on aura RX EGP XEF+Q X EH. Donc fi le centre des moments n'est pas compris dans l'angle formé par les directions des puiffances, ni dans fon oppofé au fommet, le moment de la résultante eft égal à la fomme des moments des puiffances compofantes.

2o Nous aurons dans la Fig. 9, E AD— - ABD

-EBD-EAB; c'est-à-dire,

-ACXIH

2

ADXEG

2

Mul

tipliant par 2 l'un & l'autre membre, & obfervant que ACXIH— ACX EI— ACX EH, on voit que l'équation devient AD XEG=AC XEH ABX EF, ou RX EG=QXEH - PXE F; en mettant au lieu des lignes AD, AB, AC, les forces qu'elles repréfentent.

3o On peut faire un femblable raisonnement pour la Fig. 10. Car dans cette figure, EAD-EBD ADXEG

-ABD-EAB; c'eft-à-dire,

ACXEI ACX IH ABX EF.

2

2

2

2

Donc

puifque ACXEI-ACX IH=ACX EH, nous aurons AD × EG=AC × EH— AB × EF, ou RX EG=QXEH-PXE F.

On voit donc en général, que fi les deux puiffances compofantes tendent à faire tourner dans le

même

même fens autour du point E, le moment de leur réfultante eft égal à la fomme des moments de ces puiffances; & que fi les deux puiffances compofantes tendent à faire tourner en fens contraires, le moment de la réfultante vaut la différence des moments de ces puiffances.

Nous venons de trouver qu'en prenant le centre E des moments entre les directions de la résultante & de la puiffance P, le moment de la résultante étoit égal au moment de la puiffance Q, moins le moment de la puiffance P. Si l'on prenoit le point E entre les directions de la résultante & de la puiffance Q, on trouveroit pareillement que le moment de la résultante vaudroit le moment de la puiffance P, moins le moment de la puiffance Q.

X X V I.

COROLLAIRE I. Les moments de la résultante & de l'une des puiffances compofantes, confidérés par rapport à un point pris fur la direction de l'autre puiffance compofante, font égaux.

Car la perpendiculaire E F (Fig. 8.) eft d'autant moindre, qu'on fuppofe le point E plus près de la direction A B; & cette perpendiculaire devient zéro, quand on fuppofe le point E fur cette direction (Fig. 11.). Donc alors dans l'équation RX EGP XEF+Q× EH, la quantité PXEF devient nulle, & l'ona RXEG=QXEH,

C

On tire de cette équation l'analogie R: Q R:Q :: EH EG, qui fait voir que la réfultante & l'une des puiffances compofantes, font en raison inverfe des perpendiculaires abaiffées fur leurs directions, d'un point pris fur la direction de l'autre puifance compofante.

X X V I I.

COROLLAIRE II. Les moments des deux puiffances compofantes, par rapport à un point pris fur la direction de leur résultante, font égaux.

Car plus on fuppofe le point E (Fig. 9) près de la direction AD, moindre eft la perpendiculaire E G; & cette perpendiculaire devient zéro, fi on prend le point E fur la ligne AD (Fig. 12). Donc alors le moment de la résultante eft zéro; & comme il est égal à la différence des moments des puiffances compofantes, cette différence eft nulle. Donc ces moments font égaux, & l'on a P XEF=QX EH.

Cette équation donne l'analogie P:Q::EH:EF; ce qui démontre que les deux puiffances compofantes font en raison inverse des perpendiculaires menées fur leurs directions, d'un point pris dans la direction de la réfultante.

XXVII I.

COROLLAIRE III. Concevons que les directions des deux puiffances compofantes P, Q(Fig. 13

& 14) paffent conflamment par deux points M, N, & que leur point de concours A s'éloigne de plus en plus, fuivant la direcion prolongée A K de la réfultante.

1° Il est évident que plus le point A s'éloignera, plus les directions des puiffances compofantes approcheront du parallélifme, de manière que fi le point A s'éloignoit jufqu'à l'infini, ces directions deviendroient parallèles. Les forces P & Q (Fig, 13.) deviendroient donc des forces parallèles dirigées dans le même fens, comme on les voit dans la Fig. 15; & les forces P&Q (Fig. 14.) deviendroient des forces parallèles, dirigées en fens oppofés, comme elles font représentées dans la Fig. 16. 2o Le théorème & les corollaires précédents pourront s'appliquer à ces forces, quel que foit l'éloignement où l'on fuppofe le point A. Donc fi Ton fuppofe ce point infiniment éloigné, & les forces P, Q, R, parallèles (Fig. 15 & 16), après avoir tiré des points E, E', E", E"", des perpendiculaires fur leurs directions, on aura les équations fuivantes :

RX EGPX E' F'+Q×E'H';
RXE"G"=QX E" H" — P XE" F";
RXE"G" =P XE" F
:P × E "F" — Q × E'" H"

PXEG=QXGH;
PXEH=RX GH;
RXEG=QXE H,

Les trois dernières de ces équations donnent les proportions fuivantes :

D'où l'on tire la fuite de raifons égales PGH Q: EGR: EH; ce qui nous apprend que deux puiffances parallèles & leur résultante, font proportionnelles chacune à la partie de la perpendiculaire comprise entre les directions des deux

autres.

Et puifque les parties IL, IK, KL, d'une oblique quelconque, interceptées entre les mêmes directions, font entr'elles comme les parties EH, EG, GH, de la perpendiculaire, on pourra dire auffi que deux forces parallèles & leur résultante font entr'elles chacune comme la partie d'une oblique, interceptée entre les directions des deux autres forces.

X X I X.

COROLLAIRE IV. La résultante de deux forces parallèles eft égale à leur fomme, fi elles agiffent dans le même fens, ou à leur différence, fi elles agiffent en fens contraires.

Pour le démontrer, fuppofons d'abord que les forces P&Q agiffent dans le même fens (Fig. 15.). Dans la fuite des raifons égales PGH;;Q; EG