SOLUTION. Si le mobile A (Fig. 20.) n'est follicité que par une force P fuivant la ligne AP, il est évident qu'on le mettra en équilibre, en lui appliquant une force S égale à la force, mais dirigée en fens diamétralement oppofé.

Si plufieurs forces P, P', P", &c. (Fig. 21.) follicitent le mobile A fuivant la même ligne & dans le même fens, on pourra le mettre en équilibre, en lui appliquant en fens contraire une puiffance S P+P'+P", &c.

Enfin fi plufieurs forces P, P', P", &c., agiffent fur le mobile dans le même fens & fuivant la même ligne (Fig. 22.), tandis que d'autres puiffances plus foibles, ', Q", &c., le follicitent en fens oppofé; on le mettra en équilibre, en ajoutant à ces dernières puiffances une force confpirante S=P+ P+P" &c. — Q— Q'—Q" &c.

X L.

PROBLÈME II. Déterminer la valeur & la direction d'une force S (Fig. 6.), qui faffe équilibre à deux autres forces P & Q, dont les directions fe rencontrent au centre du mobile A foumis à leur action.

SOLUTION. Si les puiffances P & Q font refpectivement exprimées par les lignes AB, AC, & & qu'on achève le parallelogramme ABDC, la résultante fera repréfentée par la diagonale AD.

Cela

Cela pofé, qu'on prolonge cette diagonale au-delà du point A, & qu'on applique au mobile, suivant cette direction prolongée, une puiffance S repréfentée par la ligne AK de même longueur que la diagonale: le corps fera en équilibre. En effet, le corps follicité par les forces AK, AD, qu'on suppose égales & diamétralement opposées, ne pourroit manquer d'être en équilibre: or les puiffances AB, AC produifent le même effet que leur réfultante AD. Donc le corps follicité par les trois forces AB, AC, AK, fera néceffairement en équilibre.

X LL

REMARQUE. Des fix chofes (angles & côtés) qui compofent le triangle ABD, trois étant données, on peut, par les principes de la trigonométrie, trouver arithmétiquement les autres, lorsque des trois données, l'une au moins eft'un côté. Or les trois côtés AB, BD, AD, repréfentent les deux puiffances compofantes & la réfultante; l'angle BAD eft l'angle compris entre les directions de la résultante & de la puiffance P; l'angle ADB est égal à l'angle CAD compris entre les directions de la résultante & de la puiffance Q; & l'angle ABD eft le supplément de l'angle BAC compris entre les directions des deux puiffances compofantes. Donc de ces fix chofes, les deux puiffances compofantes, la résultante, les

D

deux angles formés par les directions de la réfultante & des puiffances compofantes, le fupplément de l'angle compris entre les directions des puiffances compofantes, trois étant données, on déterminera arithmétiquement les trois autres, pourvu qu'on ait parmi les trois chofes données, l'une des puiffances P, Q, R.

Il ne resteroit quelque chofe d'indéterminé, que dans le cas où l'on donneroit deux des puiffances & un angle aigu oppofé à la plus petite de ces puiffances.

XLII.

PROBLÈME III. Déterminer la résultante de tant de puiffances qu'on voudra, P, Q, T, V (Fig. 23.), qui concourent au même point A, & dont les valeurs font repréfentées par les parties AB, AC, AE, AG, de leurs directions.

SOLUTION. Pour trouver cette résultante, j'achève le parallelogramme ABDC, & la ligne A D représente la réfultante des puiffances AB, AC. Je prends donc, au lieu des forces P & Q, une puiffance représentée par AD; & fur les lignes AD, AE, comme côtés contigus, je fais le parallélogramme ADFE. Menant la diagonale AF, elle représente la résultante des puiffances AE, AD, & par conféquent la réfultante des trois forces AE, AC, AB. Enfuite fur les lignes AF, AG,

comme côtés contigus du même angle, je fais le parallelogramme AFHG, & je mène la diagonale AH, qui représente la résultante R des puiffances AG, AF, ou des quatre puiffances AG, AE, AC, AB. On trouveroit de même la résultante d'un nombre quelconque de puiffances.

On pourra donc aifément trouver une puiffance qui faffe équilibre à tant de forces qu'on voudra, dont les directions concourent toutes au même point. Il fuffira de trouver, comme on vient de le faire, la réfultante R des puiffances données P, Q, T, V, &c., & d'appliquer au mobile, fuivant la direction de cette résultante prolongée au-delà du point A, une force SR, qui agiffe de A en K. Car ( Num. XXXII.), fi après avoir trouvé la réfultante de plufieurs puiffances propofées, on lui fubftitue une force égale & dirigée en fens contraire, elle fera néceffairement équilibre à ces puiffances. Cette remarque peut s'appliquer aux problèmes fuivants.

XLIII.

PROBLÈME IV. Déterminer la réfultante de deux puiffances parallèles P & Q (Fig. 15 & 16.). SOLUTION. 1° Si les deux puiffances parallèles P, Q, font dirigées dans le même fens (Fig. 15.), leur résultante R fera égale à leur fomme P+Q; & fi les deux puiffances font dirigées en fens op→ pofé (Fig. 16.), leur réfultante R vaudra leur dif

férence P-Q, comme il a été démontré ( Num. XXIX.). Donc on connoîtra toujours facilement la valeur de la résultante.

2o Pour trouver la pofition de cette résultante, on fera la proportion fuivante: la réfultante connue eft à la diftance comprise entre les directions des deux puiffances compofantes, comme l'une de ees puiffances compofantes eft à la diftance comprife entre les directions de l'autre, & de la réfultante. Nous avons démontré cette proportion (Num. XXVIII.).

Si l'on tiroit une oblique IKL (Fig. 15.), ou LIK (Fig. 16.), qui coupât les directions des deux puiffances compofantes, on pourroit déterminer fur cette oblique le point K, où paffe la direction de la réfultante R, en faisant la proportion RIL PKL.

On voit par cette folution, que fi les deux puiffances P, Q étoient appliquées à deux points I, L, d'une verge inflexible fans pefanteur, & qu'après avoir déterminé le point K, où passe la direction de la résultante, on appliquât à ce point une puiffance S, égale & diamétralement oppofée à la réfultante, 1o cette réfultante feroit équilibre aux deux puiffances P & Q, puifqu'elle détruiroit leur réfultante; 2o on trouveroit toujours le point K, auquel on doit appliquer la puiffance S, en faisant la proportion SRIL: PLK.