Car la proportion trouvée (Num. CCXVI.) fubfifte, fi l'on multiplie les deux antécédents par M & les deux conféquents par M'.

CCXXI I.

THÉORÈME III. Les vêteffes d'un mobile dans différents points de fa trajectoire, font en raison inverse des perpendiculaires abaiffées du centre des forces fur les tangentes des points où l'on fuppofe ce mobile.

Pour le démontrer, prenons deux arcs infiniment petits Mm, M'm' dans la trajectoire décrite par le mobile (Fig. 105.), & fuppofons que ces arcs foient parcourus dans le même tems. Ayant mené du centre des forces O des rayons vecteurs aux extrémités de ces arcs, & abaiffé les perpendiculaires OP & OP' fur leurs tangentes, nous aurons le triangle OMm égal au triangle OM'm', c'eftMm X OP M'm' X OP'

à-dire,

& nous tire

rons de cette égalité Mm: M'm' :: OP' : OP. Or les vîteffes du mobile aux points M & M', font comme les efpaces Mm, M'm' parcourus dans le

même tems. Donc, en nommant ces vîteffes V & V'', nous aurons V V OP OP, ou V: V

qui décrivent des trajectoires différentes, font toujours en raifon directe des vêteffes qu'ils ont dans deux points déterminés de ces trajectoires, des rayons vecteurs menés à ces points, des finus des angles que font ces rayons avec les courbes, & en raifon inverse des perpendiculaires abaiffées fur les tangentes des points où l'on fuppofe les mobiles.

En effet, que les mobiles M & M' (Fig. 103.) décrivent pendant le même tems les arcs infiniment petits Mm, M'm' de leurs courbes. Des centres des forces O & O', ayant mené des rayons vecteurs aux extrémités de ces arcs, & abaiffé fur les tangentes des mêmes arcs les perpendiculaires OP & O'P', nous aurons (Num. CCIX.) OMm: O'M'm' ::grsT:gr's'T':: grs: g'r's', parce qu'on fuppose TT'. Or les triangles OMm, O'M'm' font comme les produits de leurs bafes par leurs hauteurs. Donc Mm X OP: M'm' × O'P' grs gr's'; ou divifant les deux antécédents par

OP & les deux conféquents par O'P', Mm: M' m' grs. gr's'

OP O'P

Au lieu du rapport de Mmà M'm'

on peut mettre celui des vîteffes qui lui eft égal. Donc en appelant refpectivement V & V' ces vîteffes, nous aurons la proportion qu'il falloit dé

montrer, VV'::

grs. grs
OP: • O'P"

Siss', il eft évident qu'on aura V: V

gr gr OP O'P

Du Mouvement dans les Sections coniques.

LES courbes que l'on défigne par le nom de Sections coniques, font la parabole, l'ellipfe & T'hyperbole. On les appelle Sections coniques, parce que ce font les courbes que l'on peut former fur la furface d'un cône en le coupant par des plans.

La parabole est une courbe ZAN (Fig. 106.) dont chaque point M est également éloigné d'un point fixe O qu'on appelle foyer, & d'une ligne 'droite LG auffi fixe, qu'on appelle la directrice. La ligne AX qui paffe par le foyer, & qui prolongée tomberoit perpendiculairement fur la directrice, eft l'axe de la parabole.

L'ellipfe (Fig. 107.) eft une courbe telle que la fomme des deux distances MO, Mo, de chacun de fes points à deux points fixes O, o qu'on appelle foyers, eft toujours égale à une même ligne. La droite AB qui paffe par les deux foyers, & qui aboutit à deux points oppofés de la courbe, eft le grand axe ou l'axe principal. Le point X pris dans cette ligne à égale distance des deux foyers, eft le centre de l'ellipfe. Le petit axe eft une droite DE tirée par le centre perpendiculairement 44

grand axe, & prolongée jufqu'aux points oppofes de l'ellipfe.

L'hyperbole (Fig 108.) eft une courbe ZAN, telle que la différence des lignes Mo, MO tirées

de chacun de fes points M aux points fixes o& O, qu'on appelle auffi foyers, foit toujours égale à la même ligne AB, qu'on nomme le grand axe. La ligne A X qui paffe par l'un des foyers O, & qui prolongée pafferoit par l'autre o, eft ce que nous appellerons l'axe de l'hyperbole.

Dans toute Section conique, on appelle paramètre la droite NS menée par le foyer perpendiculairement à l'axe, & prolongée de part & d'autre jufqu'à la rencontre de la courbe.

On voit par la définition de l'ellipfe, & par celle que nous venons de donner du paramètre, que fi les foyers O &o (Fig. 107.) fe rapprochoient de plus en plus jufqu'à fe confondre en un feul point, l'ellipfe deviendroit un cercle; de manière que le cercle n'eft dans le fond qu'une ellipfe dont les foyers tombent l'un fur l'autre, & dans laquelle le paramètre fe confond avec le diamètre.

Le point A où l'axe rencontre la parabole & l'hyperbole (Fig. 106 & 108.), s'appelle l'origine ou le fommet de la courbe. Dans l'ellipfe, nous fuppoferons auffi l'origine à l'une des extrémités du grand axe. Quand un mobile décrit une ellipfe, & que le centre des forces eft placé à l'un des foyers 0,

on donne le nom d'apfide inférieure, à l'extrémité A de l'axe, qui eft la plus proche de ce foyer; & l'on appelle apfide fupérieure, l'autre extrémité B de cet axe, qui eft la plus éloignée du même foyer. Enfin on dit que le mobile eft à fa plus petite, ou à fa plus grande, ou à fa moyenne distance, fuivant qu'il fe trouve à l'apfide inférieure, ou à l'apfide fupérieure, ou à l'une des extrémités du petit

axe.

Quand il s'agit du mouvement des Planètes & des Comètes, qui décrivent des ellipfes dont le foleil occupe un des foyers, l'apfide fupérieure s'appelle auffi l'aphélie, & l'apfide inférieure le périhélie.

CC X X V.

POUR comprendre la théorie que nous allons expofer, on peut partir des propofitions fuivantes, comme d'autant de vérités démontrées dans les ouvrages de Géométrie, où l'on traite des Sections coniques.

1o Dans l'ellipfe, les rayons vecteurs croiffent continuellement dès l'apfide inférieure A (Fig. 107.) jufqu'à l'apfide fupérieure B. De même ces rayons croiffent de plus en plus dans la parabole & dans l'hyperbole (Fig. 106 & 108.), à mesure que l'arc AM décrit par le mobile, devient plus grand.

2o Dans les trois fections coniques, l'axe eft perpendiculaire à l'origine de la courbe.