moments à la direction de la résultante, dans le cas où toutes les puiffances agiroient dans le même fens? Qu'on faffe Vo, To, dans les équations du Corollaire X, & l'on trouvera

PXEF+QXEH-ZXED
Z+P+Q

EG

;

ce qui nous apprend que la diftance du centre des moments à la direction de la résultante, eft égale à la différence des moments, divifée par la fomme des forces.

2o Veut-on favoir quelle feroit la diftance EG du centre des moments à la direction de la réfultante, dans le cas où toutes les forces parallèles agiroient dans le même fens & feroient du même côté du centre des moments? Qu'on faffe Vo, T=0, 7=0, Z=o, dans les équations du Corollaire X,

te qui nous apprend que la diftance du centre des moments à la direction de la résultante, feroit égale à la fomme des moments des forces, divifée par la fomme de ces forces.

XXXVII.

COROLLAIRE XII. Suppofons à préfent plufieurs puiffances parallèles P, Q, T, V ( Fig. 19.) qui agiffent dans différents plans; & que l'une d'en

tr'elles, par exemple T, agiffe dans un fens contraire à celui dans lequel les autres font dirigées. 1o Leur résultante fera P+Q-T+V, comme nous l'avons démontré Num. XXXI.

2° Que l'on conçoive deux plans ABCD, ADEF, parallèles aux directions des puiffances & dont l'un foit perpendiculaire à l'autre que l'on conçoive de plus un troifième plan BAFG, perpendiculaire aux deux premiers. Je dis que la résultante R de toutes les puiffances fera autant éloignée du plan ABCD, qu'elle en feroit éloignée fi toutes les forces compofantes agiffoient dans l'interfection AF des deux autres plans, aux extrémités p', q', t', v' des lignes pp', qq, tt', v v', parallèles à l'interfection AB. (On fuppofe que P, q, t, v, font les points où les directions des forces parallèles rencontrent le plan B A FG.)

En effet, fi les puiffances P & Q agiffoient aux points p', q', leur résultante ( Num. XXVIII.) pafferoit par un point m', tel qu'on auroit la proportion PQ:: q'm'. p'm'. Mais puifqu'on suppose que ces puiffances agiffent aux points p, q, leur réfultante doit passer par un point m, tel qu'on ait la proportion PQ:: qm: pm. Dans ces deux proportions la première raison eft la même: donc les fecondes raisons font égales & donnent q'm'. p'm'

qm:pm. Donc les lignes pq, p'q' font coupées proportionnellement aux points m & m'. Donc fi

l'on mène la ligne m m', elle fera parallèle aux lignes PP', qq, AB, & par confequent la direction de la réfultante qui paffe par le point m fera autant éloignée du plan ABCD, que fi les deux puissances P&Q étoient appliquées aux points p' & q'.

Pareillement la résultante de la puiffance Tappliquée au point ', & de la puiffance P+Q appliquée au point m', pafferoit par un point n', tel qu'on auroit la proportion P+Q:T:: í'n' m'n', Mais puifqu'on fuppofe que ces puiffances agiffent aux points 1, m, leur résultante passe par un point n tellement placé, qu'on ait la proportion P+Q:T tnmn. Donc t'n' m'n':: in: mn. Ainfi les lignes tn, t'n' font coupées proportionnellement aux points in, m', & par confequent la ligne nn' eft parallèle aux lignes mm', tt', AB. Donc la direction de la résultante des trois puiffances, qui paffe par le point n, fera autant éloignée du plan ABCD, que fi les puiffances T, P, Q étoient appliquées aux points t', p', q'.

On démontreroit par un femblable raifonnement, que la réfultante R des quatre puiffances P, Q, T,V, paffe par quelque point r autant éloigné du plan ABCD, qu'en feroit éloigné le point par où elle pafferoit, fi les quatre puiffances étoient appliquées aux points p', q', t', v'; & il eft évident que la démonstration seroit applicable quel que fût le nombre des puiffances parallèles,

X X X V III.

COROLLAIRE XIII. Suppofons comme dans le corollaire précédent, tant de puiffances parallèles qu'on voudra, & qui agiffent, fi l'on veut, dans différents plans. Ie moment de la résultante de ces puiffances par rapport à un plan parallèle à leurs directions, eft égal aux moments de celles qui tendent à faire tourner dans un fens autour de l'interfection de ce plan & d'un plan perpendiculaire aux directions des puiffances, moins les moments de celles qui tendent à faire tourner en fens con traire autour de la même interfection.

Pour le démontrer, fuppofons (Fig. 19.) toutes chofes comme dans le corollaire précédent, & menons des points p, q, t, v, r, les lignes pp", qq", tt", vv", rr" perpendiculaires au plan des moments ABCD. Je dis qu'on aura l'équation,

Rxrr"=PXpp"+QXqq"—T×tt"—VXw".

Car fi les puiffances P, Q, T, V agiffoient aux points p', q', t', v, & qu'on regardât le point A comme le centre des moments, on auroit (Num, XXIV.)

RXAr=PXApQ× Aq'—T×Ai'--V× Av'.

Or dans cette équation, au lieu des lignes Ar, Ap, Aq', At', Av', on peut mettre les lignes rr", pp", qq", tt", vv", qui leur font égales, & l'on aura l'équation qu'il falloit démontrer,

RXr"=PXpp"+QXqq"—TXt"—VXvv".

Dans cette équation, les deux derniers termes du fecond membre ont le figne négatif, parce que les puiffances P & Q tendent à faire tourner dans un fens autour de AB, tandis que les puiffances T & Vtendent à faire tourner en fens oppofé. L'équation précédente divisée par R, donne

n'—PXpp"+QXqq" —Tx.u"—VXvv";

our"

ou rr":

R

PXpp"+QXqq"-TXt"-VXvv",
P÷Q―T+V

parce que R=P+Q−T+V.

Donc fi l'on connoît la valeur des puiffances parallèles & leur pofition, ainfi que celle du plan des moments, on déterminera facilement la diftance rr" de la réfultante à ce plan, puifque le fecond membre de l'équation précédente ne contiendra que des quantités connues.

On trouveroit de même que la diftance rr' de la réfultante au plan ADEF, eft exprimée par l'équation PXpp'+QXqg'-TX ti'+VXvv P+Q―T+V

rr:

X X X I X.

PROBLÈME I. Un mobile étant follicité par une force ou par plufieurs qui agiffent fuivant la même ligne, déterminer une nouvelle force qui le mette en équilibre.