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4.

droite FL prolongée vers H de maniere qu'on ait FL. HL: 3. 1. n'y ayant ici (Hyp.) que cinq directions données: le nomb. 1. du Corol. du Lem. 1 1, auquel il y auroit ici une puiffance à ajoûter oppofée à l'impreffion refultante du concours de toutes les autres, fait voir que s'il Y en avoit ici tel autre qu'on voudra, fait de l'unité ajoutée au nombre quelconque n de toutes celles-là, il y faudroit FL. LH::m-2. 1. Puifque le nombre de toutes ces puiffances enfemble étant mn+I. donne m—2—2—1. Après cela menez EH prolongée vers G, de maniere que vous ayez EH. HG:: 2. 1. Enfin par le point G menez ( Lem. 1 3.) la droite BC telle que ce point G la divife en deux parties égales. Cela fait, la part. 4- du prefent Th. 4. fait voir que fi l'on applique aux directions données AP, AQ, AR AS, AK, qui foient entr'elles comme AB, AC, AE, AF, 4xAL ; toutes ces puiffances feront en équilibre entreelles. Donc toutes ces proportionnelles AB, AC, AE, AF, 4×AL (hors AB, AC, qui doivent varier avec les autres) étant arbitraires dans la conftruction précedente,. toutes les puiffances P, Q, R, S, K, le font auffi, hors les deux premieres P, Q, qui doivent varier avec les autres. Donc une infinité de puiffances cinq à cinq, de rapports tout differens, peuvent fucceffivement faire équilibre entr'elles fuivant les mêmes cinq directions données au deffus de trois, & confequemment auffi de puiffances fucceffivement requifes, ainfi qu'on l'a déja ví dans le précedent Corol. 4.

COROLLAIRE VI.

Les quatre derniers Corollaires 2. 3. 4. 5. font voirque que non feulement tant de puiffances données qu'on vou dra au deffus de trois, appliquées à autant de cordes attachées ensemble par un noeud commun, peuvent de meurer en équilibre entr'elles fuivant une infinité de directions differentes pour toutes & pour chacune, mais encore que fi les directions de ces cordes font données

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FIG. 64.

répandues en plus d'un demi-cercle ou d'une demifphere, dont ce noeud commun foit le centre: les puiffances qui y feront fucceffivement appliquées, peuvent être entr'elles en une infinité de rapports differens, & cependant faire toujours équilibre entr'elles fuivant ces mêmes directions, excepté lorfqu'il n'y en a que quatre en plus d'une demi-fphere: le premier fe voit dans les Corol. 2. 3. le fecond dans les Corol. 4. 5. de forte que fuivant ces quatre Corollaires tant de puiflances données qu'on voudra au deffus de trois, peuvent faire équilibre entr'elles fuivant autant de directions variées à l'infini; & reciproquement tant de directions qu'on voudra étant données répandues en plus d'un demi-cercle ou d'une demi-fphere, autant de puiffances de rapports variez à l'infini, peuvent faire équilibre entr'elles fuivant ces mêmes directions, excepté forfqu'il n'y en a que quatre en plus d'une demi-fphere, le rapport des puiflances étant invariable en ce cas, ainfi qu'on le verra dans le Probl. 9. de la Section I.

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S'il n'y a que trois puiffances P, Q, R, qui réfiftent au poids K avec trois cordes feulement AP, AQ, AR, rigées à volonté fuivant differens plans, du noeud commun A de ces cordes auquel eft auffi attachée celle du poids K, foient prifes fur elles des parties AB, AC, AE, proportionnelles à ces trois puiffances P, Q, R,qui leur font appliquées ; de ces trois proportionnelles AB, AC, AE,comme côtez, foit fait le parallelepipede BACFDHEG, avec fa diagonale AD.

1o. Il fuit de la part. 1. de ce Théoreme-ci, que fi le poids K demeure ainfi en équilibre avec les trois puiflances P, Q, R, l'effort refultant du concours de ces trois puiffances fera toûjours fuivant la direction KA de ce poids en fens contraire, & égal à fa pefanteur. Mais le parallelogramme ABFC étant (Hyp.) fait de deux AB, AC, des trois proportionnelles AB, AC, AE ; & le paral

felogramme AEDF fait enfuite (Hyp.) de la diagonale AF de celui-là, & de la troifiéme proportionnelle AE; cet effort refultant du concours des trois puiffances P, Q, R, contre le poids K, doit fe faire (Lem. 3. Corol. 10.) de A vers D fuivant la diagonale AD de ce dernier parallelogramme & tout à la fois du parallelepipede BACFDHEG, doit (en cas d'équilibre entre le poids K & les trois puiffances P, Q, R,) être en ligne droite avec la direction AK du poids K, c'eft-à-dire, qu'alors cette direction KA prolongée doit paffer par l'angle D de ce parallelepipede.

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2o. Il fuit auffi de la part. 2. de ce Théoreme-ci, qu'en ce cas d'équilibre entre le poids K & les trois puiffances P, Q, R, ce poids doit être à chacune de ces puiffances, comme la diagonale AD du parallelepipede BACFDHEG eft à chacun de fes trois côtez AB, AC, AE, pris ( Hyp.) fur les directions de ces trois puiffances; puifque l'effort refultant de leur concours contre ce poids, lui (nomb. 1.) est égal, & eft (Lem. 3. Corol. 10.) en cette raison à cha-cune de ces trois puiffances.

3. Il fuit reciproquement de la part. 3. de ce Théoreme-ci, que fi la diagonale AD du dernier des deux parallelogrammes ABFC, AFDE, ou du parallelepipede BACFDHEG, eft en ligne droite avec la direction AK du poids K, c'eft-à-dire, fi cette direction KA prolongée paffe par l'angle D de ce parallelepipede, & que ce poids foit à chacune de ces trois puiflances P, Q, R, comme la diagonale AD de ce même parallelepipede eit à chacun de fes trois côtez AB, AC, AE, pris fur leurs directions; ces trois puiffances foutiendront enfemble ce poids en équilibre avec elles: puifque (nomb. 1.) l'effort refultant de leur concours contre ce poids, lui fera dire- &ement contraire & égal.

COROLLAIRE VIH.

Les trois puiffances P, Q, R, tirant encore contre le Fíon at poids K comme dans le précedent Corol. 7. avec des directions quelconques dans des plans differens, fur lefquel

les depuis le point A de leur concours, foient encore prises AB, AC, AE, AD, proportionnelles à ces puiflances P, Q, R, & à ce poids K.

1o. En cas d'équilibre entr'elles & lui, fa direction paffera par le centre de gravité de la base BCE d'une pyramide triangulaire BCED, qui aura fes quatre angles B, C, E, D, aux extrêmitez des proportionnelles AB, AC, AE, AD, de ces trois puiffances P, Q, R, & du poids K. Car fi l'on mene la droite EF par le milieu F de BC, le Corol. 5. du Lem. 11. fait voir que l'effort refultant du concours de ces trois puiffances P, Q, R, doit fe faire fuivant une ligne AG, qui divife EF en G de maniere qu'elle rende EG. GF:: 2. 1. c'est-à-dire (Def. 17.) en un point G, qui foit le centre de gravité de la bafe BCE de la pyramide BCED. Mais en cas d'équilibre entre le poids K & les trois puiffances P, Q, R,la direction AK de ce poids, doit être (part. 1.) en ligne droite avec la direction AG de l'effort refultant du concours de ces mêmes puiffances. Donc cette direction KA ou DA prolongée du poids K, doit alors auffi paffer par le centre de gravi é G de la bafe BCE de la pyramide BCED, & confequemment auffi (Déf. 17.) par le centre de gravité de cette pyramide elle-même.

20. En ce cas d'équilibre le noeud ou point commun A des quatre cordes ou directions AP, AQ, AR, AK, des puiffances P, Q, R, & du poids K, fera dans le centre de gravité de cette pyramide BCED. Car la part. 3. fait voir qu'en ce cas d'équilibre entre le poids K& les puiffances P, Q, R, ce poids eft à chacune d'elles comme 3×AG eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE. Mais (Hyp.) ce poids eft auffi à chacune de ces puiffances, comme AD eft à chacune de ces mêmes proportionnelles correfpondantes. Donc en ce cas d'équilibre l'on aura AD 3×AG ; & confequemment la droite DG fera divifée en A de maniere qu'on aura AD. AG:: 3.1. Donc cette droite paffant auffi pour lors (nomb. 1. ) par le centre de gravité de la bafe BEC de la pyramide BECD,

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le point A fera alors ( Déf. 7.) le centre de gravité de cette pyramide elle-même.

3°. Reciproquement fi le noeud ou point commun A des cordes ou directions des puiffances P, Q, R, & du poids K, eft le centre de gravité de cette pyramide BECD; & que ces trois puiffances & ce poids foient entr'eux comme les diftances AB, AC, ÂE, AD, de ce centre A aux angles B, C, E, D, de cette pyramide; ces puiffances P, Q, R, & ce poids K, dirigées fuivant ces lignes, feront en équilibre entr'eux. Car fi A eft le centre de gravité de la pyramide BCED, l'on aura ( Déf. 17.) non feulement ÁĎ. AG:: 3.1.mais encore EG. GF:: 2. 1. Et BF FC. Ce qui fait voir que non feulement on aura ici AD=3×AĠ; mais encore que G y fera ( Déf. 13.) le centre principal d'équilibre des puiffances P, Q, R, entr'elles. Or (Hyp..) le poids K eft à chacune de ces puiffances P, Q, R, comme AD eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE. Donc ce poids eft auffi à chacune de ces trois puiffances comme 3×AG à chacune de ces mêmes proportionnelles correfpondantes. Donc fa direction AK ou AD étant ici (Hyp.) en ligne droite avec AG, & G étant le centre principal d'équilibre de ces trois puiffances P, Q, R, entr'elles, ce poids K doit ici (part. 4.) demeurer en équilibre avec elles.

Cela fe peut encore démontrer indépendemment de la part. 4. Car puifque l'hypothese donne ici EG. GF:: 2. 1. & BF=FC, avec AB, AC, AE, proportionnelles aux trois puiffances P, Q, R, agiffantes fuivant ces lignes; l'effort résultant de leur concours, fera (Lem. I I. Corol. 5.• de A vers G fuivam AG, & à chacune d'elles comme 3×AG à chacune de leurs proportionnelles correfpondant es. Mais le poids K eft auffi ( Hyp. ) à chacune de leurs trois puiffances P, Q, R, comme AD eft à chacune de ces mêmes proportionnelles AB, AC, AE; & de plus l'hypothefe vient de donner AD=3xAG. Donc ce poids eft ici égal à l'effort fuivant AG, refultant du concours des trois puiffances P, Q, R, Donc la

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