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feront autant de fublimitez, & P, R, autant de puiffances fublimes dans les Fig. 52. 55. 56. mais dans la Fig. 54. il n'y aura que AE, & P, qui le foient: AF y fera une profondeur, & R une puillance profonde. Dans la Fig. 53. il n'y aura non plus que AF de fublimitez, & R de puiffances fublimes; & cela fans aucune profondeur, la direction de la puiffance P, qui y eft ( Hyp.) perpendiculaire à celle AX du poids K, y rendant AE nulle

ou zero.

THEOREME I.

Fondamental de la prefente Section II.

I. Lorsqu'un poids quelconque K de pefanteur dirigée fuivant KX, eft foûtenu feulement avec des cordes GP, HR, par deux puiffances P, R, en équilibre avec lui ; les directions KX, PG, RH, de ces poids & de ces deux puiffances feront toûjours en méme plans toutes trois pafferont par un méme point A, ou feront paralleles entr'elles, & de maniere que direction XK prolongée du poids, passera toûjours entre les

la

deux autres PC, RH.

II. Du concours des puiffances P, R, il refultera une force qui en ce cas d'équilibre fera toûjours égale au poids K, & d'une direction en ligne droite avec celle KX de ce poids.

III. Si fur cette direction XK prolongée, que la démonftration de la part. 1. va faire voir paffer toûjours (en ce cas déquilibre) par A à travers l'angle PAR des cordes PG,RH, aufi prolongées; on prend dans cet angle (quel qu'il fait) depuis fon fommet A,une partie quelconque AD, fur laquelle comme diagonale, on faffe un parallelogramme ABDC, qui ait pour cotez des parties AB, AC, des directions des cordes PG, RH, ou des puiffances P, R, appliquées à ces cardes: le poids K fera toujours à chacune de ces puiffances P, R, fuppofées en équilibre avec lui, comme la diagonale AD de ce parallelogramme ABDC, fera à chacun de ses tôtez AB, AC, qui leur répondent fur leurs directions.

IV. En ce même cas d'équilibre, fi les puiffances P, R, font entr'elles comme les parties quelconques AB, AC, de

leurs directions, ou (ce qui revient au même) fi du concours A de leurs directions on en prend des parties AB, AC, qui foient entr'elles comme ces deux puiffances P, R, & que de ces deux côte AB,AC, on faffe un parallelogramme ABDC; fa diagonale AD fera toûjours en ligne droite avec la direction KX du poids K; & ce poids K fera encore alors à chacune de ces deux puissances P, R, comme cette diagonale AD du parallelogramme ABDC à chacun de fes côte AB, AC, correfpondans fur leurs directions.

V. Reciproquement fi la direction KX du poids K, prolon gée vers D, paffe le long du plan, par le concours A, & à travers l'angle PAR des cordes PG, HR, prolongées, aufquelles les puiffances P, R font appliquées ; & que ce poids foit à chacune de ces deux puiffances comme la diagonale AD du раrallelogramme ABDC, fait comme dans la part. 3. fera à chacun de fes côtez AB, AC, qui leur répondent fur leurs di-· rections ce poids K fera pour lors en équilibre avec ces deux· puissances P, R.

V I. Reciproquement encore fi la direction KX du poids K Je trouve en ligne droite avec la diagonale AD du parallelo- gramme ABDC, fait comme dans la part. 4. & que ce ce poids Joit à chacune des deux puiffances P, R, comme cette diagonale AD fera à chacun des côtez AB, AC, qui leur répondent fur leurs directions dans ce parallelogramme ABDC; ce poids K fera pour lors en équilibre avec ces deux puissan-

ces P, R:

DEMONSTRATION.

PART. I. Le Corol. 15. du Lem. 3. fait voir que dans l'équilibre ici fuppofé, la direction KX du poids K doit toujours paffer le long du plan de celles PG, RH, des puiflances P, R, par leur point de concours A, à tra-vers l'angle PAR qu'elles font entr'elles ; & les Corol. 2. 3. du Lem. 6. font voir que lorfque cet angle fera infi-niment aigu par l'éloignement infini de fon fommet A, ces trois directions KX, PG, RH, feront paralleles en-tr'elles dans le même plan, & dans le même ordre qu'au--

,

paravant. Donc en ce cas d'équilibre ces directions feront toutes trois en même plan, par un même point, ou paralleles entr'elles ; & celle KX du poids K fera toûjours entre les deux autres PG, RH. Ce qu'il falloit 1° démontrer.

1

PART. II. Le nomb. 1. du Corol. 1. du Lemme 3. fait voir que du concours des puiffances P, R, il doit refulter au point A, & confequemment auffi au corps K une force nouvelle fuivant quelque ligne AD qui paffe par A à travers l'angle PAR compris entre les directions de ces deux puiffances, fuivant laquelle ligne AD ce

corps feroit tiré par le concours de ces deux puiffances,

de même que fi au lieu de l'être par elles ensemble, il ne l'étoit en même fens fuivant cette ligne AD, que par une puiffance égale à la force refultante du concours de ces deux-là ; & que ce corps ainfi tiré fe meuvroit effe&tivement (Ax. 2.) fuivant cette ligne de A vers D, si quelqu'autre force ou réfistance ne s'y oppofuit. Donc n'y ayant ici (Hyp.) que la pefanteur de ce poids K qui s'y oppofe, non feulement cette direction AD de la force refultante du concours des deux puissances P, R, dans l'équilibre ici fuppofé, doit être ( Lem. 3. Corol. 2. nomb. 1.) en ligne droite avec la direction KX du poids K, ou de fa pefanteur; mais encore cette force doit (Lem, 3. Corol. 2. nomb. 3.) être égale à cette pefanteur ; c'est-à-dire Lem. 3. Corol. 2.) être égale & directement oppofée à cette même pefanteur. Ce qu'il falloit 2°. démontrer.

L

PART. III. Puifque le poids K eft ( Hyp. ) soûtenu par le concours des puiflances P, R, &c. en équilibre avec elles, les nomb. 1. 2. 3. du Corol. 2. du Lem. 3. font voir que fa pefanteur doit être égale à la force refultante (Lem. 3. Corol. 1. nomb. 1.) de leur concours d'action contre lui, & être dirigée fuivant la même ligne que cette force en fens directement contraire: de forte que la pefanteur de ce poids étant (part. 1.) dirigée fuivant DA, la force refultante du concours d'action des puiffances P, R, contre lui, fera auffi dirigée fuivant la mê

me

me diagonale AD du parallelogramme ABDC. Par con fequent cette force ou impreffion refultante du concours de ces deux puiffances P, R, fera non feulement égale & directement oppofée à la pefanteur du poids K, mais encore (Lem. 3. Corol. s.) elle fera à chacune de ces mêmes puiffances P, R, comme la diagonale AD du parallelogramme ABDC est à chacun de fes côtez AB; AC, qui leur répondent fur leurs directions. Donc auffile poids K ou fa pefanteur fera de même ici à chacune de ces deux puiffances P, R, comme cette diagonale AD eft à chacun des côtez AB, AC, qui leur répondent dans le parallelogramme ABDC. Ce qu'il falloit 3°. dé

montrer.

PART. IV. Puifque (Hyp.) P.R:: AB. AC. la diretion de la force réfultante du concours de ces deux puiffances P, R, doit être ( Lem. 3. Corol. 1. nomb. 1.) de A vers Dfuivant la diagonale AD du parallelogramme ABDC. Or dans le cas d'équilibre ici fuppofé, cette direction doit être (part. 1.) en ligne droite avec celle KX du poids K. Donc en ce cas d'équilibre la diagonale AD doit être fur cette direction XK prolongée du côté de K; & confequemment (part. 3.) le poids K doit être ici à chacune des puiffances P, R, fuppofées en équilibre avec lui, comme la diagonale AD du parallelogramme ABDC eft à chacun de fes côtez AB, AC, correfpondans fur leurs directions. Ce qu'il falloit 4°. démontrer.

PART. V. Puifque (Hyp.) le poids K eft à chacune des puiflances P, R, comme la diagonale AD du parallelogramme ABDC, prife fur la direction XK prolongée de ce poids, eft à chacun de fes côtez AB, AC, pris auffi fur les directions prolongées AP, AR, de ces deux puifLances, par le concours, & dans le plan defquelles directions paffe (Hyp.) celle du poids Kà travers leur angle PAR, l'on aura ici P. K:: AB. AD. Et K. R:: AD. AC. Donc (en raison ordonnée) P.R: AB. AC. Par confe•quent (Lem. 3. Corol. 1. nomb. 1. 2.) les puiffances P,R, doivent tirer le poids K de A vers D fuviant AD direction

N

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(Hyp.) prolongée KX de ce poids dans le plan de leurs cordes, & d'une force contraire à la fienne, laquelle force contraire foit à chacune de ces deux puiffances P, R, comme cette diagonale AD du parallelogramme ABDC eft à chacun de fes côtez AB, AC, qui leur répondent. Mais la force de ce poids ou fa pefanteur eft aufli (Hyp.) en cette même raifon à chacune de ces deux puiffances. Donc la pefanteur de ce poids K eft ici directement contraire & égale à la force refultante du concours d'action des puiffances P, R, contre lui. Par confequent (4x. 3. &Corol. 1.du princ. gener.) ce poids doit ici demeurer en équilibre avec les deux puiffances. Ce qu'il falloit 5°.dé

montrer.

Autrement. Si le poids K ne faifoit pas ainfi équilibre avec les puiffances P, R, foit en fa place tel autre poids Z qu'on voudra, qui appliqué fuivant fa direction Ax contre les puiffances P, R, dirigées comme ci-deffus, faffe équilibre avec elles. La part. 3. fait voir que ce nouveau poids Z feroit alors à chacune de ces puiffances P, R, comme la diagonale AD du parallelogramme ABDC eft à chacun de fes côtez correfpondans AB, AC, fur leurs directions, c'est-à-dire (Hyp.) comme le poids K eft à chacune de ces deux mêmes puiffances P, R; & par confequent que ce poids K feroit égal à l'autre Z fubfti tué en fa place fuivant fa direction. Donc (Ax. 2.) ce poids K feroit pareillement équilibre ici avec les deux mêmes puiflances P, R. Ce qu'il falloit encore 5o. dé

montrer.

PART. VI. Puifque les côtez AB, AC, du parallelogramme ABDC, font ici (Hyp.) entr'eux comme les puiffances P, R, fur les directions defquelles ils fe trouvent, la force refultante du concours de ces deux puiffances fera ici ( Lem. 3. Corol. 5.) de A vers D fuivant AD, & à chacune d'elles comme la diagonale AD de ce parallelogramme BC, eft à chacun de fes côtez AB, AC, correfpondans fur les directions de ces deux puiffances P, R, c'est-à-dire (Hyp.) comme le poids K eft à chacune

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