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ment aigus, & les deux autres (Corol. de la Déf. 11.) ABD, ADC, infiniment obtus. Or fi du centre D, & des rayons DB, DC, on a conçu deux arcs circulaires BQ, CP, variables comme leurs rayons par l'éloignement continuel de leur centre D, on verra qu'à mesure que ce centre D s'éloigne, comme le point A, des points fixes B, C, ces deux arcs deviennent moins courbes de plus en plus, jusqu'à devenir lignes droites perpendiculaires à MN, & aux deux régles de chacun des points B, C, bout à bout en lignes droites paralleles à MN, lorsque les points A, D, font infiniment éloignez l'un de l'autre, & des points fixes B, C, & que les lignes PA, PD, CA, CD, QA, QD, BA, BD, ainfi changées en infinies PM, PN, CF, CH, QM, QN, BE, BG, paralleles entr'elles, feront pour lors PA=PM=CF=CA, PD=PN=CH= CD, QA=QM=BF=BA, & QD=QN=BG=BD. Donc alors la diagonale infinie AD (PA+PD) =CA +CD, & AD (QA+QD) =BA+BD; c'est-à-dire, dans ce cas-ci des points fixes B, C, comme dans celui (art. 1.) de ces deux points mobiles, que la diagonale AD d'un parallelogramme quelconque ABDC eft toû jours égale à la somme de ses côtez CA, CD, ou BA, BD, lorsque l'angle BAC, ou BDC en est aigu.

III. Les angles ABD, ACD du parallelogramme ABDC, devenant obtus comme dans le précedent art. 2. par l'écartement vers M, N, de leurs côtez autour de leurs fommets fixes B, C; on voit que la diagonale BC ne change point pendant que l'autre diagonale AD, & tous les côtez de ce parallelogramme changent comme dans cet art. 2. jusqu'à devenir infinis par cet écartement fait jusqu'au parallelifme de ces lignes entr'elles. D'où l'on voit que ce cas des angles ABD, ACD, devenus infiniment obtus par un tel mouvement de leurs côtez autour de leurs fommets fixes B, C, n'est point compris dans la Part. 2. de ce Lemme-ci ; & qu'ainsi la démonstration qu'on a donnée ci-dessus de cette Part. 2. en comprendi toute l'étendue..

Fle.22.23.

Quant à la part. 1. elle comprend les deux cas des sommets B, C, fixes ou mobiles des angles ABD, ACD, & outre la démonstration qu'on en a donnée d'abord dans toute cette étendue, les deux précedens art. 1.2. en fourniffent encore une nouvelle plus sensible de la même étendue.

LEMME Χ.

Soit un parallelogramme quelconque GICE, avec une li2.4.25. 26. gne droite HP, posée comme l'on voudra par rapport à lui, dans le même ou dans differens plans, il n'importe. Si des quatre angles ou pointes G, I, C, E, de ce parallelogramme on mene à volonté quatre plans exprimez en profil par GL, IP, CH, EV, tous paralleles entreux ; & que de ces quatre pointes jusqu'à HP, on tire le long de ces plans autant de lignes droites GL, IP, CH, EV, lesquelles rencontrent HP en L, P, H, V, de quelque maniere que ce soit: je dis que la partie de celle-ci, par exemple, HL, comprise entre deux GL, CH, de celles-là, lesquelles partent des points GC, diagona lement opposez, est toûjours égale à la somme de ses autres partics HV, HP, lorsque les points V, P, se trouvent du même côté de H, comme dans les Fig. 21. 22. ou à la difference de ces mêmes parties HV, HP, lorsque ces points V, P, se trouvent de differens côtez de H, comme dans les Fig. 23.24.25. c'est-à-dire, HL=HV+HP, dans le cas des Fig. 21 . 22 . HL=HV-HP,comme dans celui des Fig. 23. 24. ou HL HP-HV, comme dans la Fig. 25.

DEMONSTRATION.

Menez les diagonales IE, GC, qui se coupent chacune par la moitié en K; & après avoir conduit par ce point K un plan encore parallele à ceux qu'on a suppose l'être par les pointes du parallelogramme GICE, faites tomber de ces quatre pointes ou angles G, I, C, E, quatre lignes GR, IM, CS, EN, toutes paralleleles à HP, & qui rencontrent ce dernier plan en R, M, S, N. Enfin du point Q où ce dernier plan rencontre HP, menez QK, QR,QM,QS, QN.

Cela

L

Cela fait, foit que ces cinq lignes en fassent plusieurs differentes, foit qu'elles se confondent en une feule, il est

clair que puisque GR, IM, CS, EN, HP, font toutes (constr.) paralleles entr'elles.

1°. IM & PQ font dans un même plan avec PI & QM; ainsi puisque PI & QM se trouvent dans des plans (Hyp.) paralleles entr'eux, elles feront aussi paralleles entr'elles, & par confequent MP sera un parallelogramme. On prouvera de même que RL, SH, & VN, font autant de parallelogrammes. Donc IM=PQ, GR=LQ, CS=HQ, & EN=VQ.

2o. De ce que IM, EN, font (constr.) paralleles entr'elles, il suit aussi que les angles MIK, NEK, font égaux entr'eux, & que ces deux lignes font dans un même plan avec IE. Par consequent si l'on mene KM, KN, ces deux lignes-ci feront aussi dans ce même plan IMEN; ainsi puisqu'elles font encore (conftr.) dans un autre plan qui paffle par KQ, elles feront la commune section de ces deux plans; & par confequent elles ne font ensemble qu'une même ligne droite. Ce qui donnant encore les angles IKM, EKŇ, égaux entr'eux, il fuit manifestement que les triangles IMK, ENK, font semblables, & que puisque IK=KE, l'on aura auffi IM=EN. On prouvera de même que les triangles GKR, CKS, font semblables entr'eux, & que puisque GK=CK, l'on aura aussi

GR=CS.

Or on vient de voir (conftr.) que IM=PQ, EN=VQ, GR=LQ,CS=HQ. Donc (nomb. 2.) PQ=VQ, & LQ HQ. Donc aussi LP=HV. Donc enfin HL=HV+ HP dans le cas des Fig. 22. 23. où V, P, se trouvent du même côté de H; & dans celui où V., P, se trouvent de differens côtez de H, l'on aura HL=HV-HP comme dans les Fig. 24. 25. ou HL=HP-HV, comme dans la Fig. 26. Ce qu'il falloit démontrer.

S'il se trouve des Commençans qui, embarrassez par la multitude des Fig. 21. 22. 23. 24. 25. ausquelles cette démonstration convient., ayent de la peine à l'appliquer à tou

FIG. 27.

tes à la fois ; ils pourront d'abord l'appliquer à chacune sepa rément, en les prenant l'une après l'autre à volonté. Aprè cela ils verront fans peine que cette démonstration convien également à toutes ces cinq Figures, & même à plusieur autres qu'ils imagineront aisément alors, & que j'omets tant pour leur en laisser le plaisir, que pour ne pas multiplier inutilement le nombre de celles-ci. Ils pourront en ufer de même dans tout ce qu'ils trouveront ici de propositions à plusieurs cas ou Figures.

COROLLAIRE I.

Soit presentement par A dans des plans quelconques tant de parallelogrammes aussi quelconques qu'on voudra, dont le premier foit ABCD, de qui la diagonale AD foit un des côtez du second ADLM, de qui la diagonale AL foit aussi un des côtez du troifiéme ALPN, de qui la diagonale AP foit pareillement un des côtez du quatriéme, & ainsi à l'infini. Des extremitez C, B, M, N, &c. des côtez non diagonaux de ces parallelogrammes foient autant de plans paralleles, & fur eux autant de droites CF, BH, MG, NE, &c. qui rencontrent fous quelque angle que ce foit en F, H, G, E, &c. la diagonale du dernier de ces parallelogrammes, c'està-dire, ici la diagonale AP du parallelogramme ALPN, prolongée vers O, E, il suit du present Lem. 10. que cette derniere diagonale AP=AF+AG+AH-AE.

Car suivant ce Lemme, si des extrémitez D, L, &c. des côtez diagonaux AD, AL, &c. des parallelogrammes précedens, l'on mene auffi des plans paralleles aux paralleles précedens, & fur lesquels foient les droites DV, LX, &c. lesquelles rencontrent en V, X, &c. la derniere diagonale AP prolongée, dont AD reprefente ici la droite HP des précedentes Fig. 22. 23. 24.25. 26. Le premier parallelogramme ACBD donnera AV= AF+AH; le second ADLM donnera AX=AV+AG, & confequemment AX=AF+AH+AG; le troisiéme ALPN donnera AP=AX-AE, & confequemment AP-AF+AH+AG-AE, ainsi qu'on le vient d'avancer. Ce raisonnement fait voir qu'il en sera de même à l'infini, quelque nombre de parallelogrammes quelconques faits comme ci-dessus, qu'on suppose dans des plans aussi quelconques avoir tous le même points A pour un de leurs angles par où passent les diagonales dont on vient de parler: la derniere de ces diagonales, telle qu'est ici AP, sera toûjours=AF+AH+AG-AE+, &c. C'està-dire, égale à la somme de ce que les côtez non diagonaux AC, AB, AM, AN, &c. y donneront d'abfciffes AF, AH, AG, &c. depuis A vers l'autre extrémité P de cette derniere diagonale, moins la fomme AE, &c. dece que ces côtez non diagonaux y en donneront au-delà du point A du côté de E.

COROLLAIRE II.

Toutes chofes demeurant les mêmes, supposons presentement que le point A, ou un corps en ce point, soit pouffé ou tiré tout à la fois suivant AC, AB, AM, AN, &c. par autant de puissances appellées C, B, M,N, &c. lesquelles foient entr'elles comme ces lignes correfpondantes. Les Corol. 6. 7. du Lem. 2. & le Corol. 10. duLem. 3. font voir que l'impression résultante au point A, du concours de toutes ces puissances, est toûjours non seulement suivant la derniere diagonale, qui est ici AP celle du dernier ALPN des parallelogrammes précedens; mais encore d'une force de A vers P, laquelle est toûjours à chacune des puissances supposées suivant AC, AB, AM, AN, comme cette derniere diagonale AP est à chacun de ces côtez proportionnels (Hyp.) à ces puifsances C, B, M, N. Mais le précedent Corol. 1. donne ici AF AF+AH+AG-AE. Donc auffi la force du point ou corps A suivant AP, résultante du concours de toutes ces puissances-là, est toujours à chacune d'elles, comme AF+AH+AG-AE est à chacune de leurs proportionnelles AC, AB, AM, AN, & ainfi à l'infini en quelque nombre qu'elles foient.

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