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La raifon pour laquelle on vient de demander (nomb. 2. J que ce changement fe fift dans celle des directions des puiffances, qui fait le plus grand angle vers le haut avec celle du poids qu'elles foutiennent; c'est que fi on faifoit un tel changement à l'autre de ces deux directions, l'angle qu'elles feroient entr'elles, fe tourneroit alors en deffous ce qui determineroit (Lem. 3. part. 2.) l'action de ces deux puiffances à feconder" La pefanteur du poids plûtôt qu'à le foûtenir.

SCHOL I E..

I. Voilà bien des manieres de reconnoître les rapports de trois puiffances fuppofées en équilibre entr'elles avec des cordes feulement; & reciproquement qu'avec de tels rapports elles doivent toujours demeurer ainfi en équilibre entr'elles. Quant à l'impoffibilité de cet équi libre,

1o. Les part. 1. 2. faifant voir que lorfqu'il fe trouve entre ces trois puiffances, leurs directions font toûjours toutes trois en même plan par un même point, ou paralleles entr'elles, & que chacune de ces trois puiffances fe trouve toûjours alors fuivant la direction de la force refultante du concours des deux autres: il fuit que l'é quilibre feroit impoffible entr'elles, s'il y manquoit quelqu'une de ces chofes ; puisqu'en cas d'équilibre (part. 1.2.) il n'y en manqueroit aucune.

2o. Les part. 3. 4. font voir auffi que quand il n'y manqueroit rien de tout cela, cet équilibre ne manqueroit pas d'être encore impoffible, fi les trois puiffances n'étoient pas entr'elles comme la diagonale & les côtez du parallelogramme qui les eût fur leurs directions ; & confequemment auffi fi elles n'étoient pas entr'elles comme les finus des angles marquez dans les Corol. de ces part. 3. 4. puifque fuivant ces mêmes part. 3. 4. & leurs Corollaires ces trois puiffances auroient toûjours ces rapports entr'elles en cas d'équilibre.

II. Il est à remarquer en ce cas d'équilibre, que fi d'un point quelconque de la direction de celle qu'on

vondra des trois puiffances P,K,R, on mene des perpendiculaires fur les directions des deux autres; lesproduits faits de ces deux autres puissances multipliées chacune par celle de ces perpendiculaires, qui le fera à fa direction, feront toûjours égaux entr'eux. Par exem ple, fi d'un point quelconque L de la direction AD de la puiffance ou poids K, on conçoit encore (comme dans le Corol. 1.) LM, LN, perpendiculaires aux directions AP, AR, des puiffances P, R, fuppofées en équilibre avec celle-là; l'on aura toûjours P×LM=R×LÑ; puifque ce cas d'équilibre donne toûjours (Cor. 1.) P.R::LN. LM:: AB. AC(Lem. 9.) On démontrera de même que le produit des puiffances K, R, multipliées par les perpendi culaires menées de tel point M qu'on voudra de la direction AP de la puiffance P fur les leurs, feront égaux entr'eux. La meme chofe fe démontrera auffi de même des produits faits des puiffances P, K, par les perpendiculaires menées d'un · point quelconque de la direction AR de la puiffance R. fur les leurs.

Tel eft jufqu'ici le fondement de tout ce qui fe peut dire des poids foutenus avec des cordes feulement, ou des puissances appliquées les unes contre les autres à des cordes feulement : Fondement confiftant dans le feul Th. 1. dont on vient de voir la fecondité. En voici l'application à quelques autres plus compliquez fur le méme fujet.

THEOREME II.

56.

Les Figures demeurant ici les mêmes que dans le précedent Fie. çi Th. 1. ce que les puiffances P, R, fuppofées en équilibre avec $3.54.58-5 le poids K, ont de force ou d'action verticale pour ou contre ce poids fuivant fa direction KX, eft toûjours (à parler le langage de la Def. 15.) en raison de leur fublimitez, fi elles tirent toutes deux de bas en haut, ou en raison de la fublimité de l'une à la profondeur de l'autre, fi l'une tire de bas enbaut, & l'autre de baut en bas.

Puj

DEMONSTRATION.

Le parallelogramme ABDC ayant, comme dans la part. 3. du Th. 1. fa diagonale AD fur la direction profongée XK du poids K, & fes côtez AB, AC, fur les cordes ou directions AP, AR, des puiffances P, R, fuppofées en équilibre avec ce poids par le moyen de ces cordes; foient des angles B, C, du parallelogramme les perpendiculaires BE, CF, fur fa diagonale AD prolongée ou befoin fera.

Cela fait, foient appellées E, F, les forces verticales employées felon la part. 2. du Lem. 3. par les puiffances pour ou contre le poids K fuivant fa direction XK. Cette même part. 2. du Lem. 3. fait voir que E, F:: AE. AF. Mais felon la Déf. 16. AE, AF, font les fublimitez des puissances P, R, dans toutes les Figures ici fuppofées, excepté dans la Fig. 53. où AE eft nulle, & dans la Fig. 54. ou AF eft la profondeur de la puiffance R, & la feule AE fublimité de la puillance P. Donc en ce cas d'équilibre entre le poids K & ces deux puissances P, R, les forces verticales E, F, de ces deux puiffances pour ou contre ce poids font toujours entr'elles en raifon de leurs fublimitez AE, AF, fi ces puiffances tirent toutes deux de bas en haut, comme dans les Fig. 52. 53. 55. 56.ou en raifon de la fublimité AE de l'une P, a la profondeur AF de l'autre R, fi la premiere de ces deux puiffances P, R, tire de bas en haut, & la feconde de haut en bas, comme dans la Fig. 54. Ce qu'il falloit démontrer.

La direction horisontale AP de la puissance P dans la Fig. 53. pouvant étre également prife pour infiniment peu élevée, ou pour infiniment peu abbaiffée par rapport à A, on la peut ajoûter au cas de la Fig. 54. comme en la vient d'ajouter à celui des Fig. 52. 55. 56. la nullité de AE dans cette Fig. 53.l'y rendant également fublimité ou profondeur nulle.

COROLLAIRE I.

On voit de-là, en prolongeant CF jufqu'à la rencontre

de AP prolongée en Q, qu'en ce cas d'équilibre les
forces verticales E, F, des puiffances P, R, pour on con-
tre le poids K fuivant fa direction KX ou XD, font aussi
toujours entr'elles en raifon réciproque des tangentes
des angles PAD, RAD, que les directions de ces puif-
fances font avec celle de ce poids. Car venant de trou-
ver (Lem. 3. part. 2.) E. F:: AE. AF. Et les triangles
conftr.) femblables QAF, BAE, CDF, donnant AE. AF
:: AB. AQ( le parallelogramme ABDC ayant AB=DC)
:: DC. AQ:: CF. FQ. l'on aura pareillement ici E. F::
CF. FQ. Mais en prenant AE pour le rayon, la Déf. 10.
avec fon Corol. fait voir que CF, FQ, font les
tangen-
tes des angles CAF, QAF, qui font les mêmes que RAD,
PAD. Donc les forces verticales E, F, des puiffances P,
R, pour ou contre le poids K fuivant fa direction KX,
ou XD, font toûjours ici entr'elles comme les tangentes
des angles RAD, PAD, c'est-à-dire, en raison recipro-
que
des tangentes des angles PAD, RAD, que les cor-
des ou directions de ces deux puiffances P, R, font avec
la direction du poids K, ainsi qu'on le vient d'avancer. ·

COROLLAIRE II..

55.560

Dans les Fig. 52. 55. 56. où les puiffances P, R, tirent FIG. 52 toutes deux de bas en haut, les parties du poids K, ou de fa pefanteur, foutenues dans ces Figures par ces puiflances P, R, étant égales en pefanteur (Lem. 3. Corol. nomb. 3.) aux forces verticales E, F, directement contraires à ces pefanteurs partiales & en équilibre avec elles.

1. Il fuit encore du prefent Th. 2. que ces parties du poids K, ainfi foûtenues chacune par chacune des puifTances P, R, en vertu de ces efforts verticaux E, F, font toûjours alors entr'elles comme les fublimitez AE, AF, de ces deux puiffances; & confequemment auffi comme les parties AE, ED de la diagonale AD, ou comme fes parties DF, FA: puifque les triangles égaux & femblables AFC, DEB, de même que AEB, DFC, rendent AFED, & AEDF. D'ou l'on voit que chacune des

perpendiculaires BE, CF, menées des extrêmitez B,C, des proportionnelles AB, AC, des puiffances P, R, fur la diagonale AD du parallelogramme ABDC, divisera toûjours cette diagonale AD en raifon des parties du poids K foûtenues par les puiffances P, R, fuppofées en équilibre avec lui, ou en raifon des efforts verticaux que ces deux puiffances font chacune contre lui.

2o. Il fuit du même Corol. 1. que ces mêmes parties du poids K foûtenues chacune par chacune des puiffances P, R, en équilibre ( Hyp.) avec lui, font auffi toujours entr'elles en raifon reciproque des tangentes des angles PAD, RAD, que les cordes ou directions de ces deux puiffances P, R, font avec celle de ce poids.

COROLLA IEE III.

De plus de ce que les pefanteurs des parties du poids K foûtenues par chacune des puiffances P, R, font (Lem. 3. Corol. 2. nomb. 3.) égales aux forces verticales E, F, directement contraires à ces pefanteurs partiales, & en équilibre avec elles ; il fuit que la puiffance, par exemple, Pfera à la partie qu'elle foutient de ce poids ou de fa pefanteur:: P. E( Lem. 3. part. 1.) :: AB. AE. c'est-à-dire ( Déf. 9. Corol. 1.) comme le finus total au finus de l'angle ABE de fa direction AP avec l'horifontale BE. On trouvera de même que la puiffance R eft à la partie qu'elle foûtient de ce même poids K ou de fa pefanteur

AC. AF. c'est-à-dire encore comme le finus total au finus de l'angle ACF de fa direction AR avec l'horifontale CF. D'où l'on voit que chacune de ces deux puiffances P, R, fuppofées en équilibre avec le poids K, eft toûjours alors à ce qu'elle foutient pour fa part de la pefanteur de ce poids, comme le finus total eft au finus de l'angle que la direction de cette puissance fait avec l'horifontale.

COROLLAIRE IV.

Si l'on appelle prefentement Y, Z, les parties du poids

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