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S:46.

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&o 49.

Fig. 40. 41. 42. 43. donnera toujours ASD=ASC-
ASB. Ce qu'il falloit 2°. démontrer.

On trouveroit de meme ASD=AS B-ASC, si s étoit dans un des angles opposez. DAC, KAF.

PART.III. La Fig. 44. donne ASD=BAD +BSD, la Fig. 45. donne ASD=BAD-BSD, & la Fig. 46. donne AŠD=BSD-BAD. Donc ( prep.nom. 1. 2. 3. ) ce cas du point S sur le côté AB prolongé de l'angle capital BAC, comme on le voit dans les Fig. 44.45:46. donnera toûjours ASD=ASC. Ce qu'il falloit 3o. démontrer.

On trouveroit de même ASD=ASB, si le point S étoit quelque part sur l'autre côté AC prolongé.

PART. IV. La Fig. 47. donne ASB=BAD-7-BSD; la Fig. 48. donne ASB=BAD-BSD, & la Fig. 49. donine ASB=BSD-BAD. Donc (prep.nomb. 1.2.3.) ce cas du point S placé quelque part sur la diagonale AD prolongée, comme on le voit dans les Fig. 47. 48.49. donnera toûjours ASB-ASC. Ce qu'il falloit 4o. démontrer.

COROLLAIRE I. Si presentement du point S on mene SM , SN, perjusqu'à 48.

pendiculaires en M, N, sur AB, AD, prolongées, s'il est necessaire, comme SG est (constr.) perpendiculaire en G sur AC prolongée ; l'on aura les aires triangulaires ASD = ADxSN, ASB=ABxSM , & ASC-ACxSG.Or,

1°. La Part. 1. donne ASD=ASB-ZASC dans les Fig. -38.39.

37:38.39. qui ont le point S dans le complement BAF de l'angle capital BAC. Donc en ce cas on aura toûjours

ADxSN= ABRSM + ACxSG , ou ADxSN=ABX SM-tACXSG.

On trouveroit la même chose, de la même maniere, si S étoit dans l'autre complement CAE de l'angle capital BAC.

zo. La Part. 2. donne ASD=ASC-ASB dans les Fig. €5.42. 43. 40. 41. 42. 43. qui ont le point S dans un des angles

oppotez DAB, KAE. Donc en ce cas on aura toujours

Br.8.37.
& suivantes

F10 37.

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PADxSNSACxSG-ABxSM,ou ADxSN=ACxSG

ABXSM.

On trouveroit de même ADxSN=ABxSM-ACxSG, fi le point S étoit dans un des angles opposez DAC, KAF.

3o. La Part. 3.donne ASD=ASC dans les Fig. 44. 45. F 16:44 46. qui ont le point S sur le côté AB prolongé ou non, 45. 46. de l'angle capital BAC. Donc en ce cas on aura toûjours ADRSN=ACxSG., Ou ADxSN=ACxSG. 4o. La Part. 4. donne ASB=ASC dans les Fig. 47.48. F16.472"

48.490 49. qui ont le point S sur la diagonale AD prolongée ou non. Donc en ce cas on aura toûjours : ABxSM= ACX SG, ou ABxSMACxSG.

COROLL AIRE II.

Puisque ( Corol. 1. nomb: 3:) ADxSN=ACxSG dans le F16.44.88 cas du point S pris ou donné lur le côtér AB prolongé suivantes

jusqu'à 49. ou non , de l'angle capital BAC, comme dans les Fig. 44.45.46. & que ( Corol. 1: nomb. 4.) ABRSM=ACX SG dans le cas de ce point S pris sur la diagonale AD prolongée ou no«', du parallelogramme quelconque ABDC, menée par cet angle capital BAC, comme dans les Fig. 47.48.49. On voit que dans le premier de ces deux cas on aura toujours SG.SN:: AD. AC. Et dans le second, SG.SM:: AB. AC. D'où l'on voit en general que fi d'un point S, pris ou donné à volonté sur un des côtez AB, AC,ou sur la diagonale AD ( qui passe par : leur angle BAC) d'un parallelogramme quelconque ABDC, on mene deux perpendiculaires sur les deux : autres de ces trois lignes prolongées ou non ; ces deux perpendiculaires seront toujours entr'elles en raison reciproque des deux côtez, ou d'un d'eux, & de la diagonale du parallelogramme propofé quelconque, sur lefquels ces deux perpendiculaires sont à angles droits

FIG: 39.

TIG.39

42.

C'est ce qu'on a déja vù autrement démontré dans le
Corol. 10. du Lemme 8.

SCHOLIE. Ce n'a été que pour démontrer par la même méthode 42. & lui- tous les cas du present Lem. 16. qu'on a employé dans vantes jurqu'à 49.

tous la perpendiculaire SG au côté AC de l'angle capital BAC ; car on peut aiséinement s'en passer dans les cas des Fig: 39.42. 44. 45. 46. 47, 48.49. & même la démnonitration en sera plus simple que par cette voye generale. En effet,

1°. Dans les Fig. 3 9. 42. les triangles ASC, BAD, de bases égales AC, BD, & compris entre ces mêmes paralleles , étant ainsi égaux entr'eux, l'on aura tout d'un coup ASD=ASB+AD=ASB-+ASC dans la Fig. 39. & ASD=BAD-ASB=ASC-ASB dans la Fig. 42. le tout conformément à ce qu'on a trouvé de l'autre maniere

pour ces deux Fig. 39.42. dans les démonstrations des Part. 1. 2.

2°. Dans les Fig. 44:45.46. les triangles ASD, ASC, étant sur mêmes bases AS, & entre mêmes paralleles AS, CD ;'on voit encore plus promptement que ces deux triangles sont égaux entr'eux, conformément à ce qu'on en a trouvé dans la démonstration de la Part. 3.

39. Dans les Fig. 47.48.49.les triangles égaux ABD, ACD, ayant des hauteurs égales sur leur base commune AD, & ces hauteurs étant aussi celles des triangles ABS, ACS, sur leur base commune AS : ces deux derniers triangles seront auili égaux entr'eux, conformément à ce qu'on en a trouvé pour ces trois Fig. 47:48.49. dans la démonstration de la Part. 4.

L EM ME X VII. he.so. st.

Si plus de deux puissances B, C, D, E,F,G, &c. fone appliquées à autant de cordons attache7 ensemble par un seul & même næud commun A, que rien autre chose ne retient, Péquilibre est impossible entre ces puissances ( quelles qu'elles

Joient,

Tic. 44: 45. 46,

FIG. 47 48. 49.

$1.

soient, & quel qu'en soit le nombre ) lorsqu'elles sont dirigées de maniere qu’un plan RS puisse passer par ce næud commun A de leurs cordons, sans passer entr'elles ou entr'eux , ou sans qu'elles soient toutes dans ce plan, c'est-à-dire , sans diviser auTun des angles que ces cordons font entreux, & sans qu'ils soient tous dans ce même plan.

DEMONSTRATION. Il est visible qu'un plan RP, qui rencontreroit ainsi en 11.sæi A tous les cordons des puissances supposées auroit toutes ces puissances tirantes d'un seul côté par rapport à lui, comme dans la Fig. so. ou quelques-unes tirantes vers ce seul côté-là, pendant que toutes les autres tireroient suivant ce plan comme dans la Fig. S1. Donc de quelque maniere que l'on combine toutes ces puissances, il ne résultera du concours de toutes qu'une impression totale vers le côté où il y aura des puissances hors le plan (upposé. Donc il ne pourra y avoir alors d'équilibre entre

toutes ces puissances, ausquelles rien d'ailleurs ( Hyp.) ne s'oppose. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I. Donc quelques soient les directions de plus de deux Cordons ( en quelque nombre qu'ils soient) attachez ensemble par un seul & même næud, & quelques puissances qu'on leur applique, une à chacun, l'équilibre sera impollible entre ces puissances.

1°. Dans le cas de tous les cordons en même plan, si le prolongement de quelqu'un d'eux ne divise pas quelqu'un des angles que les autres cordons font entr'eux; puisqu'un autre plan que le leur, mené suivant ce cordon-là, les rencontreroit alors tous en leur næud commun sans passer entr'eux, & sans qu'ils fussent tous dans ce plan.

2°. Dans le cas des mêmes cordons en plans differens, fi quelqu'un de ces plans prolongé ne passe pas à travers des cordons des autres plans ; puisque celui-là sera.

M

lui-même un plan qui rencontrera tous ces cordons en leur naud commun sans passer entr'eux..

COROLLA I R E II. Il suit encore de ce Lemme-ci, que quelques soient les directions de plus de deux cordons(en quelque nombre qu'ils soient encore ) attachez ensemble par un seul & même noud , qui foit regardé comme le centre d'un cercle, ou d'une sphere; que si ces cordons ne sont pas répandus en plus d'une demi-sphere , lorsqu'ils sont en plans differens, & en plus d'un demi-cercle, s'ils font en même plan; quelques puissances qu'on leur applique, une à chacun , elles ne pourront jamais être en équilibre entr'elles suivant ces directions ; puisqu'on pourra faire passer un plan par le næud commun., sans qu'il passe entre ces cordons, & sans qu'ils soient tous dans ce plan.

LEM ME X VIII.

1. Lorsque tous les cordons issus d'un même nævd, font dirigez suivant un méme plan , & répandus en plus d'un demi-cercle , il n'y en a aucun qui prolongé par de-ce næud commun , ne passe entre les autres cordons, c'est-à-dire , à trae. vers quelqu'un de leurs angles.

DEMONSTRATION,

Car s'il n'y passoit pas, il seroit le diametre terminant d'un demi-cercle, dans lequel seul lui & les autres cordons seroient alors tous répandus ; ce qui elt contre l'hypothese. Donc, &c.

II. Dans la méme hypothese de tous les cordons dirigez suivant un méme plan , & répandus en plus d'un demi-cercle 3 quelque ligne droite qu'on mene ou qu'on imagine sur ce plan par le næud commun, sans passer par aucun d'eux ; elle passera toujours de part & d'autre du næud à travers deux des angles que ces cordons font entr'eux.

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