CCXXXV.) que dans le mouvement d'un corps qui décrit une circonférence de cercle, la force centrifuge est égale à la force centripète. Quand un mobile décrit d'autres courbes, on peut confidérer la force centrifuge ou par rapport au centre du cercle ofculateur, ou par rapport au centre du mouvement. Dans le premier cas, il eft évident qu'elle fera dans chaque point proportionnelle au quarré de la viteffe, divifé par le rayon de courbure correspondant à ce point. Car un arc infiniment petit de la courbe fe confond avec un arc égal du cercle ofculateur. Donc on peut confidérer le mobile à chaque inftant comme décrivant des arcs de cercle infiniment petits, mais dont les rayons changent continuellement. Or dans tous les mouvements circulaires les forces centrifuges font comme les quarrés des vîteffes divifés par les rayons. Mais il faut bien remarquer que les forces centrifuges dont le rapport eft ainfi évalué, font les efforts que le mobile fait dans les différents points de la trajectoire, pour s'éloigner du centre de courbure, & non les efforts qu'il fait pour s'éloigner du point fixe vers lequel les forces centripètes font dirigées. Si l'on confidère les forces centrifuges par rapport à ce point fixe que nous avons appelé le centre du mouvement, on peut dire qu'elles font en raison inverfe des rayons vecteurs multipliés par les quarrés des perpendiculaires, que l'on peut abaisser du centre des forces fur les tangentes des points, où l'on fuppofe les mobiles. Car fuppofons qu'un mobile décrive la courbe MAZ (Fig. 118.), que fes vîteffes aux points M & M' foient V & V'. Ayant mené les rayons vecteurs OM, OM', & les perpendiculaires OP, OP' fur les tangentes des points M & M', nommons F & F' les forces centrifuges dans ces points. Il est évident que fi le mobile étoit lancé perpendiculairement aux rayons vecteurs, il feroit, pour s'éloigner du point O, des efforts équivalents aux forces centripètes requises pour lui faire décrire des circonférences de cercle. Or ces forces centripètes feroient comme les quarrés des vîteffes divifés par les rayons OM & OM' des cercles décrits: donc les forces centrifuges font dans le même rapport, & (Num. CCXXII.). Donc en fubftituant le second rapport au lieu du premier; on aura F: F On peut conclure de là, que les forces centrifuges dans les apfides A & B (Fig. 117.) d'une ellipfe, font en raifon inverfe des cubes des rayons vecteurs menés à ces apfides. Car ces rayons vecteurs font égaux aux perpendiculaires abaiffées du foyer fur les tangentes de ces apfides. Donc en appelant Fla force centrifuge en A, & F' la force centrifuge en voir que les forces centrifuges d'un corps qui décrit une ellipfe, croiffent de l'apfide fupérieure à l'apfide inférieure, dans un plus grand rapport que les forces centripètes; puifque celles-ci croiffent comme les quarrés des diftances diminuent, tandis que les premières croiffent comme diminuent les cubes des distances. Du refte, pour lever toute équivoque au fujet du rapport que nous établiffons entre les forces centrifuges, il eft à propos d'obferver que par ces forces nous entendons ( & la démonstration précédente le fuppofe), non pas les efforts que fait actuellement le mobile dirigé obliquement au rayon vecteur, pour s'éloigner du centre du mouvement, mais les efforts qu'il eft capable de faire & qu'il feroit réellement pour s'éloigner de ce centre, fi fa direction étoit perpendiculaire au rayon vecteur. SECTION IV. Du Mouvement des Centres de gravité. LEMME. Quand il fe trouve un facteur commun dans deux produits égaux, on peut lui fubftituer un un autre faceur quelconque, fans détruire l'égalité. Cela eft évident car fi ag+bg+cg, &c. =pg+9g+rg, &c., on aura a+b+c&c. =p+q+r&c.; & multipliant les deux membres de l'équation par une quantité quelconque m, elle deviendra am+bm+cm &c.=pm+qm+rm&c. CC L. THÉORÈME I. Si toutes les parties d'un corps fe meuvent dans l'efpace avec des vitesses égales & fuivant des directions parallèles, la résultante de leurs mouvements particuliers paffera par le centre de gravité. Pour le démontrer, foit le corps M (Fig. 119.) dont tous les éléments fe meuvent avec la méme vîteffe fuivant des directions parallèles, & foit AB la direction du centre de gravité. Concevons deux plans KL, HI qui se coupent dans cette ligne AB. Les moments des poids élémentaires placés d'un côté du plan KL, feront égaux aux moments des poids élémentaires placés de l'autre côté du même plan (Num. LXIV.): ainfi en nommant D, D', D", &c. les diftances de ce plan aux molécules qui se trouvent d'un côté, d, d', d', &c. fes distances aux molécules qui fe trouvent de l'autre, & g le poids de chaque molécule, nous aurons Dg+D'g +D"g&c. =dg+d'g+d"g &c. Or au lieu du facteur commun g, nous pouvons, fans détruire S l'égalité, mettre un autre facteur m qui exprime le mouvement de chaque molécule du corps M, & nous aurons l'équation Dm+D'm+D'm &c. =dm+d'm+d" m &c. Donc les mouvements ou forces des molécules placées de part & d'autre du plan KL, ont des moments égaux par rapport à ce plan, & par conféquent leur résultante doit fe trouver dans ce plan. On démontrera de même, que cette résultante doit fe trouver dans le plan HI. Or elle ne peut pas être en même tems dans les deux plans KL, HI, à moins qu'elle ne foit dirigée, fuivant leur commune interfection AB, & qu'elle ne paffe ainfi par leur centre de gravité. Si l'on nomme V la vîteffe avec laquelle chaque élément est transporté, pour avoir la résultante de tous les mouvements particuliers, qui paffe par le centre de gravité, il faudra multiplier V par la fomme des éléments, c'eft-à-dire, par la maffe M du corps, ce qui donnera MV pour la valeur de cette résultante. CCLI. le cen COROLLAIRE I. Toute force dirigée par tre de gravité d'un corps, doit communiquer la même vitesse à tous fes éléments. Car cette force pourra fe repréfenter par la maffe M du corps, multiplié par une vîteffe V. Donc elle feroit la réfultante des mouvements 1 |