différents intervalles, font toujours proportionnels aux quarrés des nombres d'intervalles employés à les parcourir, toutes les impulfions de la force accélératrice feront égales entr'elles.

En effet, foient a, a', a", &c. ; b, b', b", &c.; e, c', c", &c.; d, d', d", &c., différents espaces dont chacun foit parcouru pendant un intervalle de tems, de manière que a foit parcouru pendant le premier intervalle, a pendant le second, a" pendant le troisième, & ainfi des autres. Il est évident que fi que fi l'on prend la fommes de toutes les quantités jufqu'à b inclufivement, on aura l'espace total parcouru pendant autant d'intervalles de tems que l'on aura pris de quantités. Car puifqu'il répond un intervalle de tems à chaque quantité, le nombre des intervalles de tems eft néceffairement le même que celui des quantités que l'on aura prises. On pourra dire la même chofe d'une autre fomme quelconque s', qui comprendroit toutes les quantités jufqu'à c. Donc fi l'on appelle n & n' les nombres des quantités depuis la première jufqu'à deux autres quelconques b & c; n & n' exprimeront auffi les tems employés à parcourir ces quantités.

Maintenant, par l'hypothèse, on a la proportion ́s : s' :: n2; n'2. Or nous venons de démontrer dans le lemme précédent, que lorfqu'on a une férie dans laquelle les fommes font proportionnelles aux quarrés des nombres des termes ajoutés pour les

faire, tous ces termes font en progreffion arithmétique: donc les efpaces a, a', a", &c.; b, b', b", &c.; c, c', c", &c., formeront une progreffion arithmétique. Si l'on divife chacun de ces espaces par F'intervalle de tems employé à le parcourir, les quotients donneront encore une progreffion de même espèce, & marqueront les vîteffes qu'aura le mobile en parcourant ces efpaces. Or les vîteffes ne peuvent pas être en progreffion arithmétique, à moins que le mobile ne reçoive à chaque intervalle de tems, un incrément égal de vîteffe, & que par conféquent toutes les impulfions de la force accélératrice ne foient égales.

CL X X.

COROLLAIRE. Si un mobile follicité par une force accélératrice reçoit à chaque inftant des impulfions infiniment petites, & que les espaces parcourus dès le commencement du mouvement foient comme les quarrés des tems employés à les parcourir, la force accélératrice fera conftante.

Car le théorème que nous venons de démontrer eft vrai, quelque petits qu'on fuppofe les intervalles dans lefquels font parcourus les espaces a, a', a", &c.; b, b', b", &c. Donc il fera encore vrai, fi l'on fuppofe que ces intervalles ne foient que des inftants ou tems infiniment petits, & dans ce cas particulier la force accélératrice donnera au

mobile à chaque inftant des impulsions égales. Done elle fera une force accélératrice conftante.

CL X X I.

THÉORÈME III. Si un corps, après s'être mu d'un mouvement accéléré, eft repouffé en fens contraire avec une vitesse initiale, égale à celle qu'il a au dernier inftant du premier mouvement, & qu'il éprouve l'action d'une force retardatrice égale à celle qui l'accéléroit pendant ce même mouvement; il retournera, pendant ce même tems, au point d'où il étoit parti, & alors il aura perdų toute fa viteffe.

Cela eft évident par foi-même; puifque dans le fecond mouvement la force retardatrice doit enlever fucceffivement au corps les mêmes degrés de vîteffe qui lui avoient été communiqués par la force accélératrice, dans le premier mouvement.

· Du Mouvement des Corps pefants qui tombent fuivant des lignes verticales.

CLXXI I.

DES expériences faites avec beaucoup d'exactitude par les PP. Riccioli & Grimaldi * nous

* Comme la chute verticale est très-rapide, je ne dois pas diffimuler que ces expériences font bien délicates. Pour donner plus de tems à l'observation, Galilée fit rouler des corps fphériques fur des plans inclinés, & trouva que

les

apprennent que fi l'on abandonne à eux-mêmes des corps pefants, & qu'on les laiffe tomber fuivant la ligne verticale, ils parcourront des espaces très- · fenfiblement proportionnels aux quarrés des tems écoulés dès le commencement des chutes. Donc (Num. CLXX.) on peut confidérer la gravité comme une force accélératrice conftante, & appliquer au mouvement libre des corps pesants, tout ce qu'on vient de démontrer fur le mouvement uniformément accéléré ou retardé en général.

1o On peut conclure que les vîteffes acquifes font comme les tems écoulés dès le commencement du mouvement (Num. CLX.).

2o Elles font comme les racines quarrées des efpaces parcourus (Num. CLXV.).

3o. L'espace parcouru par un corps qui tombe librement, est égal au demi-produit de la vîtesse finale par le tems (Num. CLXI.).

4° L'efpace que décrit un corps pefant pendant un tems déterminé, n'eft que la moitié de celui

espaces parcourus, pris dès le commencement de la chute, étoient toujours comme les quarrés des tems écoulés: d'où il fuit que la force qui fait descendre un corps fur un plan incliné, est une force accélératrice constante. Or nous dé montrerons (Num. CLXXVII. ) que cette force eft à la pefanteur, comme la hauteur du plan eft à fa longueur. Donc auffi la pefanteur doit être considérée comme une force accéz dératrice conftante.

qu'il décriroit, fi pendant ce tems il avoit conftamment la vîteffe finale (Num. CLXII.).

5o Les efpaces parcourus dès le commencement de la chute, en des tems différents, font comme les quarrés des víteffes finales (Num. CLXV.).

6o Les efpaces parcourus dans des tems égaux & finis qui fe fuivent, font entr'eux comme les nombres impairs 1, 3, 5, 7, 9, &c. ( Num. CLXVI.).

7° Les tems comptés depuis le commencement de la chute, font comme les racines quarrées des efpaces parcourus, (Num. CLXIII.).

8° Un corps pefant remontera à la hauteur d'où il est tombé, s'il eft repouffé en haut verticalement par une force qui lui communique une vîteffe égale à celle qu'il avoit acquife en defcendant, (Num. CLXXI.).

9° Si la viteffe acquife au bout d'une feconde eft p, la vîteffe acquife au bout d'un tems quelconque t, fera vpt, (Num. CLXIV.); & l'ef

pace parcouru à la fin de ce tems fera s tems z étant exprimé en fecondes.

2

2

le

Pour déterminer la valeur de P, on obfervera qu'un corps qui tombe librement, parcourt 15,1 pieds pendant la première feconde. Or fi, pendant cette feconde, il avoit eu conftamment la viteffe finale p, il auroit parcouru un efpace double, c'està-dire, 30,2 pieds, (Num. CLXII.): Donc peft

1

P