ment de la courbe, ne fera qu'une quantité infiniment petite du fecond ordre, par rapport à la viteffe primitive.

Car on peut confidérer une courbe quelconque, comme un polygone d'une infinité de côtés dont chacun eft infiniment petit, & fait un angle infiniment petit avec le prolongement du côté contigu: donc à la rencontre de chacun de ces côtés, la viteffe perdue fera à la viteffe qu'avoit le mobile, comme le finus verfe d'un angle infiniment petit eft au finus total. Or le finus verfe d'un angle infiniment petit, est une quantité infiniment petite du fecond ordre, par rapport au finus total; donc auffi ce qu'un mobile perd de fa vîteffe à la rencontre de chaque élément de la courbe, n'est qu'une quantité infiniment petite du fecond ordre, par rapport à la vîteffe entière.

Pour démontrer que le finus verfe d'un angle infiniment aigu, eft une quantité infiniment petite du fecond ordre, par rapport au finus total, prenons dans le cercle des tables ADB (Fig. 89.) un arc infiniment petit AD, qui foit la mesure de l'angle infiniment aigu ACD; & du point D menons la la perpendiculaire DI fur le diamètre BA. Cette perpendiculaire fera infiniment petite, ainfi que l'arc AD; & l'on aura BI: DI::DI AI. Donc puifque la ligne DI eft contenue une infinité de fois dans BI, le finus verfe AI fera contenu une

t

infinité de fois dans la ligne infiniment petite du premier ordre DI, & par conféquent il fera une quantité infiniment petite du fecond ordre, par rapport à une ligne finie, telle que le rayon ou finus

total.

CLXXX V I.

COROLLAIRE II. Si un corps fans pefanteur fe meut fur une ligne courbe, il confervera la même víteffe dans tous les points de cette ligne.

Car un arc fini AB de cette courbe (Fig. 90.) eft compofé d'une infinité de côtés, & la vîteffe que perd le mobile à la rencontre de chacun de ces côtés, n'est qu'une viteffe infiniment petite du fecond ordre. Donc la vîteffe perdue en parcourant l'arc AB, ne peut être qu'une quantité infiniment petite du fecond ordre, répétée une infinité de fois; ce qui ne donne qu'une quantité infiniment petite du premier ordre. Donc la vîteffe que perd le mobile en venant de A en B, eft moindre que toute vîteffe finie, quelque petite qu'on voulût la fuppofer; & par conféquent on doit confidérer le mobile comme ayant conftamment la même vîteffe dans tous les points de la courbe.

CLXXXVII

THEOREME. Si un corps pefant defcend dans un plan vertical fur une furface courbe, il aura, en quelque point que ce foit, la même viteffe, s'il étoit tombé librement de la même hauteur,

que

En effet, que le mobile décrive fur la surface courbe une ligne ANX, (Fig. 91.), dont tous les points foient dans un même plan vertical. Que AB, BC, CD, &c., foient les premiers côtés infiniment petits de la courbe, & qu'on prolonge BC, CD jufqu'aux points E, F, du plan horizontal HI, mené par l'extrémité A du premier côté.

1o Le mobile, en décrivant le plan incliné infiniment petit AB, acquerra la même víteffe, qu'en tombant verticalement de la hauteur de ce plan (Num. CLXXXII.).

2o La vîteffe du mobile en B, eft égale à celle qu'il auroit acquife en parcourant le plan incliné EB de même hauteur que AB, & cette vîtesse n'eft point altérée à la rencontre du côté BC (Num. CLXXXVI.). Donc puifque la gravité continue à agir fur le mobile, tandis qu'il décrit BC, fa viteffe s'accélérera & fera la même au point C, que s'il étoit tombé le long du plan incliné EC, ou que s'il avoit décrit librement la hauteur de ce plan. Donc en arrivant au point C, il aura une víteffe égale à celle qu'il eût acquife en tombant verticalement dès le plan horizontal H I jufqu'en C.

3° On peut faire un raisonnement femblable pour tous les éléments fuivants de la courbe. Donc en un point quelconque N, le mobile aura la même viteffe, que s'il étoit tombé verticalement dès le plan horizontal HI jufqu'en N.

CLXXXVIII.

REMARQUE. La nature de la courbe que décrit le mobile étant donnée, on emploie ordinairement le calcul infinitéfimal, pour déterminer le tems de la chute par un arc quelconque. On se fert du même calcul pour réfoudre les différents problèmes où il s'agit de trouver la nature de la courbe, d'après quelque condition donnée; comme fi l'on propofoit de trouver entre deux points. donnés, la courbe parcourue dans le moindre tems poffible, par un corps foumis à l'action de la pefanteur, ou celle dans laquelle un corps pefant arrive toujours au point le plus bas dans le même tems, quel que foit le point de la courbe d'où il ait commencé à defcendre, &c. Ces problèmes font trop fublimes pour entrer dans un ouvrage auffi élémentaire que l'eft celui-ci.

Du Mouvement des Projectiles.

CLXXX I X.

que

ON appelle mouvement des projectiles, celui prennent les corps qui, ayant été lancés avec une force quelconque, font enfuite abandonnés à l'action de leur pefanteur, & à la résistance du fluide qui remplit l'efpace ou le milieu dans lequel ils fe meuvent, lorfque ce milieu eft occupé par un fluide. Tel eft le mouvement d'une pierre jetée avec la main ou avec une fronde, d'une flèche qui part

d'un arc, d'un boulet qui fort d'un canon, &c. Nous avons déjà déterminé les loix fuivant lefquelles fe meuvent ces projectiles, lorfqu'ils font lancés verticalement. Il nous reste à examiner ici les circonftances de leur mouvement, dans le cas où ils font lancés fuivant une direction qui n'eft pas verticale. Nous ferons encore précifion de la réfiftance des milieux.

Il est d'abord évident qu'un corps ainfi projeté doit décrire une ligne courbe. Car en fuppofant que dans un inftant il ait décrit la ligne infiniment petite ab (Fig. 92.), il décriroit dans l'inftant fuivant la ligne bcab, fans changer de direction, fi au point b il ne recevoit aucune nouvelle impulfion; mais en b la gravité lui donne néceffairement une impulfion be qui le porte vers le centre de la terre, & qui fait un angle avec la ligne bc. Donc fi l'on achève le parallelogramme bede, le mobile en décrira la diagonale bd, & s'écartera ainfi de la direction qu'il avoit dans l'inftant précédent. Il décrira donc une ligne courbe, dont il s'agit de déterminer la nature.

C X C.

THÉORÈME. Un projectile lancé fuivant une direction qui n'eft pas verticale, décrit dans l'efpace une ligne parabolique.

En effet, qu'un mobile foit lancé du point A