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COROLLAIRE VI.

Les divifions précedentes fuppofées des lignes CB, QM, NR, &c. en Q, R, S, &c. on voit ( Corol. 5.) que P'errort réfultant du concours des deux puiffances C,B, fe feroit fuivant AQ; que le réfultant du concours des trois puiffances C, B, M, fe feroit fuivant AR;que le réfultant du concours des quatre puiffances C, B, M, N, se feroit suivant AS, & ainfi de tant de puiffances qu'on voudra fuppofer agir toutes à la fois fur un même point A, de quelque maniere que ce foit. Donc fuivant le Corol. 1. du principe general (fi les lieux CB, QM, NR, &c. étoient autant de verges inflexibles & fans pefanteur, aufquelles les puiffances C, B, M, N, &c. fans changer de direction, étoient appliquées comme on le voit ici) il y auroit équilibre entre les deux puiffances C, B, fur un appui placé en Q; entre les trois puiffances C, B, M, fur un appui placé en R; entre les quatre puiffances C, B, M, N, fur un appui placé en S, & ainfi de tel autre nombre de puiffances qu'on voudra, dirigées toutes par A. D'où l'on voit ( Déf. 8.) que Qeft le centre d'équilibre des deux puiffances C, B; que R eft celui des trois puiffances C, B, M; que S eft celui des quatre puiffances C, B, M, N, &c. fur les verges ou lignes CB, QM, RN, &c. fuppofées inflexibles & fans pefanteur.

DEFINITION XII.

Ces points Q, R, S, &c. feront appellez dans la fuite centres principaux d'équilibre de ces puiffances C, B, M, N, &c. fçavoir Q, centre principal d'équilibre des puiffances C, B, R, centre principal d'équilibre des puiffances C, B, M; S, centre principal d'équilibre des puiffances C, B, M, N ; & ainfi de tout autre nombre de puiffances libres dirigées toutes par le point A, fuivant quelques plans que ce foit.

DEFINITION XIV.

Les pefanteurs particulieres de toutes les parties d'un

poids quelconque pouvant être regardées (Ax. 2.) comme autant de puiffances qui agiffent enfemble fur lui de haut en bas avec des forces égales à ces pefanteurs, & suivant les mêmes directions qu'elles ; il fuit du Corol. 10. du Lem. 3. qu'il en doit réfulter à ce corps entier une impreffion ou force totale de haut en bas, qui en faffe la pefanteur totale, & fuivant une ligne qui ( Déf. 3.) en foit la direction. Quelle que foit cette ligne de direation de la pefanteur d'un corps, elle s'appellera verticale dans la fuite; & les perpendiculaires à celle-là, feFont nommées horisontales. Sien quelque fens qu'on tourne ce poids, la direction de fa pefanteur paffe toujours par un même point de ce corps, ce point s'appellera à l'ordinaire le centre de gravité de ce même corps.

COROLLAIRE.

Le Corol. 1. du principe general fait voir qu'un poids qui auroit un tel point, quelque fituation qu'on lui donnât autour de ce point, il y demeureroit toûjours en équilibre & en repos tant que ce point feroit foutenu, ou fixement arrêté, nonobitant la mobilité de ce corps autour de ce même point fixe.

On verra dans la fuite fi un tel centre de gravité eft poffi ble, & en quel fens ; pour quel fens c'est-à-dire, quelles doivent étre cela les directions des pefanteurs particulieres de toutes les parties des poids. En attendant nous ne nous fervirons point des centres de gravité, mais feulement des directions de ces poids, lefquelles fe trouvent toujours (Corol. 2. princip. gener.) être les lignes fuivant lefquelles ils demeurent fufpendus.

LEMME XII

Soit un parallelogramme quelconque MDNG, dont les F10. 3 deux côtez DM, DN, prolongez ( s'il eft necessaire) foient 32 rencontrez perpendiculairement en H, K, par les deux côtez HR, KR, d'un angle auffi quelconque HRK placé en méme plan. fe dis que fi HRXDM KRXDN, ou ( ce qui revient au même) fi HR. KR:: DN. DM. La diagonale DG du pa

FIG. 33.

rallelogramme MDNG, prolongée ( s'il eft neceffaire) paffera par l'angle R.

DEMONSTRATION.

Si l'on nie que la diagonale DG paffe par l'angle R, foit menée la droite DR, qui foit prife pour le finus total; foit auffi prife fpour la marque ou la caracteristique des autres finus. Les angles (Hyp.) droits en H, K, donneront/HDR./KDR :: HR. KR(Hyp.):: DN. DM:: MG. DM (Lem.8. Cor. 2.) :: MDG./MGD::/MDG. NDG. Cependant fi DG ne fe confondoit pas avec DR, l'on auroit ici HDR à SKDR en moindre raison que /MDG à NDG; & en plus grande, fi DR y étoit de l'autre côté de DG. Donc ces deux lignes DG, DR, doivent fe confondre en une ; & par confequent la diagonale DG ainfi confondue avec DR, & prolongée, s'il eft neceffaire, paffera comme DR par l'angle R. Ce qu'il fal Loit démontrer.

LEMME XIII.

Par un point D donné dans un angle donné HAG, mener une ligne droite BC, que ce point D divife en raifon don née de màn, c'est-à-dire,en forte qu'on ait BD. DC :: m. n.

SOLUTION.

Sur AD prolongée du côté de D., foit prife DE. AD :: n.m. Soit menée EC parallele à AG, & qui rencontre AH en C; de ce point C par le donné D foit menée CD, qui prolongée rencontre AG en B: je dis que CB eft la ligne requife, c'eft-à-dire, que non feulement elle paffe par le point donné D, mais encore qu'elle y eft divifée de maniere que BD. DC:: m. n. ainfi qu'il est ici requis. DEMONSTRATION.

Puifque AB, EC, font (conftr.) paralleles entr'elles, & qu'ainfi les triangles ADB, EDC, font femblables entr'eux, l'on aura içi DC. DB:: DE. DA (conftr.) : : n. m,

Donc

Donc en renverfant) BD. DČ::m.n. Ce qu'il falloit faire & démontrer.

LEMME XIV.

Deux points A, B, étant donnez à volonté, mener du premier A deux lignes AD, AC, de grandeurs données P, Q } & du fecond B, une ligne BC, laquelle foit diviféc en D, C, par ces deux-là, en raifon donnée de mà n : c'est-à-dire, en forte qu'on ait ici tout à la fois AD=P, AC=Q,& BD,

DC:: m. n.

SOLUTION.

Soit menée AB par les deux points donnez A, B, & fur elle prolongée du côté de B, foit prise AE. AB::n.m. Des centres A, E, & des rayons AF="">P, EF=Q, foient décrits deux arcs de cercles qui fe coupent en F; enfuite après avoir mené AC, FC, paralleles à EF, EA, & qui fe coupent en C, foit menée BC, que la droite AF coupe en C. Cela fait, je dis que AC=Q, AD—P, & que BD. DC:: m. n. ainfi qu'il eft ici requis.

DEMONSTRATION.

Car le parallelogramme AEFC résultant de cette conftruction, rendant AC-EF (Hyp.) =Q, CF=AE, & les triangles ADB, FDC, femblables entr'eux, donne premierement AC-Q; fecondement, FD. AD :: FC. AB:: AE. AB (conftr.)::n.m. D'où résulte (en compofant ) m➡n. m : : AF ("="xP). AD=P. Troifiéme

m n

m

ment enfin BD. DC:: AB. FC:: AB. AE (conftr.): : m. n. Donc cette même construction donnera ici tout à la fois AC=Q, AD=P, & BD. DC: : m.n. Ce qu'il falloit dé

montrer.

LEMME XV.

Fid. 34

Soit une ligne droite XO mobile autour d'un de fes points F10. §§à Bfixe, qui la divife en deux branches ou parties BX,BO, telles 36,

L

qu'on voudra: imaginons-la fe mouvoir de XO en xa autour de ce point fixe B. Par un autre point quelconque A foient menées des points X, x, 0,w, les quatre droites XA,xA, OA, wA, fur lesquelles du point B tombent autant de perpen diculaires BD, Bd, BP, Bp. Je dis que la branche BX qui fe fera ainfi approchée du point A en Bx, pendant que l'autre BO (moindre, plus grande, ou égale à elle il n'importe) s'en fera éloignée en Bo, donnera toûjours BP. BD > Bp. Bd. c'eft à-dire, BP à BD en plus grande raison que Bp à Bd.

DEMONSTRATION..

Après avoir pris Xb, xß, chacune égale à BO ou à Boy fur OX, ox, foient menées bm, Bu, perpendiculaires fur AX, Ax, prolongées s'il en eft befoin. Cela fait,

1o. En prenant Be ou fon égale Bx pour le finus total, Fon aura (Déf. 9. Corol. 1.) Ru à Bp comme le finus de l'angle Bxu eft au finus de l'angle Bap, ou (Déf. 9. Co• rol. I.) comme le finus de l'angle BxA eft au finus de l'ange BoA ; & confequemment auffi ( Lem. 8. Corol. 2.) comme Aweft à Ax, c'est-à-dire, Bu. Bp :: Aa. Ax. Mais les triangles (conftr.) femblables Bxd, Bxu, donnant Bd. 2:: BX. Bx (conftr.):: BX. BO. Donc (en multipliant par ordre) Bd. Bp :: BXxA. BO×Ax.

2o. En prenant encore BO ou fon égale bX pour le fi nus total, l'on aura de même ( Déf. 9. Corol. 1.) BP à bm comme le finus de l'angle BOP eft au finus de l'angle bXm; & confequemment auffi (Lem. 8. Corol. 2.) comme AX eft à AO, c'eft-à-dire, BP.bm:: AX. AO. Mais les triangles (conftr.) femblables bmX, BDX, donnent bm. BD::bX.BX (constr.) :: BO. BX. Donc (en multipliant par ordre) BP. BD:: BO×AX.BXxAO.

Ces nomb. 1. 2. donnant ainfi Bd. Bp :: BXxAw. BO×Ax. Et BP.BD:: BOXAX. BXxAO. l'on aura ( en multipliant par ordre ) BPxBd. BD×Bp::BO×AX×BX×A®. BX×AO× BOXAx:: AX×Aw. AO×Ax. Mais la conftruction donnant AX> Ax,& Aw> AO, donne pareillement AXx

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