que membre de cette inégalité par c. Ce qu'il falloit premierement démontrer. L'on a encore (Hyp.) a>b, doncen multipliant chaque membre de cette inégalité par c, & divisant chaque +,&-x bc ab ou (art. 1. no. 37.) > Ce qu'il falloit en second lieu démontrer. Nous avons suppose dans la Multiplication, & dans la Division, que + x +, donnoit+; & que + -x+donnoit-. En voicila preuve, en supposant seulement que+x+donne, dont perfonne ne doute. no '-x a 39. Soita-bà multiplier par + c. Je dis que le produit sera ac -bc: car ayant supposé b=p; l'on aura en transposant a=p+6, & multipliant cette équation par+c, l'on aura ac=pc+bc; donc entranspofant, ac bc=pc; donc a-bx+c=ac-bc. 40. Soit presentement a - b à multiplier par - c. Je dis que le produit sera 6 ac+bc: car ayant supposéa =p, l'on aura en transposant a = p+b; donc en mul tipliant par ou = c, l'on aura (n°. 39.) -ac-pc-bc ac+bc-pc; donc a - b x - c-ac+bc. 41. Je dis aufsi que diviseur par le quotient, doit donner le dividende, ce qui n'arriveroit pas si le quotient étoit+b:car-ax+b - ab, qui n'est point le dividende. Au contraire -b+ab, qui eft la quantité à diviser. I'un & dans l'autre cas, le quotient doit être négatif, ce que nous avons aussi supposé ailleurs. REMARQUE. 1o. Tout le Calcul algebrique est fondé sur les trois Axiomes précedens, & sur les quatre premiers Theore mes que l'on vient de démontrer. On n'a démontré les quatre derniers que pour faire voir l'usage de notre principe, & que par fon moyen , on peut démontrer d'une maniere qui est toujours la même, toutes les proprietez des raports égaux, & inégaux, des proportions, & des progressions geometriques. 2°. L'on remarquera aussi qu'en suivant le même principe, l'on démontrera avec la même facilité toutes les proprietez desraports, proportions, & progressions arithmetiques, 3o. Que l'équation qui exprime la consequence ou la verité que l'on veut démontrer, peut toujours être délivrée de fractions, de signes radicaux, & réduite à ses plus fim. ples termes, avant que de chercher à lui rendre sembla bie celle qui renferme l'Hypothese : car une équation étant vraye dans un état, elle le sera dans tous ceux qu'elle est capable de recevoir. Il s'agit presentement d'ajouter, soustraire, multiplier, diviser, & extraire les racines des raports, ou fractions. ADDITION, ET SOUSTRACTION. 43. Pour les ajouter, on les écrira de suite fans chan ger aucun figne; & pour les soustraire, on les écrira de Tuite en changeant les signes de celles qui doivent être foustraites, soit que leur dénominateur soit le même, ou non. On leur donnera ensuite un même dénominateur; & après avoir réduit (art. 1. no. 11.) dans l'un & l'autre cas, les numerateurs semblables, on prendra pour la fomme, ou pour la difference, celles des deux exprefssons qui sera la plus simple, mination aab++abb-aab bh mination, c-d de aa-bb C l'on écrira aa-bb C ou, aprés leur avoir donné un même dénomi aac-bbc-aad + bbd-abc ab c-d nateur La premiere expreffion MULTIPLICATION. 44.0 N multipliera les numerateurs, & ensuite les dénominateurs l'un par l'autre ; & les deux produits for meront une fraction que l'on réduira à son expreffion la plus fimple. La premiere supposition donne ac bp, & la feconde, bc=dq; donc (Axio. r. Coroll. 1.) abcc = bdpq; donc (Axio. 1. Coroll.s.) x bb+cd abs + abcd = abbard, en divisant les deux est appllé raport composé, ou raison composée ; & le produit : aa 66 d'un raport, multiplié par lui-même, est appellé raport doublé, ou raison doublée. i 46. Le produit du numerateur du dividende par le dénominateur du diviseur sera le numerateur du quotient, & le produit du dénominateur du dividende par le numerateur du diviseur, sera le dénominateur du quotient. On réduira ensuite le quotient à son expression la plus fimple. Soit propose le rapport à diviser par. Ayant ab RC acb suppose=p, &= q. Il faut prouver que *c = La premiere supposition donne ab = cp; la seconde, ab ac=bq; donc (Axio. 1. Coroll. 1.) 1.)= ou, en mul AC cp bq tipliant chaque membre parb, & divisant chaque membre parc, abb acc P ac C. Q.F. D. De même divisé par d, ou par, donne b EXTRACTION. ac bd Des racines des quantitez fractionnaires. 47.IL est clair par les regles de la multiplication des frastions, que pour extraire leurs racines, il n'y a qu'à extraire celle du numerateur, & celle du dénominateur & ces deux racines formeront une fraction, qui sera la racine de la proposée. Ainsiv Sabbe Il en est ainsi des autres. 46cc Les mêmes operations sur les fractions irrationelles n'ont rien de particulier. : Fin de l'Introduction. * SECTION PREMIERE. Où l'on donne les définitions & les principes generaux qui fervent pour refoudre les Problèmes, démontrer les Theorémes de Geometrie. I. DEFINITIONS. Ly a deux fortes de propositions dans la Geometrie, ausquelles on peut appliquer l'Algebre, qui font les Theorêmes & les Problêmes. 1. Les Theorêmes sont des propofitions qui contiennent des veritez Geo metriques qui ne dépendent d'aucune operation, & qu'il faut seulement démontrer, A |