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ment qu'il n'y a point de force, quelque petite qu'on Pimagine, qui ne foit capable de faire monter à cette hauteur quelque grand poids que ce foit, à l'aide feulement d'une corde attachée à quelque point fixe.

Voilà pour les directions des graves paralleles entr'elles; mais fi elles concourent en quelque endroit du monde, le poids K doit monter d'une plus grande hauteur que AF, fi ce concours eft du côté de F ; & d'une moindre, s'il eft du côté de P:& ce d'autant plus ou moins grande ( quoiqu'en raison differente) que l'angle de concours de la direction du poids K retenu en A, & de la verticale PF, feroit plus grand. Tout cela eft clair aux moindres Géometres, même par le feul Liv. 1.des Elemens d Euclide: c'eft pourquoi nous ne nous y arrêterons pas davantage.

COROLLA ERE XIX.

56.

La conftruction du triangle MLI demeurant ici la Fies même que dans le Corol. 6.ce Corol. 6. joint au Corol- $3. 54. $56laire 5. qui le précede, fait auffi voir que fi le poids K & les puiffances P, R, font entr'eux comme les côtez MI, ML, LI, de ce triangle, perpendiculaires (Hyp.) en O, M, N, aux directions AD, AP, AR, de ce poids & de ces deux puiffances ; ce poids doit demeurer en équiFibre avec elles. Car le Corol. 2. du Lem. 8. faifant voir que les trois côtez MI, ML, LI, du triangle MLI, font entr'eux comme les finus des angles PAR, DAR, DAP, dont le premier eft vifiblement le complement (à deux droits ) de MLI, & les deux autres égaux à LIM, LMI, chacun à chacun ; l'on aura pour lors le poids K aux puiffances P, R, comme le finus de l'angle PAR eft au finus des angles DAR, DAP. Or en ce cas ( Corol. 15.) ce poids. K demeureroit en équilibre avec ces deux puiffances P, R. Donc il y doit auffi demeurer, lorfque lui & elles font entr'eux comme les côtez MI, ML, LI, du triangle MLI, perpendiculaires (Hyp.) à leurs dire-&tions AD, AP, AR.

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COROLLAIRE XX.

Il fuit encore du Corol. 15. joint au Corol. 2. de la Déf. 9. que fi au lieu du poids K on mettoit quelque nouvelle puiffance, appellée auffi K, laquelle fut aux deux puiflances P, R, comme le finus de l'angle PAR aux finus des angles RAX, PAX; en forte que ces trois puiffances K, P, R, fuffent entr'elles comme les finus des trois angles PAR,RAX, PAX, au travers defquels leurs directions ou cordes prolongées pafferoient ; elles demeureroient en équilibre entr'elles, de maniere qu'aucune d'elles ne l'emporteroit fur aucune des deux autres. COROLLAIRE XXI.

On voit de-là, & des précedens Corol. 14. 15. 16. 17. 18. 19. que fans rien changer à l'inclinaifon des cordes PG, RH, par rapport à AX, une infinité d'autres puiffances mifes en la place des précedentes P, R,K, pourront demeurer en équilibre entr'elles trois à trois, pourvû qu'ainfi prises trois à trois, elles foient entr'elles comme ces trois premieres.

COROLLAIRE XXII.

On peut auffi en changeant l'inclinaifon de ces cordes ou directions, conferver l'équilibre entr'elles de ces puiffances P, R, K, dans quatre pofitions differentes de ces mêmes cordes, ou dans trois variations differentes des angles qu'elles font entr'elles, pourvû que ces trois puiffances faffent échange entr'elles, jufqu'à ce que chacune d'elles fe trouve fucceffivement appliquée à chacune de ces cordes dans deux fituations differentes des deux autres. Pour voir tout cela, il n'y a qu'à s'imaginer que lorfque deux puiffances, par exemple, P, R, dans la Fig. 54. font échange de leurs cordes, il fe fait en même tems une échange des angles que ces mêmes cordes faiLoient auparavant avec celle de la puissance K,qui n'en change point alors, fans qu'il arrive aucun changement

à l'angle PAR que ces deux cordes-là faifoient entr'elles: de cette maniere l'on aura deux des cas dont il eft ici question. On en trouvera encore deux en concevant de même l'échange d'angles qui fe fera de même dans l'échange des cordes de P & de K, fans toucher à celle de R ; & encore deux pour l'échange de celles de K, R. C'est ainsi que l'on auroit fix politions differentes des cordes des puiffances P, R, K, fans que ces trois puiffances ceffaffent d'être en équilibre entr'elles, fi ce n'eft que la premiere de ces pofitions, dans laquelle ces puiffances étoient (Hyp.) d'abord en équilibre entr'elles, fe trouve ici repetée trois fois ; fçavoir une avec chacune des trois autres pofitions ; ce qui en fournit trois fois deux. Ainfi il n'y en a que quatre en tout où l'équilibre fe puiffe conferver entre les trois puiffances fuppofées dans l'échange de cordes & d'angles dont il s'agit ici.

COROLLAIRE XXIII.

Mais tant que chacune de ces trois puiffances P, R, K, demeure appliquée à la même corde ou branche de corde, l'on ne peut en changer la direction, c'est-à-dire, l'inclinaifon de ces cordes, ou leurs angles, fans rompre l'équilibre fuppofé entre ces puiffances; puifqu'il n'eft pas poffible de trouver feulement deux fituations d'aucune de leurs cordes, dans lesquelles les finus des trois angles PAR, RAX, PAX, ayent les mêmes rapports entr'eux, ni confequemment les mêmes rapports que ceux des puiffances K, P, R; rapports cependant neceffaires (Cor. 4.) entre ces trois finus pour que ces trois puiffances foient en équilibre entr'elles.

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C'est ce qui fait qu'autant de fois que l'angle PAR compris entre les cordes ou directions des puiffances P, R, variera, il faudra tout autant de poids differens pour faire équilibre avec ces deux mêmes puiffances. En effet plus cet angle fera grand, plus le poids K, qu'elles au

P

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ront à foûtenir, devra ( Corol. 9.) être petit par rapport à elles (quoiqu'en raifon differente) pour faire équilibre avec elles de forte qu'on peut faire cet angle PAR fi obtus que ces deux puiffances P, R, demeurant toûjours les mêmes, foûtiendront ensemble en équilibre un poids. K fi petit qu'on voudra, pourvû(Corol. 6. nomb. 1. ¿ Corol. 8.) que la fomme faite de fa pefanteur & de chacune de ces deux puiffances, foit plus grande que l'autre feule, & lui moindre que ces deux enfemble. Ainfi cela fe trouvant toûjours tant que ces deux puiffances font égales entr'elles, & ce poids moindre que leur fomme ; ce poids K peut alors diminuer à l'infini, & cependant par l'augmentation de l'angle PAR faire toûjours équilibre avec ces deux puiffances P, R, quelque grandes qu'on les fuppofe. Mais fi au contraire la pefanteur de ce poids fe trouvoit feule plus grande que la fomme de ces deux puiffances, le nomb. 1. du Corol. 6. & le Corol. 8. font voir qu'elles ne pouroient alors le foûtenir en équilibre, quelqu'angle PAR que les directions de ces deux puiffances fiffent entr'elles: & fi ce poids étoit feul égal à leur fomme, il faudroit pour cela (Corol. 6. nomb. 2.& Corol. 10.) que l'angle PÂR fùt infiniment petit ; & confequemment (Lem. 6. Corol. 2. 3. & part. 1.) que ces deux puiffances agiffent alors en même tems contre ce poids fuivant des directions toutes deux paralleles à la fienne, ou confondues toutes deux avec elle. D'où l'on voit (Corol. 6. nomb. 1. 2. 3.) que depuis l'égalité de ce poids avec la fomme de ces deux puillances, jufqu'à se trouver infiniment petit par rapport à elles, il pourra toûjours faire équilibre avec elles, fi elles font égales,

entr'elles.

COROLLAIRE XXV.

C'est ce qui peut arriver en changeant la direction de P'une & de l'autre de ces deux puiflances P,R: mais à ne changer qu'une de ces directions,

1o. Si ces deux puiflances font égales, ou fi étant iné

que

gales entr'elles, il s'en trouve une qui ait fa direction horifontale, comme dans la Fig. 5 3. il eft clair qu'en ne changeant la direction que d'une de ces deux puiffances P, R, on changeroit auffi le rapport des finus des angles leurs cordes faifoient avec la direction du poids, ou fi ce rapport fe trouvoit encore le même, comme il peut arriver lorfque ces deux puiffances font égales entr'elles, leurs directions feroient alors en ligne droite: ainfi ces deux puiffances P, R, ne pourroient plus (Corol. 5. 11.) foûtenir le poids K, avec lequel on les fuppofoit en équilibre avant ce changement, ni aucune autre puiffance de même direction que que lui.

من

2o. Au contraire fi ces deux puiffances P, R, font inégales, & qu'elles n'ayent aucune de leurs cordes ou directions qui foit horizontale; au lieu du poids K, avec lequel on les fuppofe en équilibre, on pourra encore leur en faire foutenir un autre, pourvû que des directions de ces deux puiffances on change tellement celle qui ver le haut fait le plus grand angle avec celle du poids K fuppofé en équilibré avec elles, qu'on lui en fafle faire un autre avec celle-ci, lequel foit le complement de celui-là ́ à deux droits. Car les finus des angles que les cordes ou directions de ces deux puiffances P, R, font avec celle du poids K après un tel changement, étant encore (Def. 9. Corol. 2. les mêmes qu'auparavant; ces deux mêmes puiffances P, R, pourront encore (Corol. 15:) foûtenir ici un autre poids au lieu de K, auquel nouveau poids elles feront comme ces mêmes finus reciproquement pris, au finus de l'angle que leurs cordes ou directions y feront entr'elles ; c'est-à-dire, un nouveau poids qui fera (Cor. 5:) à celui K qu'elles foutenoient auparavant, comme ce dernier finus à celui de l'angle qu'elles faifoient alors entr'elles mais auffi par une raison toute contraire en tout autre changement d'une des directions de ces deux puiffances P, R, ces deux puiffances ne pourront plus rien foûtenir tant que les deux autres directions demeureront les mêmes qu'auparavant.

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