ARTICLE III.

De l'Équilibre des Machines.

L X X V I.

ON donne le nom de machine à tous les inftruments par le moyen defquels fe tranfmet l'action des forces. Les machines font composées ou fimples, fuivant qu'elles réfultent ou ne résultent pas de la combinaifon de plufieurs autres. Il y a une infinité de machines compofées, & le nombre s'en accroît tous les jours. Mais le nombre des machines fimples eft très-borné. Quelques auteurs en comptent fept, d'autres fix, d'autres cinq, d'autres trois. Il y en a même qui prétendent que toutes les machines peuvent fe réduire au levier. Quoi qu'il en foit, nous traiterons ici en particulier de la machine funiculaire, du levier, de la poulie, du tour, du plan incliné, de la vis & du coin. Cela nous donnera lieu de parler auffi de quelques autres machines, qui ne font que des combinaisons très-fimples des précédentes.

SECTION I.

De la Machine Funiculaire.

LXX VI I.

ON appelle machine funiculaire, celle où l'on

n'employe que des cordes pour foutenir un poids,

ou pour contrebalancer des puiffances. Je ferai précifion du poids des cordes, jufqu'à ce que j'avertiffe expreffément que j'en tiens compte.

LXXVIII

PROBLÈME I. Déterminer les conditions de l'équilibre de trois puiffances P, Q, S (Fig. 42.), qui agiffent par le moyen de trois cordons qu'affemble un naud fixe A.

SOLUTION. Il est évident que fi l'une des puiffances, par exemple P, eft égale & diamétralement oppofée à la réfultante R des deux autres, il y aura équilibre. Prolongez donc la direction PA de la puiffance P, & prenez fur fon prolongement une partie AD, égale à la ligne AE que je fuppofe exprimer la puiffance P. Achevez enfuite le parallelogramme ABDC: il faudra, pour l'équilibre, que les puiffances Q, S, foient repréfentées par les lignes AB, AC.

En effet, fi la puiffance Q eft représentée par AB, & la puiffance S par AC, leur résultante fera exprimée par la diagonale AD, & fera par conféquent égale & diamétralement oppofée à la force P qu'on fuppofe repréfentée par AE. Il est évident que dans tout autre cas les puiffances Q, S, n'auroient pas AD pour résultante, & qu'il ne pourroit pas y avoir équilibre.

L X X Í X.

COROLLAIRE I. Si les deux cordons AQ, AS (Fig. 43.), au lieu d'être follicités par deux puiffances, étoient attachés à deux points fixes Q, S, alors AB & AC repréfenteroient les efforts fup portés par les points fixes, ou les tenfions produites dans les deux cordons en conféquence de l'action de la force P.

COROLLAIRE II. Les trois puiffances P, Q, S (Fig. 42.), dans le cas d'équilibre, font proportionnelles chacune au finus de l'angle formé par les directions des deux autres.

Pour le démontrer, fuppofons que R foit la réfultante des puiffances Q, S. On a (Num. XIX.), la fuite des raifons égales, R: fin. QAS::Q: fin. RASS: fin. QAR. Mais dans le cas d'équilibre PR. D'ailleurs, fin. RAS= fin. PAS, & fin. QAR = fin. QAP, parce que le finus d'un angle vaut celui de fon fupplément. Donc on aura P: fin. QAS::Q: fin. PAS::S: fin. Q A P. L X X X I.

COROLLAIRE III. Qu'on fuppofe (Fig. 44.) la puiffance P auffi petite & les puiffances Q, S auffi grandes qu'on voudra, il y aura toujours un angle au point A, pourvu que les trois puiffances foient finies.

Car nous venons de démontrer qu'on a toujours Q: fin. PAS:: P: fin. QAS. Dans cette proportion les trois premiers termes font des quantités de valeur finie par la fuppofition. Donc le quatrième terme fin. QAS aura néceffairement une valeur finie. Or tout finus dont la valeur eft finie, eft le finus d'un angle dont la valeur eft pareillement finie. Donc quelque petite qu'on fuppofe la puiffance P, elle produira un coude au point A.

LXXXI I.

COROLLAIRE IV. Une puissance très-petite P pourra produire une tenfion confidérable dans les cordons AQ, AS, fi l'on fuppofe que l'angle QAS foit très-obtus.

Car ces tenfions Q, S, font à la puiffance P, comme les finus des angles PAS, QAP font au finus de l'angle QAS. Or il eft vifible que lorfque l'angle QAS eft très-obtus, les deux angles PAS, QAP peuvent différer peu de l'angle droit, & alors leurs finus font très-grands par rapport au finus de QAS qu'on fuppofe très-obtus. Donc auffi les tenfions ou forces Q, S font très-grandes par rapport à la force P.

Ceci peut fervir à rendre raifon du phénomène suivant. Soient A, B, C, ( Fig. 45.), des veffies qui communiquent ensemble par des petits bouts de tuyaux qui fervent à les joindre. Soit D un poids

de

I

de

30 livres qui repofe fur le pied de la machine, quand les veffies font vuides. Si l'on fouffle de l'air

dans ces veffies par le moyen du tuyau qu'on voit en E, elles s'enflent, & le poids s'élève de plusieurs pouces. On conçoit aisément que l'air qui s'introduit dans les veffies, exerce fon action en tout fens il agit donc contre les parois bb, cc, qu'on peut confidérer comme un affemblage de fibres funiculaires; & la tenfion qu'il produit dans ces parois, doit furpaffer confidérablement la force dont il eft doué lui-même. Il n'eft donc pas impoffible que les parois fe dilatent fuffifamment pour foulever le poids D.

LX XXIII

PROBLÈME II. Déterminer les conditions de l'équilibre d'une machine funiculaire, dans laquelle chaque nœud fixe n'affemble que trois cordons follicités par des puiffances dont les directions font dans le même plan.

SOLUTION. Soit la machine funiculaire PA BCT (Fig. 46.), dans laquelle chaque nœud n'affemble que trois cordons. Soient les puiffances P, Q, R, S, T, appliquées à ces cordons. Soit enfin a la tension du cordon AB, & b la tension du cordon BC. On peut confidérer ces tenfions comme des puiffances appliquées à ces cordons.

Cela pofé, il faut & il fuffit pour l'équilibre de la machine, 1o que des trois puiffances appliquées G