en menant du point E la perpendiculaire E G fur la direction de la puiffance V, le moment de la résultante totale fera o XEG=0: donc auffi la différence des moments des puiffances qui tendent à faire tourner autour du point E, doit étre zéro dans le cas de l'équilibre.

Enfin, fi les deux conditions ont lieu, il y aura néceffairement équilibre dans le plan. Car il fuffit pour l'équilibre, que la réfultante de toutes les puiffances qui follicitent le plan, foit nulle par l'effet d'une deftruction de forces faite dans la même ligne. Or fi l'on fuppofe que la première condition ait lieu, la résultante eft nulle, puifque les deux réfultantes partielles des puiffances parallèles ne peuvent être zéro, que leur réfultante totale ne foit nulle: & fi l'on fuppofe de plus que la feconde condition ait lieu, la résultante totale fera nulle par l'effet d'une deftruction de forces faite dans la même ligne, & non par la fuite d'une oppofition de forces dans deux lignes parallèles.

En effet, quand la résultante totale devient nulle par l'oppofition de deux forces compofantes parallèles, égales & dirigées en fens contraire, jamais la différence des moments dont il s'agit dans la feconde condition, n'eft zéro. Suppofons pour le démontrer, que la résultante des puiffances P, Q, T, foit une force Z, égale & parallèle à la force V, mais qui agiffe fuivant la ligne FZ, en fens cppofé

à l'action de la force V. Si on prend le centre des moments en E" entre les directions des forces V & Z, les deux forces tendront à faire tourner dans le même sens autour de ce point, & leurs moments ne se détruiront pas. Si on prend le centre des moments en E' fur la direction de l'une des forces 7, le moment de cette force deviendra nul, & rien ne détruira le moment VX E'G de l'autre. Enfin, fi on prend le centre des moments en E hors des directions des deux puiffances, la différence des moments fera VX EG-ZXEE, qui évidemment n'eft pas zéro, puisque V étant égal à Z, & EG plus grand que EE', le moment pofitif eft plus grand que le négatif. Donc fi la réfultante Z des puiffances P, Q, T, n'eft pas oppofée à la dernière force V fuivant la même ligne, jamais la différence des moments de Ź & de V, ou ce qui eft la même chofe, de P, Q, T, V, par rapport à un point pris dans le plan MN, ne fera

zéro.

LIII.

REMARQUE. S'il y avoit dans le plan follicité par les puiffances, un point fixe E, de manière que le plan ne pût recevoir qu'un mouvement de rotation autour de ce point, il fuffiroit pour l'équilibre, que les moments des puiffances qui tendent à faire tourner autour de ce point dans un fens, moins les moments de celles qui tendent à faire

tourner

tourner en fens contraire, fuffent zéro. Car cette condition ayant lieu, on aura zéro pour le moment de la réfultante, qui (Num. XXXIII.) eft toujours égal à la différence des moments des puiffances compofantes. Donc il faudra que la résultante totale foit elle-même zéro, à cause d'une élifion faite dans la même ligne, ou qu'elle paffe par le point fixe E. Dans le premier cas, il y a a évidemment équilibre. Dans le fecond, la résultante agira contre le point immobile, & fera détruite par fa résistance: donc elle ne pourra produire aucun mouvement dans le plan.

LIV.

PROBLÈME XII. Etant données tant de puiffances qu'on voudra, qui agiffent dans différents plans, fuivant des directions quelconques, décompofer ces puiffances en d'autres équivalentes qui n'agiffent que dans trois plans, dont chacun foit perpendiculaire aux deux autres.

SOLUTION. Soient les trois plans HI, KL, MN (Fig. 31.), dont chacun eft perpendiculaire aux deux autres, & dans lefquels doivent agir les puiffances qu'on veut fubftituer aux puiffances données.

1o Je décompofe par le problème IX (Num. L.) chaque puiffance donnée en trois autres perpéndiculaires aux trois plans.

2o Soit P l'une des puiffances qui, après cette

E

première décompofition, feront perpendiculaires au plan MN. Par le point V, où la direction de cette puiffance rencontre ce plan, je tire la ligne SVT jufqu'aux interfections de MN avec les deux autres plans. Je peux (Num. II.) décompofer la puiffance P en deux autres Q, R, qui paffent par les points S, T, & qui feront dans les plans

PXVT
ST

&R=

PXVS.

ST

HI & K L. J'aurai Q= On pourra traiter toutes les puiffances perpendiculaires au plan MN comme la puiffance P. On pourra décompofer pareillement les puiffances perpendiculaires aux plans HI, KL. Donc il est toujours poffible de décompofer par cette méthode, un nombre quelconque de puiffances dirigées comme on voudra, en d'autres équivalentes, & qui n'agiffent que dans trois plans, dont chacun foit perpendiculaire aux deux autres.

Pour comprendre le dernier problème, qui eft le plus général de tous, il faut s'arrêter un moment aux remarques fuivantes.

fance

L V.

REMARQUE I. Il est évident que la puifqui agit dans le plan KL, tend à le mouvoir, & qu'elle le feroit tourner autour du point C, fi ce point étoit immobile. De même, la puisfance R, tend à mouvoir le plan HI, dans lequel

elle agit, & fi le point C étoit fixe, elle feroit tourner le plan autour de ce point. Donc puisque la puiffance P équivaut aux deux puiffances Q, R, dont elle eft réfultante, il eft vifible que cette puissance P, tend à imprimer un mouvement de rotation aux deux plans KL, HI, qui lui font parallèles. On peut dire la même chofe d'une autre puiffance quelconque par rapport aux plans parallèles.

LV I.

REMARQUE II. Soit P une puiffance décompofée comme dans le problême précédent, en deux autres Q & R, qui agiffent dans les plans parallèles KL, HI. La puiffance Q qui fe trouve dans le plan KL, aura, par rapport à l'intersection C des trois plans, un moment égal à celui de la puiffance décomposée P, relativement à l'interfection DE des deux autres plans MN, HI.

En effet, la puiffance P étant la réfultante des forces Q, R, fon moment, par rapport au plan HI, ou par rapport à l'axe DE, vaut la fomme des moments de Q & de R. Mais la puiffance R fe trouvant dans le plan HI, fon moment, par rapport à DE, eft zéro. Donc le moment de P, par rapport à DE, est égal au moment de la puiffance Q; c'eft-à-dire, qu'en abaiffant du point V la perpendiculaire VY fur DE, on aura PXVF =excs.