par des forces parallèles, il aura nécessairement (Num. XLV.) un centre de ces forces parallèles, c'est-à-dire, un point où fe couperont les directions de la réfultante de tous les poids élémentaires, quelle que foit la fituation du corps par rapport à ces directions. Ce point eft ce qu'on appelle le centre de gravité.

4° Si l'on veut n'employer qu'une puiffance pour mettre en équilibre & foutenir un corps pefant, de manière qu'il ne puiffe prendre du mouvement

en aucun fens, il faudra que la direction de cette puiffance foit verticale, & de plus qu'elle passe par le centre de gravité du corps. Car, pour l'équilibre, il faut que la réfultante de tous les poids élémentaires dont le corps eft compofé, foit détruite par une force égale & qui agiffe dans la même ligne que cette réfultante. Or cette réfultante agit néceffairement fuivant la ligne verticale menée par le centre de gravité. Donc la puiffance propre à la détruire, agira en fens oppofé fuivant la même ligne.

On voit par là que fi un corps A (Fig. 32.) eft foutenu en équilibre par une corde ba, la direction prolongée de cette corde paffera évidemment par le centre de gravité G.

5° On peut fuppofer que tout le poids d'un corps réfide à fon centre de gravité; ou, ce qui eft la même chofe, tous les poids élémentaires qui

forment le corps, ne produisent pas d'autre effet, que celui que produiroit un feul poids égal à leur fomme & placé au centre de gravité du corps. En effet, plusieurs puiffances parallèles qui agiffent fur un système de corps, produifent le même effet que produiroit leur résultante: or les poids élémentaires font des puiffances parallèles dont la réfultante vaut le poids total & paffe toujours par le centre de gravité: donc ces poids élémentaires diftribués dans toute l'étendue du corps, produifent précisément l'effet que produiroit le poids total placé au centre de gravité.

6o Le centre commun de gravité de deux corps A & B (Fig. 33.), fe trouve toujours placé dans la ligne droite qui joint leurs centres particuliers de gravité a, b. En effet, on peut concevoir les poids de deux corps, comme deux forces parallèles appliquées à leurs centres de gravité a, b. Or le centre commun de deux forces parallèles appliquées conftamment aux mêmes points d'un système, fe trouve dans la droite qui joint ces points d'application. Cela eft évident par ce que nous avons dit (Num. XLV.). Donc le centre de gravité des corps A & B fera dans quelque point e de la ligne ab.

7° On pourra trouver combien le centre com༡༠ mun de gravité eft éloigné des centres particuliers des deux corps, en faisant cette proportion: La fomme des deux poids A, B eft à la distance ab

de leurs centres particuliers de gravité, comme l'un de ces poids eft à la diftance comprise entre le centre de l'autre & le centre commun. Car la résultante des poids A, B vaut la somme A+B de ces poids, & paffe par le point e, centre commun de gravité. Or, deux forces parallèles & leur résultante font entr'elles, chacune comme la partie d'une ligne comprise entre les directions des deux autres (Num. XXVIII.). Donc A+B:ab::A;be :: Bae.

8° Soient plufieurs corps pefants A, B, C, D, (Fig. 34), dont les centres de gravité a, b, c, d, foient difpofés dans une même ligne droite: leur centre commun de gravité G fera auffi dans la même ligne. De plus, la résultante de tous les poids fera A+B+C+D, & fon moment, par rapport à un point quelconque E, pris dans la même ligne, fera égal à la différence des moments qu'ont les poids qui tendent à faire tourner en fens oppofés. On aura donc (A+B+C+D)XEG =CX Ec+ DX Ed—A × Ea—B × Eb; d'où l'on tire

EG_C×Ec+D×Ed—A×Ea—B×Eb.
A+B+C+D

9° Si l'on a tant de corps qu'on voudra, dont les centres de gravité foient dans une même ligne droite, les moments des corps de part & d'autre du centre commun de gravité, pris par rapport à

ce

ce point, feront égaux entr'eux. Car fuppofons que le point E (Fig. 34.) coïncide avec le point G: dans l'équation que nous venons de trouver, nous aurons EG=o; & par conféquent CX Ec+D XEd-AX Ea-BX Eb-o, ce qui donne CX Ec+ DX Ed=A× Ea+BXEb.

10° Soient plufieurs poids A, B, C, D (Fig. 35.), dont les centres de gravité a, b, c, d foient placés, fi l'on veut, dans différents plans, & dont le centre commun de gravité foit le point G. La résultante de tous ces poids qui paffe par le point G, fera A+B+C+D; & fon moment par rapport à un plan quelconque EF, fera égal à la différence des moments qu'ont les poids placés de part & d'autre du plan. Car fuppofons que tout le système foit difpofé de manière que le plan EF foit vertical & parallèle à la direction de la gravité qui follicite les poids dont il s'agit, & menons fur ce plan les perpendiculaires a a', bb', cc', dd, Gg'; on aura évidemment (Num. XXXVIII.), A+B+C+D XGg=AX aa+Bxbb-CX cc-Dxdď. Donc le centre de gravité G fera éloigné du plan EF d'une quantité

Gg=

Axaa-Bxbb'-CXcc-DXdd
A+B+C+D

11° Si un plan paffe par le centre commun de gravité de tant de corps qu'on voudra, les corps

F

placés de part & d'autre de ce plan, auront, par rapport à lui, des moments égaux. Car fi l'on fuppofe que le plan EF paffe par le point G, on aura dans l'équation précédente Gg=o, ce qui donnera Axaa+Bxbb'-CXcc-DXdd=0; d'où l'on tire Axaa'+B×bb'=Cxcc'+D×dď. Il est évident que la démonftration feroit la même, quand on fuppoferoit un plus grand nombre de corps.

On voit par là que fi un corps pefant eft coupé par un plan qui paffe par le centre de gravité, les moments de tous les corpufcules élémentaires fitués d'un côté du plan, feront égaux aux moments des corpufcules fitués de l'autre côté. Car ces corpufcules peuvent être confidérés comme autant de poids qui font effort fuivant des directions parallèles.

12° Si les quantités A, B, C, D, au lieu de défigner les poids de plufieurs corps, défignoient ceux de plufieurs furfaces dont les centres particuliers de gravité fuffent a, b, c, d, & dont le centre commun de gravité fût G, on auroit encore les équations précédentes. Donc la différence des moments de ces furfaces, par rapport à un plan EF, eft égale au moment d'une furface A+B +C+D, dont le centre de gravité feroit auffi en G.

L X V.

PROBLÈME I. Déterminer par expérience le centre de gravité d'un corps.`