an demi parametre de la parabole. Done: alors par la deuxiéme Propofition préce dente les ofcillatious coniques du penduleSB font ifochrones à deux ofcillations laterales infiniment petites du même pendule ;donc auffi les circulations du mobile font ifochrones aux deux ofcillations laterales infiniment petites de ce pendule; 'c'eft-àdire d'un pendule dont la longueur eft égale au demi parametre de la parabole generatrice; ce qui eft la deuxième Propofition du Theorême 6..

Donc cela eft auffi vrai dans le pendule qui developpe la paraboloïde de l'Article 18, Je reviens préfentement à la remarque. M. Parent prétend, que deux ofcillations laterales infiniment petites d'un pendule font ifochrones à quatre fois la chute accelerée par le double du fil. Cette Propofition eft fauffe, & l'on vient de démontrer le contraire; mais il faut reconnoître de bonne foi en faveur de M. Parent, que l'erreur eft delicate, & que l'endroit où il eft tombé étoit gliffant; car on croit voir fur quel fondement il a avancé cette Propofition. Apparamment il s'eft appuyé fur un Theorême de Galilée, qui eft tres vrai c'eft que les temps de la chûte d'un corps par les cordes du cercle font tous égaux entr' eux & au temps de la chûte perpendicu laire par le diametre. M. Parent ayant ce Theorême préfent à l'efprit, a confideré que loifqu'un pendule faifoit fes plus petites ofcillations, le poids décrivoit en tombant

;

un arc infiniment petit du cercle dont la longueur du pendule étoit le rayon. Il a pris la corde infiniment petite pour l'arc, & appliquant à la chûte par cette corde infiniment petite le Theorême de Galilée; il a conclu que le temps de cette chûte étoit égal à celuy de la chûte par le diametre qui eft deux fois la longueur du fil: or le temps de deux ofcillations infiniment petites étant égal à quatre fois celuy de la chûte par le petit arc parcouru en defcendant, il a crú démontré que le temps de ces deux ofcillations étoit egal à quatre fois celuy de la chûte accelerée par le diametre, ou le double du fil.

Cela eft ébloüiffant, & l'on n'eft point furpris que M. Parent en ait été frappé; mais on s'étonne un peu, qu'il ne fe foit pas defié de fes lumieres dans une occafion où il s'agiffoit de reprendre un auffi celebre, & auffi fçavant Geometre que l'étoit M. Hugens, & qui d'ailleurs avoit medité profondement cette matiere. On ne démêle point icy en quoi confifte le paralogifme? on veut laiffer à M. Parent la fatisfaction de le découvrir luy-même, & l'honneur de reparer fa faute.

VOICY encore les neuf derniers Theorêmes de M. Hugens, démontrez d'une nouvelle maniere & en tres-peu de mots. On les tire tous d'une feule Propofition comme n'en étant que de fimples corrollaires, & on les laiffe dans l'ordre où cet Auteur les a mis à deux prés qui font transposez.

Propofition generale:

*

&

La parabole K BEQ a fon fommét en bas, & fon axe L E perpendiculaire . l'horifon. Qu'on fe repréfente de nouveau la furface courbe engendrée par la révolu→ tion de cette parabole autour de fon axe, qu'on rappelle ici ce qu'on a expliqué dans l'article 17. Je dis que dans les differens points quelconques B, K, &c. les forces centrifuges du mobile circulant, font entr' elles comme les ordonnées BM, KN; rayons des circonferences parcourues, & que les viteffes aux mêmes points avec lefquelles il circule, non-feulement font auffi entr'elles comme ces ordonnées, & par confequent comme les racines des coupées correfpondantes; mais de plus qu'elles font égales aux viteffès aquifes par la chûte perpendi culaire de la hauteur de ces mêmes coupées.

Outre GBR tangente au point quel conque B, & BS perpendiculaire à cette tangente, foit menée encore M F parallele à la même tangente. Si la force centrifuge eft exprimée par l'ordonnée M B qui eft fa direction, il eft clair que fon action pour faire montrer le mobile fuivant la tangente BG fera exprimée par la ligne M F paral lele à cette tangente; mais puifque le mo bile fe foûtient, & circulé à cette hauteur, l'action de la pefanteur pour le faire def cendre fuivant la même tangente doit être égale à l'action de la force centrifuge pour le faire monter. Cette action de la pefan

* FIC, S.

teur, ou la pefanteur relative fera donc exprimée par la même ligne MF, & par confequent la pefanteur abfolue par la ligne M S qui eft fa direction. Ainfi en donnant aux quantitez les mêmes noms qu'auparavant, & nommant de plus a, le parametre de la parabole, on aura f.p:: B·M (y). Ms Pétant une quan

(a) & f=2py, or 2p

a

A

tité conftante, il eft évident que la raifon des förces centrifuges eft celle des ordonnées y; ce qui étoit premierement propofé.

ou

ce qui fait voir encore, les que quarrez des viteffes font comme les quarrez des ordonnées, & les vîteffes comme les ordonnées, comme les racines des coupées. Deplus ayant 4P3J4 px, on a u

= √xx 2p. (carp=1 dans l'acceleration des viteffes Or en nommant t le temps de la chûte accelerée par x; on a t√x; donc 2pt; c'est-à-dire par le Lem. 1. égale à la viteffe aquife par la chûte de la hauteur dex coupée correfpondante; ce qui reftoit à COR. I. Donc par l'Art. 2. les temps des circulations du mobile font égaux; c'est le Theor. 6. de M. Hugens.

démontrer.

COR. II. Que le mobile circule étant lis bre, ou qu'il circule au bout d'un fil fixe au

* Art. 1.

point S, reprefenté par la perpendiculaire SB, il eft clair que fa vîteffe eft la même : donc les ofcillations coniques des differens pendules correfpondans SB foat isochrones: entre elles, comme les circulations du poids libre, & non fufpendu. Mais les cones décrits par ces differens pendules ont par tout la même hauteur S M égale au demiparametre de la parabole; donc lorfque les cones que décrivent differens pendules ont même hauteur, leurs ofcillations font ifochrones. C'eft: le Theor. 7:

COR. 3. Deux mobiles circulans librement à même hauteur du fommet E en differentes paraboles ont mêmes viteffes donc les temps de leurs circulations font entre eux comme les circonferences parcouruës, ou comme les ordonnées qui en font les rayons: donc les coupées étant égales, ils font entre eux comme les racines des parametres. Donc auffi les ofcillations coniques des pendules SB des deux paraboles, auront leurs temps dans la même raifon des racines des demiparametres; mais les demiparametres font les hauteurs des cones décrits: donc les pendules qui décrivent des cones de differente hauteur, ont les temps de leurs ofcillations en raifon foufdoublée ds la hauteur des cones décrits. C'eft le Theor. 8.

COR. 4. Si l'on nommé z la circonference: décrite par le mobile libre ou fufpendu: », la viteffe qui eft auffi l'aquise par ia chûte des› coupées correfpondantes : 7 le temps des cir *Propofition generale,.