pendiculaire aussi sur CF, est pareillement appellé sinus de chacun des angles droits CAB, BAF, ou de chacun des quarts de cercle BC, BF, & comme ce Sinus AB est le plus grand de tous, on l'appelle Sinus total, fur lequel de mesurent tous les autres. D'où l'on voit que fon égal AD doit aussi être pris pour Sinus total, dont DE foit un des Sinus partiaux. De forte que,

COROLLAIRE I.

Dans le triangle rectangle AED., en prenant AD pour le Sinus total, ou de l'angle droit E, l'on aura DE pour le Sinus de l'angle DAC ou DAF; & par la même raifon l'on aura aussi AE pour le Sinus de l'angle ADE.

COROLLAIRE II.

On voit aussi que deux angles DAC, DAF, complemens l'un de l'autre a deux droits, c'est-à-dire, dont la fomme vaut deux droits, ont chacun le même Sinus DE, en prenant toujours AD pour le Sinus total.

DEFINITION Χ.

Si à l'extrémité C du rayon AC, on mene une perpendiculaire, ou tangente CM, laquelle foit rencontrée en G par l'autre côté AD prolongé de l'angle CAD; la partie CG de cette perpendiculaire, est appellée Tangente de cet angle CAD, ou de l'arc CD. De même sia l'extrêmité F du rayon AF, on mene une perpendiculaire EN, laquelle foit rencontrée en H par l'autre côté DA prolonge de l'angle FAD complement du premier CAD a deux droits; la partie FH de cette seconde perpendiculaire sera auffi appellée Tangente de ce complement FAD ou de l'arc FD.

COROLLAIRE.

Les lignes CG, FH, étant égales entr'elles, de même que le font les autres côtez AC, AF, des triangles ACG, AFH(constr.) semblables on voit que les tangentes des deux angles complemens l'un de l'autre à deux droits, font toujours égales entr'elles, de même que leurs sinus le font toujours ( Déf. 9. Corol. 2.) entr'eux ; c'est-àdire, que deux angles complemens l'un de l'autre à deux droits, ont toûjours la même tangente & le même sinus.

Il en est de même de AG, AH, qu'on appelle leurs

Secantes.

DEFINITION X I.

Lorsqu'un angle à force de devenir aigu, s'évanouit en parallelisme de ses côtez entr'eux, soit qu'ils soient vou non confondus en un, on l'appelle infiniment aigu; & lorsqu'à force de devenir obtus, ses deux côtez deviennent (comme bout à bout) en ligne droite, on lappelle infiniment obtus.

COROLLAIRE.

On voit de-là qu'un angle infiniment aigu en a toûours un infiniment obtus pour complement à deux droits; & reciproquement.

LEMME IV.

A l'instant qu'un angle rectiligne s'évanouit à force de diminuer, ses côtez deviennent paralleles entreux.

DEMONSTRATION.

Car le parallelisme de ces deux lignes entr'elles (dont la réduction de ces mêmes lignes en une, est une espe.ce) naissant de l'évanouissement du dernier, c'est-à-dire, du plus petit des angles qu'elles puissent faire entreelles, la fin de ce dernier angle doit être le commencement de ce parallelisme, & comme le terme où ils se touchent, pour ainsi dire; par consequent à l'instant de cet évanouissement il doit y avoir tout à la fois entre ces deux lignes & angle finiffant, & parallelisme naifsant. Donc à l'instant que leur angle s'évanouit à force de diminuer, elles deviennent paralleles entr'elles. Ce qu'il falloit démontrer.

G

1

:

1

COROLLAIRE I..

Cet angle finissant ainsi (Définit. 11.) par l'infiniment aigu, il s'enfuit que deux lignes droites arrivées à ce terme, le font aussi à leur parallelisme, & confequemment que lorsqu'elles ne font plus entr'elles qu'un angle infiniment aigu, elles peuvent à la rigueur passer pour paralleles, & reciproquement puisqu'elles n'ont plus de chemin à faire pour passer de cet angle au parallelisme.

COROLLAIRE II.

Si de deux points fixes partent deux lignes droites mobiles chacune autour du sien, lesquelles fassent entr'elles un angle qui devienne aigu de plus en plus par l'éloignement continuel de son sommet; ces deux lignes feront (Corol. 1.) paralleles entr'elles lorsque ce fommet se trouvera infiniment éloigné de leurs points fixes, l'angle qu'elles feront entr'elles, se trouvant alors infiniment aigu..

COROLLAIRE III.

Si au contraire d'un même point fixe partent deux lignes droites dont l'angle compris entr'elles, devienne enfin infiniment aiu; alors ces deux lignes devenuës (Corol. r.) paralleles entr'elles, passant (Hyp.) par un même point, fe confondront en une seule & même ligne droite, & la base de l'angle fini qu'elles faifoient auparavant entr'elles, se trouvera alors anéantie ou réduite en un point, fi ces deux lignes étoient égales, ou égales, égale à leur difference pareillement confondue avec elles, fi elles étoient inégales; reciproquement ces deux lignes feront égales ou inégales entr'elles, felon que leur angle infiniment aigu rendra cette base nulle ou non.

COROLLAIRE IV.

Deux lignes droites qui font entr'elles un angle infini-ment aigu d'un côté, en faisant toûjours un(Corol. Def.11) infiniment obtus de l'autre ; il suit que puisqu'elles se difposent parallelement ( Corol. 2.) ou se confondent en une (Corol. 3.) du côté de l'angle infiniment aigu, elles doivent se difpofer en sens directement contraires parallelement, ou en ligne droite bout à bout du côté de l'angle infiniment obtus.

LEMME VII.

De quelque maniere que la ligne droite AD divise l'angle E 10. 15. rectiligne BAC, le sinus de cet angle total BAC se trouvera égal à la somme des finus des angles partiaux BAD, BAC, Lorsque ce même angle total fera infiniment aigu.

DEMONSTRATION.

Du centre A, & d'un rayon quelconque AE, soit l'arc de cercle EFO, qui rencontre AD, AC, en F, O; des points E, F, soient EH, FK, perpendiculaires en H, *, sur AC, la premiere EH rencontrant AD en L, & du point E la droite EG perpendiculaire aussi en G fur AD. Cela fait, si l'on prend AE, ou son égale AF pour sinus total, l'on aura (Def. 9. Corol. 1.) EH, FK, EG, pour les finus des angles BAC, DAC, BAD.

Je dis donc que lorsque l'angle total BAC sera devenu infiniment petit, son sinus EH se trouvera égal à la fomme des sinus EG, FK, des angles partiaux BAD, DAC; c'est-à-dire, qu'alors on aura EH-EG+FK.

Pour le voir, il n'y a qu'à confiderer que lorsque l'angle total BAC fera infiniment aigu, les deux partiaux BAD, DAC, le feront auffi ; & confequemment (Corol. 1.du Lem. 6.) que les trois droites BA, DA, CA, feront alors paralleles entr'elles de l'une ou de l'autre des deux manieres marquées dans les Corol. 2. 3. du Lem. 6. Donc les angles (Hyp.) droits en H, K, G, rendront alors EH, FK, EG, perpendiculaires à chacune de ces trois paralleles; ce qui confondant EL avec EG, & LH avec FK, donne alors EG+FK=EL+LH=EH. Donc le sinus EH de l'angle total BAC setrouve alors égal à la somme

des finus EG, FK, des angles partiaux BAD, DAC. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I..

Donc auffi pour lors le sinus de celui qu'on voudra de ces deux angles partiaux BAD, DAC, sera égal à la difference dont le sinus de l'autre sera surpaffé par le sinus EH de l'angle total BAC ; c'est-à-dire, qu'alors, EG-EH-FK, & FK=EH-EG.

COROLLAIRE II..

Or en prolongeant DA, CA, vers M, N, l'on aura auffi (Déf. 9. Corol. 2.) EG, EM, FN, pour les sinus des angles BAM, BAN, MAN; & lorsque l'angle BAC fera infiniment aigu, fon complement (à deux droits) BAM fera infiniment obtus, & MAN infiniment aigu. Donc lorsqu'un angle BAM infiniment obtus sera divisé en deux, dont un MAN soit infiniment aigu, le sinus de P'angle total BAM fera toûjours égal à la difference dont le sinus du plus grand BAN des partiaux furpassera le sinus du plus petit MAN; puisqu'alors (Corol. 1.) l'on aura toûjours EG=EH-FK.

Quoique dans le Corol. 2. les angles BAM, BAN, infiniment obtus, foient infiniment grands par rapport à l'infiniment aigu MAN, l'étant aussi par rapport à leurs complemens infiniment aigus BAD, BAC, qui ont (Déf. 9. Curol. 2.) les mêmes sinus qu'eux ; leurs finus EG, EH, feront infiniment petits, & demême genre que celui EK de l'angle MAN; & confequemment EG=EH-FK. fera ici d'unc valeur réelle, quoiqu'infiniment petite. C'est pour rendre de la plus grande univerfalité poffible les propositions & les Carollaires des sections suivantes, que nous en venons ici jufqu'aux infiniment petits, dont l'idée seule suffira sans en sçavoir le calcul : idée à la portée de tout le monde, avec un peu d'attention. Par infiniment petit, on n'entend qu'une grandeur moindre que quelque assignable que ce foit, laquelle, aulangage des Anciens, s'appelleroit quantitas minor quavis. data.