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elles; puifque fi l'on mene DF parallele à AG, & qui rencontre AS en F, cette conftruction donnera la puiffance K dirigée suivant DA, est à chacune des autres P., Q, R, S, comme cette diagonale AD du dernier AGDF des parallelogrammes ici taits, eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF. Ce nombre arbitraire de puiffances données fait voir qu'il en fera de même de tout autre nombre de puiffances quelconques aussi données. Donc les directions de celles-la ayant été prifes arbitrairement, à la reserve de deux qu'on voit devoir varier avec elles ; ces mêmes puiffances P, Q, R, S, K, peuvent ainfi faire équilibre entr'elles fuivant une infinité de directions differentes pour toutes & pour chacune d'elles. Leur nombre auffi arbitraire fait pareillement voir qu'il en fera de même de tout autre nombre de puiffances données quelconques, pourvû ( Schol. du Th. 1.) qu'il ne foit pas moindre que quatre.

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dre

que

Il est à remarquer que la difpofition des directions arbitraires doitici étre telle que la penultieme diagonale AG foit moin-' la fomme des proportionnelles GD, AD, des deux puissances reftantes 8, K, & assez grande pour faire avec chacune de ces deux dernieres proportionnelles une fomme plus grande que l'autre de ces mémes proportionnelles: autrement le triangle AGD feroit impoffible, & confequemment aussi l'équilibre, à l'établissement duquel il vient de nous conduire. Mais cela n'empêche pas que les puissances données P, Q, R, S, K, ne puiffent étre encore en équilibre entr'elles fuivant une infinité de directions differentes, ainsi que dans le precedent Corol. 2. Puifqu'une infinité de directions arbitraires des puissances P, Q, R, peuvent rendre AG, telle qu'on ait à la fois AG <GD➡AD, AGGD> AD, & AGAD

GD, en une infinité de rapports differens ; n'y ayant pour cela qu'à ouvrir plus ou moins les angles que ces directions arbitraires feront entr'elles, ou à n'appliquer fuivant ces direEtions que des puiffances dont la fomme foit plus grande que La difference des deux refervées pour les dernieres, ou enfin à faire (fi l'on veut) les deux enfemble. Il en fera de même de

tel

tel autre nombre de puissances quelconques qu'on voudra, plus grand que trois.

COROLLAIRE III.

Ce qu'on vient de voir de la part. 4. dans le précedent Corol. 2. fur les Fig. 60. 61. par la voye des parallelogrammes qu'on a tenue dans la démonitration de la part. 2. fe peut encore déduire de cette même part. 4. fur les Fig. 62. 63. fans parallelogrammes, en fuivant la voye qu'on a tenue dans la démonftration de la part. 3.

Car fi après avoir encore conduit à volonté dans des F18. 62 plans quelconques les direction AP, AQ, AR, &c. de 63. toutes les puiffances données P, Q, R, S, K, &c. à la referve de celles AS, AK, de deux quelconques S, K, de ces puiffances, & avoir pris fur ces directions arbi- traires AP, AQ, AR, &c. depuis leur concours A, des parties AB, AC, AE, &c. proportionnelles aux puiffan-: ces P, Q, R, &c. qu'on leur deftine; foit menée par les extrêmitez B, C, de deux quelconques AB, AC, de ces proportionnelles, la droite BC; du milieu G de cette ligne foit enfuite menée à l'extrêmité E d'une troifiéme quelconque AE de ces mêmes proportionnelles, une seconde droite GE, laquelle foit divifée en H, de maniere qu'on ait EH. HG:: 2. 1. De ce point Hà l'extrêmité d'une quatriéme quelconque de ces proportionnelles foit menée de même une troifiéme droite, laquelle foit divifée en deux parties telles que celle du côté de cette qua-. triéme proportionnelle foit à l'autre du côté de G:: 3. 1. ainfi que dans la démonstration de la part. 3. conformément aux Corol. 2. 3. 4. du Lem. 1 1. quelque nombre de puiffances données quelconques qu'on fuppofe juf qu'à la derniere de celles qu'on aura dirigées à volonté, laquelle eft ici R. Enfuite fuivant le Lem. 14. foient du point A menées dans quelque plan que ce foit, les lignes AFAB, AL-AB, de maniere que la droite HF menée de H à l'extrêmité F de ces deux-là foit divifée en

K АВ
4

S

L par la feconde AL, en parties FL, LH, telles qu'on ait FL. LH:: 3. 1. Ce qui eft facile par le Lem. 14Après cela foient dirigées fuivant AF, & fuivant LA prolongée vers K, les deux puiffances S,K, refervées ci-deffus pour les dernieres..

Il eft vifible que cette construction donnera non feulement AB, AC, AE, AF, 4×AL, en raifon des puiffances P, Q, R, S, K, dirigées fuivant ces lignes; mais encore BG GC, avec EH. HG :: 2. 1. Et FL. LH: : 3. 1. ainfi que dans la démonftration de la part. 3. Donc (part. 4.) toutes ces puiffances feront ici en équilibre entr'elles: de plus les directions arbitraires de toutes, excepté des deux dernieres S, K, dont les directions doivent varier avec celles-là, font voir auffi que cet équilibre arriver avec une infinité de directions differentes. de ces mêmes puiffances. Il en fera de même de tel autre nombre de puiffances données quelconques qu'on voudra, pourvû (Schol. du Th. 1.) qu'il ne foit pas moindre que quatre, le nombre & le rapport de celles-ci entr'elles étant pareillement arbitraire jufques-là..

peut

Si l'on prend m pour cet autre nombre de puiffances. données auffi quelconques plus grand d'une unité que celui n des nomb. 1. 2. du Corol. 4. du Lem. 11. & encore S, K , pour les deux dernieres refervées comme cideffus; le nomb. 2. du Corol. 4. du Lem. 1 1. fait voir

K AB

qu'il faudroit alors AL= X & divifer la ligne HF

m-I

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en L, de maniere qu'on eût FL. LH:: m2. 1. Ce qui dans l'exemple précedent de cinq puissances, donneroit AL-KAB KAB

К АВ
S=1

4

px~, & FL. LH: : 5-2.11: 3. 1. ainfi qu'on les y vient de faire.

Si l'on fait ici la remarque qu'on a faite à la fin du Corol.. 2. on verra derechef que s'il y a des directions fuivant lef quelles les puiffances propofées ne demeurcroient pas en équiLibre entr'elles, il ne laiffe pas d'y en avoir encore une infinité fuivant lesquelles ces mémes puissances y demeureroient.....

COROLLAIRE IV.

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La part. 4. du prefent Th. 4. donne encore le reciproque des deux précedens Corol. 2. 3. fçavoir, que tant de puiffances quelconques qu'on voudra au-deffus de trois, fucceffivement appliquées à autant de cordes attachées ensemble par un feul noeud commun, & de directions données à volonté, peuvent être entr'elles dans une infinité de rapports differens, & cependant faire toujours équilibre fuivant ces mêmes directions, pourvû (Lem, 17. Corol. 2.) que ces directions foient répandues en plus d'un demi-cercle ou d'une demi-fphere, dont le nœud commun de ces cordons foit le centre, & que pour le cas de quatre cordons leurs directions données loient toutes en même plan: tous les autres cas de plus de quatre cordons les auront en tels plans qu'on voudra, ainfi qu'on le verra dans le Prob. de la Sect. IX. avec les précautions qu'il faut prendre pour trouver ce dont il s'agit ici, lefquelles nous y engageroient à une trop grande digreffion: c'eft pour cela que nous n'y allons parler que de directions données quelconques en même plan au deffus de trois, & répandues en plus d'un demicercle, foient donc, par exemple, dans les Fig. 60. 61. Fre. 60. en même plan, & répandues en plus d'un demi-cercle 61 les directions données AP, AQ, AR, AS, AK, fuivant lefquelles les cinq puiffances P, Q, R, S, K, foient en équilibre entr'elles; la part. 4. fait voir, dis-je, qu'une infinité d'autres puiflances cinq à cinq peuvent encore être fucceffivement en équilibre entr'elles fuivant ces mêmes directions, quoique ces nouvelles puiffances de chaque fois cinq, foient entr'elles dans des rapports tout differens de ceux de celles-là, & de toute autre fois cinq. Pour le voir, fur une quelconque des directions données, par exemple, fur KA prolongée vers D, foit prife AD à volonté, & de même AF à volonté fur telle autre AS qu'en voudra de ces directions données; foit le pazallelogramine AFDG, dont AD foit la diagonale; de

même ayant pris AE à volonté fur une troifiéme quelconque AR de ces directions, foit achevé le parallelogramme AEGH, dont AG foit la diagonale. Enfin (puifqu'il n'y a ici que cinq directions données) fur les deux. autres directions AP, AQ, foient menées les droites. HB, HC, qui leur foient reciproquement paralleles, & qui avec elles faffent le parallelogramme BACH, dont: AH foit la diagonale.

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Cela fait, la part. z. fait voir que fi l'on applique aux directions données AP, AQ, AR, AS, AK, autant de puiffances P, Q, R, S, K, qui foient entr'elles comme AB, AC, AE, AF, AD; toutes ces puiffances ainfi dirigées feront en équilibre entr'elles. Donc toutes ces proportionnelles (hors AC, AB, qui doivent varier avec les autres) étant arbitraires dans la conftruction précedente; toutes les puiffances P, Q, R, S, K, le font auffi hors les deux premieres P, Q, qui doivent varier avec les autres. Donc une infinité de puiffances cinq à cinq, de rapports tout differens, peuvent faire fucceffivement équilibre entr'elles fuivant les mêmes cinq directions données AP, AQ, AR, AS, AK; & ainfi de tout autre nombre de directions données, & confequemment auffi de puiffances fucceffivement requifes, excepté s'il n'y en avoit que trois; car le Th. 1. fait voir que s'il n'y avoit que trois directions, ou que trois cordes de directions données, le rapport des trois puiffances requifes pour fai re équilibre entr'elles fuivant ces trois directions, feroit. auffi donné, & confequemment invariable.

COROLLAIRE V.

La même chofe que dans le précedent Corol. 4. fe peut encore déduire de la part. 4. fans faire aucun paFIG. 62. rallelogramme. Pour cela fur une quelconque des cinq directions données AP, AQ, AR, AS, AK, par exemple, fur KA prolongée du côté A, foit prise AL à volonté, & encore AE, AF, à volonté fur deux autres que!conques AS, AR, des quatre directions reftantes; foit la

43.

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