XLIV.

PROBLÈME V. Déterminer la résultante de plufieurs puiffances parallèles appliquées à différents points d'un fyftème de corps, & dirigées dans le même Sens.

SOLUTION. Suppofons (Fig. 24.) un système de plufieurs corps A, B, C, D, liés par des verges infléxibles, fans pesanteur, & follicités par les forces parallèles P, Q, T, V.

1° La réfultante X des puiffances P, Q, fera P+Q; & l'on déterminera le point E de la ligne AB, par lequel paffe fa direction en faifant P+Q:P :: AB BE. Cela fuit de ce qu'on vient de dire (Num. XLIII. ).

2o La résultante des puiffances X & T, fera X+T, ou P+&+T; & l'on déterminera dans la ligne EC le point F, par lequel paffe cette réfultante, en faifant P+Q+T:EC::P+Q:FC.

3° La résultante Z des puiffances Y & V, fera Y+V, ou P+Q+T+V; & l'on déterminera dans la ligne FD le point G, par lequel paffe cette résultante, en faifant la proportion P+2 +T+V; FD :: P+Q+T:GD.

La puiffance ZP+Q+T+V eft la réfultante de toutes les puiffances parallèles, dans la fuppofition que nous avons faite; & l'on voit aifément qu'il n'y auroit pas plus de difficulté à réfoudre

le problême, dans le cas où l'on fuppoferoit un plus grand nombre de forces parallèles.

On pourroit auffi trouver la résultante Z par la méthode que nous employerons dans un moment pour réfoudre le Problème VI; mais nous n'avons pas cru devoir omettre la folution précédente, parce qu'elle nous donne lieu de faire ici deux remarques importantes.

X L V.

REMARQUE I. Si les puiffances P, Q, T, V, n'avoient pas agi fur le fyftème de corps fuivant les directions AP, BQ, CT, DV, mais suivant d'autres directions quelconques parallèles Ap, Bq, Ct, Dv, la réfultante des puiffances P, Q, auroit toujours paffé par le point E, & eût été dirigée fuivant la ligne Ex, parallèle aux directions des puiffances. De même la résultante des trois puiffances P, Q, T, auroit toujours paffé par le point F, & fa direction auroit été Fy. Pareillement la résultante des quatre puiffances P, Q, T, V, auroit paffé par le point G, & fa direction auroit été Gz. Donc dans tout fyftème de corps follicité par des forces parallèles, il y a un point G par où paffera toujours la résultante de toutes les puiffances parallèles, tant que le rapport de leurs valeurs ne changera pas, quelle que foit d'ailleurs leur direction. Donc ce point G fe trouvera toujours dans

la direction de la force qu'on employera pour faire équilibre à toutes les forces parallèles qui agiffent fur le fyftème de corps. Ce, point remarquable peut s'appeler le centre des forces parallèles.

X L V I.

REMARQUE II. Lorfqu'un corps fe meut, ou tend à fe mouvoir fuivant une direction quelconque, on peut imaginer ce corps comme compofé d'une infinité de parallélipipèdes rectangles égaux, & dont les côtés foient parallèles à la direction du corps. Ces parallelipipèdes fe mouvront ou tendront à fe mouvoir fuivant leur longueur, avec une viteffe égale à celle du corps, & l'on pourra les confidérer comme follicités par des forces parallèles égales. Chacune de ces forces étant le produit du parallelipipède élémentaire auquel elle est appliquée, par la vîteffe commune, la réfultante de toutes ces forces fera la fomme de tous les parallélipipèdes, ou la maffe totale multipliée par la víteffe du corps: ainfi cette résultante fera exprimée par la quantité de mouvement du corps. Mais il est évident, d'après la remarque précédente (Num. XLV.), que cette réfultante peut toujours être censée agir dans le feul parallelipipède placé au centre des forces parallèles, Donc on voit aifément par-là, comment l'équilibre de deux corps fe réduit à celui de deux parallelipipèdes à bases égales,

& par conféquent comment le troifième principe fondamental, démontré Num. XX., s'applique à des corps de figure quelconque,

XL VIL

PROBLÈME VI. Déterminer la résultante de plufieurs puiffances parallèles, foit qu'elles agiffent toutes dans le même fens, foit qu'il y en ait qui agiffent dans un fens contraire à celui des autres.

SOLUTION, Soient (Fig. 19.) les puiffances parallèles P, Q, T, V, & fuppofons que la puiffance T n'agiffe pas dans le même fens que les autres. Concevons les trois plans ABCD, ADEF, ABGF, tels que nous les avons fuppofés Num. XXXVII.

1° On aura évidemment la résultante RP +e+V-T.

2o La distance du plan ABCD à la direction de la réfultante, fera

PXpp"+QXqq"-TXu"—VXw".
P+Q+V-T

3o La distance du plan ADEF à la direction de la réfultante, fera

PXpp'+QXqq'+VXw —T× u
P+Q+V―T

Ainfi on connoîtra les valeurs des lignes rr", r',
Tout cela eft clair par ce que nous avons démontré
Num. XXXVIII,

4° Qu'on prenne fur la ligne AF la partie Ar r",& qu'on mène la ligne r'r parallèle à la ligne AB. Qu'on prenne de même fur AB, la partie Arrr, & qu'on mène la ligne r'r parallèlement à la ligne AF, Les deux lignes r'r, rr fe rencontreront en un point r par où devra passer la direction de la réfultante.

Je ne m'arrête pas au cas où toutes les puiffances parallèles agiroient dans le même plan. Le problème fe réfoudroit alors fans difficulté, par ce que nous avons dit Num. XXXV,

XLVIIL

PROBLÈME VII, Déterminer la résultante de plufieurs puiffances qui agiffent dans un même plan, fuivant des directions quelconques.

SOLUTION. Soient les trois puiffances P, Q, T, (Fig. 25.), représentées par les lignes AB, CD, EF, fuivant les directions defquelles elles agiffent.

1° Qu'on prolonge les directions des puissances P&Q jufqu'à leur point de concours d. Pour repréfenter la puiffance P, on pourra prendre ad=A B. Car l'action d'une puiffance eft la même en quelque point de fa direction qu'on la fuppofe appliquée. De même, pour repréfenter la puiffance Q, on pourra prendre ed CD. Or il eft évident que la réfultante des puiffances repréfentées par