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DEMONSTRATION. Car si elle ne passoit à travers aucun de ces angles, elle seroit le diametre terminant d'un demi-cercle dans lequel tous ces cordons seroient ; ce qui est contre l'hypothese ; & fi cette ligne droite ne pasioit à travers que d'un des angles de ces cordons , les deux cordons voisins à droite & à gauche de cette ligne droite du côté qu'elle ne passeroit à travers aucun de leurs angles, seroient avec tous les autres dans un demi-cercle , ou en moins d'un demi-cercle ; ce qui est encore contre l'hypothese. Donc, &c.

III. Lorsque ces cordons sont dirigez suivant des plans differens, & répandus en plus d'une demi-sphere , il n'y a aucun de ces plans qui prolongé ne passe entre les cordons des autres plans.

DEMONSTRATION.

Car s'il n'y passoit pas , il seroit le plan d'un grand cercle terminant une demi-sphere, dans laquelle tous les cordons seroient répandus ; ce qui est contre l'hypothese. Donc, &c. Ce qu'il falloit démontrer.

AVERTISSEMENT. I. L'usage des Lemmes précedens se verra dans les Sections suivantes , dans lesquelles ( pour la commodité des citations) les Définitions, quoique de Sections diffeTentes , seront numerotées par des chifres de suite depuis la premiere des précedentes , jusqu'à la derniere de ce Traité-ci. Il en fera de même des Théoremes entr'eux, & des Problèmes aulli entr'eux.

II. Les parallelogramınes qui nous vont servir à appliquer aux Machines le précedent principe general, & qui par

le
moyen

des

rapports de leurs côtez entr'eux, & à leurs diagonales, nous serviront à trouver ceux que des puissances en équilibre sur ces Machines , doivent avoir entr'elles, & à la charge qui en doit résulter à ces

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vent,

en

Machines : ces parallelogrammes, di-je, ayant ( Lem. 8.. Corol. 2. 3.) leurs côtez & teurs diagonales en raison des finus des angles qui leur sont opposez, nous exprimerons aussi ces rapports de puissances & de charges des Machines par ceux de ces sinus , dont nous nous servirons fou

sans même faire mention des parallelogrammes, que pour arriver à ces finus , tant pour la simplicité des Figures & des Démonstrations, que parce que le calcul dans les Machines est beaucoup plus facile & plus expeditif par

les sinus que par les côtez & diagonales des parallelogrammes , dont on ne connoît presque jamais les rapports que par le moyen de ceux de ces sinus , qui pour cela seront , dis-je, souvent substituées dans la suite à ces côtez & à ces diagonales de parallelogrammes, fans faire quelquefois aucune mention. Cependant si l'on veut restituer les parallelogrammes aux endroits où nous n'employons que des fimus, sans faire aucune men-tion de ces Figures, la chose sera aisée ; par exemple,

dans les Figures 1.6.17. si l'on veut avoir en diagonale FI 6. 16. & en côtez d'un parallelogramıne., les rapports qui ne

feroient exprimez qu'en sinus d'angles BDC, ADC, ADB, il n'y a qu'à faire un parallelogramine. ABCD d'une diagonale quelconque AD prise sur la ligne qui divise à volonté l'angle total BDC en deux autres partiaux ADC, ADB, & qui ait ses côtez AB, AC, sur ceux de cet angle total BDC, & alors on aura ( Lem. 8. Corol. 4.) la diagonale AD, & les côtez AB, AC, de ce parallelogramme ABDC, en raison des finus des angles proposez BDC, ADC, ADB; ausquels sinus on pourra consequemment substituer cette diagonale & ces côtez de parallelogramme pour exprimer par leurs rapports ceux qui ne l'étoient que par les rapports de ces sinus.

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Des Poids soutenus avec des cordes seulement, en quelque nombre qu'elles soient , e pour tous les angles possibles qu'elles peuvent faire entr'elles.

DEFINITION XY. L.

E poids K étant soûcenu avec des cordes seulement, F16. sz:

en quelque nombre, & suivant quelques directions $3.8:43S. qu'elles soient , par les puissances P, R, &c. les parties ĀB, AC, &c. de ces directions ou - cordes prolongées, prises depuis le point A de leur concours, en raison des puissances P, R, &c. appliquées à ces cordes , seront dans la suite simplement appellées proportionnelles de ces puissances.

DE-FINITION XVI,

56.

Les parties AF, AE, &c. de la direction prolongée XK du poids K, comprises entre les concours A des cordes PG RH, &c. aufli prolongées ( par où l'on va voir que cette direction du poids K doit toûjours passer ) & les perpendiculaires BE, CF, &c. à cette direction XK , menées des autres extrêmitez,B,C,&c. des proportionnelles AB, AC, &c. des puissances P, R, &c. seront appellées les sublimitez de ces puissances , lorsque ces parties AE, AF, &c. de la direction du poids K seront au dessus du poids A ; & lorsque ces parties AE, AF, &c. seront au dessous de ce point À , elles seront appellées les profondeurs de ces mêmes puissances P, R, &c. Ce qui fera aussi appeller ces puissances sublimes ou profondes, selon qu'elles seront au dessus ou dessous de ce concours A de leurs directions ; c'est-à-dire, selon qu'elles agiront de bas eir haut, ou de haut en bas. Suivant ce langage AE, AF,

ز

Müj

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