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contraire & égal à la pefanteur de ce poids. Donc en ce cas d'équilibre non feulement cette derniere diagonale AD eft toûjours en ligne droite avec la direction AK de ce poids, mais encore ce poids K eft aussi toûjours à chacune des puiffances P, Q, R, S, comme cette derniere diagonale AD eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF. La même chofe fe trouvera de même pour tout autre nombre de puiffances ainfi en équilibre avec quelque poids que ce foit. Donc en general un poids ainfi en équilibre avec tant de puiflances qu'on voudra, par le moyen de plufieurs cordons iffus d'un feul nœud, fera toûjours à chacune de ces puiffances comme la diagonale du dernier des parallelogrammes faits comme ci-deffus, fera à chacune de leurs proportionnelles. Ce qu'il falloit 2o. démontrer.

PART. III. Soient encore fur les cordes ou directions FIG. 625 AP, AQ, AR, AS, &c. des puiffances P, Q, R, S, &c. 63. en équilibre ( Hyp.) avec le poids K, leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF, &c. Par les extrêmitez B, C, de deux quelconques AB, AC, d'entr'elles foit la droite BC, du milieu G de laquelle foit menée GE à l'extrêmité E d'une troifiéme quelconque AE de ces proportionnelles, laquelle GE foit divifée en H, de maniere qu'on ait HE. HG:: 1. 1. De ce point Hà l'extrémité F de la proportionnelle AF foit auffi menée HF, laquelle foit pareillement divifée en L, de maniere qu'on ait LF. LH:: 3. 1. Et ainfi de fuite fuivant les Corol. 2. 3.4. du Lem. 11. s'il y avoit ici plus de quatre puiffances avec le poids. Le Corol. 5.• du même Lemme 11. fait voir que l'effort refultant du concours des quatre puiffances P, Q, R, S, fera ici de A vers L fuivant AL, & à chacune de ces puiffances comme 4×AL eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF. Donc cet effort devant être ici (part. 1.) directement contraire & égal à la fanteur du poids K (Hyp.) en équilibre avec lui; ce poids K fera pareillement ici à chacune des puiffances P, Q, R, S, comme 4×AL eft à chacune de leurs proportion

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FIG. 60.

nelles AB, AC, AE, AF. Or ( Déf. 13.) L eft le centre principal d'équilibre de ces quatre puiffances P, Q, R, S. Donc le poids K ici (Hyp.) en équilibre avec elles, doit non feulement y avoir fa direction KA fuivant AL mais encore y être à chacune de ces puiffances P, Q, R, S, comme le produit 4xAL de leur nomb. 4. par la distance AL de leur centre principal L d'équilibre au nœud commun A. de toutes leurs cordes, eft à chacune des proportionnelles AB, AC, AE, AF, de ces quatre puiffances.

Les Corol. 2. 3. 4. 5. du Lem. 1 L. qui pour le cas de quatre puiffances en équilibre avec un poids donnent ce rapport de 4xAL à leurs proportionnelles, donneroient de même le rapport de nxAL aux proportionnelles de tel nombre n de puiffances qu'on voudroit ainfi en équilibre avec un poids, & ce poids dirigé fuivant AL, fi L étoit le centre principal d'équilibre de toutes ces puiffances. Donc en general, quelque foit le nombre de puissances dirigées à volonté dans quelque nombre de plans que ce foit, lefquelles foûtiennent toutes ensemble en équilibre un poids K auffi quelconque avec des cordes feulement, qui partent toutes d'un même nœud commun A ; ce poids ainfi en équilibre avec toutes ces puiifances, non feulement aura fa direction fuivant la ligne. menée de ce point A au centre principal d'équilibre de toutes ces puiffances ; mais encore il fera toujours alors à chacune d'elles comme le produit de leur nombre par la distance du noeud A à leur centre principal d'équilibre, fera à chacune de leurs proportionnelles. Ce qu'il falloit 3°. dé

montrer.

PART. IV. Le poids K étant ici fuppofé aux puiffances 1. 64. 63. P, Q, R, S, &c. appliquées comme ci-deffus en celle qu'on voudra des raifons marquées dans les part. 2. 3.il leur fera (Lem. 3. Corol. 10. & Lem. 11. Corol. 5.) en même raifon que l'effort refultant de leur concours contre lui; & par confequent ce poids fera égal à cet effort. Donc ce même puids K étant auffi (Hyp.) directement

contraire à ce même effort, il doit (Ax. 3.) demeurer en équilibre avec lui ; c'eft-à-dire, avec les puiffances P, Q, R, S, &c. du concours defquelles cet effort réfulte. Ce qu'il falloit 4°. démontrer.

COROLLAIRE I.

part. 3.

La part. 2. démontrée en fe fervant de parallelogrammes, fe prouve encore par la fans en faire aucun; & reciproquement cette part. 3. démontrée fans parallelogrammes, fe prouve au par ceux de la part. 2. Car,

1°. Le poids K étant en équilibre comme dans le com- F1 6, 62; mencement des démonftrations de ces part. 2. 3. avec 63. les quatre puiffances P, Q, R, S, feulement; fi l'on prend AD 4xAL fur AL prolongée dans les Fig. 62. 63. cette AD fera (Lem. 11.) la diagonale du dernier des parallelogrammes qui auroient été faits en A ( comme dans la demonstration de la part. 2.) des proportionnelles AB, AC, AE, AF, de ces quatre puiffances P, Q, R, S. Donc fuivant la démonstration de la part. 3. cette derniere diagonale AD fera encore ici non feulement en ligne droite avec la direction AK du poids K; mais auffi à chacune de ces proportionnelles AB, AC, AE, AF, des puiffances P, Q, R, S, comme ce poids eft à cha- cune de ces puiffances. On le déduira encore de même des Corol. 2. 3. 4. 5. du Lem. II. pour tout autre nombre de puillances quelconques dirigées à volonté, & suppofées ainfi en équilibre avec le poids K. Donc encore en general un poids quelconque ainfi foûtenu en équilibre par tant de puiffances auffi quelconques qu'on voudra, de directions pareillement quelconques qui rencontrent toutes celle du poids en un même noeud ou point A, fera toujours alors à chacune de ces puiffances, comme la diagonale du dernier des parallelogrammes, qui feroient faits en A de la même maniere que dans la démonstration de la part. 2. feroit à chacune des proportionnelles de ces mêmes puiffances. Ce qui eft cette

FI. c. 60. 41.

part. 2. elle-même qu'il falloit ici démontrer par la part. 3. fans faire aucun parallelogramme.

2°. Le poids K étant encore en équilibre comme cideffus, avec les quatre puillinces P, Q, R, S, fi l'on prend ALAD dans les Figures 60. 61. d'ou refulte 4×AL AD; le point L ainfi pris fur la derniere diagonale AD, fera ( Déf. 12 le centre principal d'équilibre de ces quatre puiffances; & confequemment AL fera la diftance de ce centre au noeud ou concours A de leurs quatre directions avec celle du poids. Or (part. 2.) če poids K ainfi en équilibre avec ces quatre puiffances P, Q, R, S, eft à chacune d'elles comme cette derniere diagonale AD eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF. Donc ce poids K fera auffi pour lors à chacune de ces puiffances P, Q, R, S, comme 4xAL (produit de leur nombre 4. par la diftance AL de leur centre principal d'équilibre au point A de concours de leurs directions) fera à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF. On le trouvera de même pour tout autre nombre de puiffances ainfi en équilibre avec quelque poids que ce foit. Donc en general ce poids ainfi en équilibre avec toutes ces puiffances quelconques, & de directions quelconques qui rencontrent toutes celle de ce poids en un même noeud ou point A, fera toûjours à chacune de ces puiffances, comme le produit de leur nombre par la diftance de ce point A à leur centre principal d'équilibre, fera à chacune de leurs proportionnelles. Ce qui eft la partie 3. qu'il falloit ici démontrer par la part. 2.en y employant des parallelogrammes.

COROLLAIRE II.

Il fuit de la part. 4. que tant de puiffances données qu'on voudra, appliquées à autant de cordes retenues enfemble par un feul noeud commun, peuvent demeurer en équilibre entr'elles fuivant une infinité de direations differentes pour toutes & pour chacune, excepté Lorfqu'il n'y en a que trois ou deux feulement.

Car en prenant le poids K pour une puiffance égale Fro. 60 à fa pefanteur, afin de faire fervir ici les Fig. 60. 61. la 61. part. 4. fait voir que quelque foit le nombre des puiffances données P, Q, R, S, &c. appliquées à autant de cordes attachées enfemble par un feul noeud commun A; toutes ces puiffances feront toujours en équilibre entreelles tant qu'une d'elles fera à toutes les autres comme la diagonale du dernier des parallelogrammes faits (ainsi que dans la démonftration de la part. 2.) de leurs pro-portionnelles fera à ces mêmes proportionnelles, & qu'elle fera dirigée fuivant cette diagonale à contre-fens de l'impreffion refultante de toutes ces autres puiffances.Or pour peu d'attention qu'on faffe à la démonftration de la part. 2. on verra que cela peut arriver dans une infinité de directions différentes de toutes ces puiflances, & de chacune d'elles: voici comment.

De toutes ces puiffances données P, Q, R, S,K, &c. moins deux quelconques S, K, foient les directions AP, AQ, AR, &c. telles qu'on voudra, & dans quels plans · on voudra, avec les proportionnelles AB, AC, AE, &c. des puiffances P, Q, R, &c. qu'on deftine à ces dire&ions. De deux quelconques AB, AC, de ces proportionnelles foit fait le parallelogramme BACH; de fa dia-gonale AH, & d'une troifiéme quelconque AE de ces mêmes proportionnelles, foit fait enfuite le parallelo- gramme HAEG; & toujours de même jufqu'à la dernie re inclufivement des puiffances qu'on vient de diriger à volonté, laquelle foit ici R. Sur la diagonale AG duder-nier de ces parallelogrammes foit dans tel plan qu'on voudra qui palle par elle, un triangle ADG dont les deux côtez GD, AD, foient chacun à AB, comme cha-cune des deux puiffances S, K, refervées pour les der-nieres, eft à la puiffance P. Soient enfin la puiffance S di-rigée fuivant AS parallele à GD, & la puiffance K fui-vant DA prolongée vers K.

Cela fait, il fuit de la part. 4. que toutes ces puissances P, Q, R, S, K, ainfi dirigées font en équilibre entre

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