avoir mené AC, FC, paralleles à EF, EA, & qui se coupent en C, soit menée BC, que la droite AF coupe en C. Cela fait, je dis que AC=Q, AD=P, que BD.DC::m.n.ainsi qu'il est ici requis.

DEMONSTRATION. Car le parallelogramme AEFC résultant de cette construction, rendairt ACEEF ( Hyp.) =Q, CF=AE, & les triangles ADB, FDC, semblables entr'eux , donne premierement AC=Q ; secondement , FD. AD:: FC. AB :: AE. AB (constr.) :: n.m. D'où résulte ( en composant ) matn. m:: AF ( ** xP). AD=P. Troisiémement enfin BD. DC:: AB. FC:: AB. AE ( constr.) :: m. . Donc cette même construction donnera ici tout à la fois AC=Q, AD=P, & BD.DC::m.n. Ce qu'il falloit

&

montrer.

LEM ME XV. Soit une ligne droite Xo mobile autour d'un de ses points F16:35 B fixe, qui la divise en deux branches ou parties BX,BO, telles 364

L

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82

MECANIQUE. qu'on voudra : imaginons-la se mouvoir de Xo en autout de ce point fixe B. Par un autre point quelconque A soient menées des points X , x, 0,w, les quatre droites XA, XA, 0 A,WA, sur lesquelles du point B tombent autant de perpendiculaires BD, Bd, BP, Bp. Je dis que la branche Bx qui se sera ainsi approchée du point A en Bx »pendant que l'autre BO (moindre , plus grande , ou égale à elle ; il n'importe) s'ens sera éloignee en Bo, donnera toujours BP.BD > Bp. Bd. c'està-dire , BP à BD en plus grande raison que Bp à Bd.

DEMONSTRATION..

Après avoir pris Xb, xß, chacune égale à BO oud Ba sur OX,wx , soient menées bm, Bre, perpendiculaires sur AX, Ax , prolongées s'il en est besoin. Cela fait,

1°. En prenant lw ou son égale Bx pour le sinus total, l'on aura (Def. 9. Corol. 1.) éu à Bp comme le sinus de l'angle Bide ett au sinus de l'angle Bup, ou ( Dif. 9. Corol

. 1. ) comme le sinus de l'angle BxÅ est au finus de l'ange LwA;& confequemment ausli ( Lem. 8.. Corol. 2.) comme Awest à Ax, c'est-à-dire, Riu. Bp :: Aw. Ax. Mais les triangles ( conft:. ) semblables Bxd, BXll, donnant Bd. 24:: BX.Rx (constr.) :: BX. BO. Donc ( en multipliant par ordre ) Ed. Bp:: BXxAw. BOxAx. 2°. En prenant encore BO ou son égale bX pour

le fie nus total, l'on aura de même ( Déf. 9. Corol. 1.) BP à bm comme le sinus de l'angle BOP est au sinus de l'angle bXm; & consequemment aussi ( Lem. 8. Corol. 2. ) comme AX est à AO, c'est-à-dire, BP.bm:: AX. AO. Mais les triangles (constr.) semblables bmX, BDX, donnent bm. BD::6X.BX ( constr.) :: BO. BX. Donc (en multipliant par

ordie) BP.BD:: BOXAX.BXXAO. Ces nomb. 1. 2. donnant ainsi Pd. Bp:: BXxAw.BOxAx. Et BP.ED:: BOxAX. BXxAO. l'on aura ( en multipliane parordre ) BPxBd. BDxBp::EOxAXxBXxAw. EXXAOX BOXAx:: AXxAw. AOXAx. Mais la construction donnane AX> Ax, & Aw> AO, donne pareillement. AXX

Aw > AOxAx. Donc aussi BPxBd> BDxBp; & par consequent BP. BD > Bp. Bd. Ce qu'il falloit démontrer.

AUTRE DEMONSTRATION. Soit menée la droite BA, & pour abreger nos expresfions , soit Sla caracteristique des fimus , en sorte que /BAO, SBAX, &c. signifient les finus des angles BAO, BAX, &c. Cela posé, le Corol. 2. du Lem. 8. donnera BO. AO:: /BAO. SABO. Le même Corol. 2. du Lem. 8. donnera aussi AX. BX :: SABX. SBAX ( Déf. 9. Corol. 2.) :: SABO.SBAX. L'on aura de plus AO. AX :: AO.AX. Donc (en multipliant ces trois analogies par ordre) l'on aura BO. BX :: ÂOxfBAO. AX</BAX. Parun semblable raisonnement on trouvera de même Bw. Bx:: Awx/BAW. Axx/BAx. Mais ( Hyp.) BO.BX::P«. Bx. Donc aussi AOX/BAO. AXxsBAX:: AwxsBAW. Axx/BAx. Et consequemment AOxAxx

(BAOX/BAX=AXxAwxSBAXX SBAw; d'où résulte AXxAw. AOxAx:: /BAOxSBAx. JBAX</BAw. Mais la contruction donnant AX> Ax, & Aw> AO , donne XxAw > AQxAx. Donc aussi JBAO</BAx>SBAX</BAw. Or en prenant AB pour Je sinus toral, l'on aura ( Déf. 9. Corol. 1. ) BP=SBÃO, BD=SBAX, Bp=/BA, & Bd=>BAx. Donc BPxBd> BDxBp. Par consequent BP.BD > Bp. Bd. Ce qu'il falloit encore démontrer.

TROIS I E'ME DEMONSTRATION.
Toutes choses demeurant les mêmes , le Corol. 2. du
Lem. 8. donnera ,

1°. SBAw. SAwB::Bw. AB (constr.) :: BO. AB.
-2°. SAwB. sAxB::Ax. Aw.
. AxB.BAx:: AB. Bx (com/tr. :: AB. BX.

Donc ( en multipliant par ordre ) SBAw. BAX:: BOX Ax. AwxBX. ou/BAX./BAw:: AwxBX.BOXAx. On trouvera de même /BAO. BAX:: BOXAX. AOxBX. (Donc en multipliant encore par ordre ! SBAOx/BAx. SBAXX SBAw:: BOXAXxAwxBX. AOxBXxBOXAx::

AXXAw. AOxAx , c'est-à-dire , AXxA.. AOxAx::
SBAOR/BAx. /BAX</BAw.comme dans la précedente
Démonstration 2. Ce qui donnera ici comme la BP. BD>
Bp. Bd. Ce qu'il falloit encore démontrer.

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je dis,

FIG. 37.

38.39)

FIG. 40.

Si sur les deux côtez contigus AB, AC, d'un parallelo& suivantes gramme quelconque ABDC , & sur la diagonale AD , qui. . jusqu'à 49. passe par l'angle BAC ( que j'appelle capital ) compris entre

ces deux côtez AB, AC, on fait autant de triangles ASB, ASC, ASD, d'un sommet commun s donné à volonté artre que le point A , sur le plan de ce parallelogramme ABDC »

1. Que lorsque ce point s sera dans le complement ( à deux droits ) BAF ou CAF de l'angle capital BAC , comme dans les Fig. 37. 38. 39. Le triangle ASD construit sur la diagonale AD du parallelogramme proposé ABDC ,.Jera toûjours

. égal à la somme des deux autres triangles ASC, ASB , construits sur les côtez AC, AB , de cet angle capital B AC, c'est-à-dire , qu'alors on aura toûjours ASD=ASC+ASB.

II. Que lorsque le point donné s sera dans l'angle capital 41. 42. 43. BAC, ou dans son opposé E AF , comme on le voit dans les

Fig: 40.41.42.43. Le triangle ASD sera toujours égal à la difference des deux autres ASC, ASB, desquels le plus petit aura pour base le côté qui avec la diagonale fait des angles opposez, dans l'un desquels le point s se trouve ,com-me ici le triangle ASB-, dont la base est le coté AB , qui avec la diagonale AD , forme les angles opposez DAB , KAE, dans un desquels ce point s se trouve i c'est-à-dire , qu'alors on. aura par tout ici ASD=ASC-ASB.

III. Que lorsque le point s sera sur un des côtez (prolonou non) de l'angle capital BAC du parallelogramme ABDC, comme on le voit sur AB dans les Fig. 44. 45. 46. Le triangle ASD sera toûjours égal à celui qui aura pour bafe l'autre côté contigu Ác de ce parallelogramme i c'est-à-dire a qu'alors on aura toujours ici ASD=ASC.

FIG. 44.

45. 46.

IV. Que frenfin le point s est sur la diagonale AD ( pro- F 163486 longée ou non) comme dans les Fig. 47. 48. 49. l'on aura 48.4%. toujours ASB=ASC.

DEMONSTRATION. Préparation pour tous les cas. Si du sommet commun S P10?37

& suivantes des trois triangles ASD, ASB, ASC, dont il est ici que- jusqu'à 49 stion , l'on mene SG perpendiculaire en G, H, aux côtez paralleles AC , BD , du parallelogramme ABDC ; l'on aura GS, GH, HS, pour les hauteurs des triangles ASC, BAD,BSD, au-dessus de leurs bases AC, BD, perpendiculaires ( constr.) à ces hauteurs. Par consequent on aura leurs aires ASC=ACxGS , BAD=BDxGH ACxGH ,BSD=ACxHS; ce qui donne,

1°. BAD-+BSD= ACxGH+ ACxHSS ACx GH+HS ( dans les Fig. 37. 39. 40.42. 44. 47.) = ACxGS=ASC.

2°. BAD-BSD= ACxGH-ACxHS= ACx GH-HS ( dans les Fig. 3 8. 39.41.42.45.48.)= ACxGSSASC.

3o. BSD-BAD= ACxHS--ACxGH=ACx: HS-GH ( dans les Fig. 43. 46. 49.) = ACxGS=

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ASC. Or,

38. 39

PART. I. Les Fig. 37. 39. donnent ASD=ASE + Fis:777 BAD-7BSD, & les Fig. 38. 39. donnent ASD=ASB +BAD-BSD. Donc ( prep.nomb. 1. 2. ) ce cas du joint S dans le com lement BAF de l'angle capital BAC, comme on le voit dans les Fig. 37. 38. 39. donnera toûjours ASD=ASE+ASC.. Ce qu'il falloit 1o. démontrer.

PAR T. II. Les Fig. 40.42. donnent ASD=BAD of F1 6:40.BSD-ASB,les Fig. 41.42. donnent ASD=-BAD-BSD 41. 42. 435. LASB, & la Fig. 43. donne ASD=BSD-BAD-ASB. Donc ( prep.nomb. 1. 2. 3. ) ce cas du point S dans un des: angles oppofez DAB, KAE, comme on le voit dans les

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