Imágenes de páginas
PDF
EPUB

dont AB & DE font les axes, passera par les points FIG. 18. M, F, V & S.

DEMONSTRATION.

;

AYAN
YANT nommé AC, oa CB, a; CD, ou CE, b;
CP, ou PI, x; PM, ou CQ, ou QH, y; l'on a par la pro-
prieté du cercle, & par la Construction, aa-xx (AP
× PB)=xx (PI, ou CP3), & bbyy (EQxQDID

I

=Jy (QH2, ou CQ2), d'où l'on tire x = √ any

I

2

2

=√66; c'est pourquoi (no. 19 & 21 ) les points S, M, V & S, font à l'Ellipfe dont les axes font AB, & DE, C. Q. F. D.

SECOND CAS..

::

>

35.S OIT prolongée CM du côté de M, & foit faite MK F 16. 59. prise sur le prolongement, égale à la troifiéme proportionnelle à CM & CS ;& ayant mené par M la droite HMT parallele à FS, du point O milieu de CK, on élevera la perpendiculaire OG qui rencontrera HMT en un pointG; puisque (no 13) MT est tangente à l'Ellipse dont MV & FS font deux diam. conjuguez; & que (n°10) l'angle CMT eft obtus, & du centre G par C, l'on décrira un cercle qui passera par K, & coupera MG aux points T&H, par où, & par C, l'on menera TC, & HC indéfiniment prolongées au-delà de C par rapport à T & à H: l'on menera ensuite MP & MO paralleles à CH & à CT; & ayant pris AB moyenne proportionnelle entre CT_ & CP ; CD, moyenne proportionnelle entre CH & CQ, fait CA=CB, & CE = CD. Je dis que l'Ellipse dont AB & AD (qui à cause du cercle se coupent à angles droits) font les axes, passera par les points M, F, V & S.

DEMONSTRATION.

AYANT abaifle du
centre G fur CT la
re GN, lepoint N divisera CT par le milieu en N; &
perpendiculai-

P

1

partant NG=CH, & ayant abaisse du point s sur la

2

même CT la perpendiculaire SI, & nomméles données CB, ou CA, a; CD, ou CE, 6; CM ou CV, d; CF, ou CS,f; & les indéterminées CP, ou QM, x;

C2, y; & CI, 2; l'on aura (Conft.)

CP(x). CB(a)::CB (a). CT = &

aa

x

66

[ocr errors]

PM, ou

CQ (y). CD(b) :: CD (b). CH=;doncNT="

=

2y

aa

y

y

2X

NG, TP=-x,& QH =-y,& les triangles semblables CIS, MQH, TPM donneront CI(z). CS (f)

fx

:: MQ(x). MH, & CI (2) CS (f) :: TP

aa

2

[blocks in formation]

(-x).TM; donc HM + MT, ou

[blocks in formation]

; & partant GT = ; donc à cause de

l'angle droit GNT (GT2)

af 4zzxx

22x

=

4xx b4zzxx atyy

NG2), d'où l'on tire ff= +。

[ocr errors]
[blocks in formation]
[ocr errors]

xy

donc à cause de l'angle droit CIS,ff(CS2)=ㄍ+

[blocks in formation]

est une équation à une Ellipse dont les axes font ( Prop. 1) AB = 2a, & DE== 26, & qui prouve au moins que cette Ellipse passe par les points M, & V; puisque (Hyp.)

CM=CV.

Or (Conft.) CM(d). CS (f) :: CS (f).MK=#:

aaffx

mais par la proprieté du cercle f* fixx (HMX MT

zzx

[ocr errors]

=CM × MK=Const. CS2) = ff, d'où l'on tire z= aa - xx ; c'est pourquoi (no. 18) l'Ellipse passe aussi par les points S & F. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

36. S 1 MV=FS; CM sera = MK; & partant les points O & G fe confondront avec le point M, qui fera le centre du cercle qui étant décrit par C déterminera la position des axes par sa rencontre avec HT en H & en T, qu'on déterminera comme on vient de faire.

[blocks in formation]

eyy
d

UNE équation à l'Ellipse ab - xx = étant donnée, décrire l'Ellipse, lorsque les coordonnées fontun augle oblique.

On déterminera la grandeur des diametres conjuguez par la Prop 6. on trouvera les axes par la Propofition précedente; on déterminera les foyers par la troisieme, & on décrira l'Ellipse par la premiere.

1

SECTION VII.

Où l'on démontre les principales proprietez de l'Hyperbole décrite par des points trouvez fur un Plan.

PROPOSITION I.

Theorême.

FIG. 60. XIV.

N angle quelconque HCK, & un point quelconque D dans cet angle, étant donnez de position far un Piin. Si l'on mene librement par le point D une ligne IDK qui rencontre CH & CK en I& en K, & qu'on prenne fur IDK la partie KO =ID. Je dis que les points O&D, & tous ceux que l'on trouvera comme on vient de faire le point O, en menant d'autres lignes par le point D, feront à une Hyperbole, dont CH & CK font les afym.

ptotes.

DE'MONSTRATΙΟΝ.

A Y ANT mené par les points D & 0, les lignes DL, OG paralleles à CK, & DN, OF paralleles à CH, & nommé les données DL, ou CN, ou (Conft.) FK, c; DN, ou LC, d; & les indéterminées CF, ou GO,∫; FO, ou CG ou NR, 2; NF ou RO sera fc,& DR,d - zi les triangles semblables DRO, OFK donneront d-z (DR)./-c(RO) :: z (OF). c (FK);donc cd-cz= zcz, ou cd = 2. Et comme cette équation est la même que celle qu'on a trouvée (art. 9, no 16), il fuit que la courbe décrite comme on vient de dire, est une Hyperbole. Et parceque / croiffant, & diminue, ou au contraire, & qu'on peut augmenter l'infini, z diminuera aussi à l'infini; c'est pourquoi les lignes CH, & CK

117

font les asymptotes, parcequ'elles ne peuvent jamais rencontrer l'Hyperbole. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

1. I L est clair que tous les rectangles semblables à CF x FO font égaux entr'eux, puisqu'ils font toujours égaux au même rectangle CL × LD; & que l'on a toujours

= cd.

COROLLAIRE II.

2. S 1 l'on prend fur l'Hyperbole un point quelconque B, & que l'on mene par B une ligne quelconque TBVS qui rencontre l'Hyperbole en un autre point, & les asymptotes en 7 & en S, TB sera toujours égale à VS: car ayant mené BX & VQ paralleles aux afymptotes, l'on aura ( Corol. 1) CX x X B = CQ × QV, ou (en nommant CX,c; XB,d ; CQ, (; QV, z ; ) sz=cd, ou 2-c2=cd-c2, qui étant changée en analogie, donne d - z. f- c :: 7. c, d'où il suit par la Démonstration de cette Proposition que XB = OS; donc TB = VS.

COROLLAIRE III.

3. 11 est clair que les parallelogrammes CD, CB,CO. CV sont égaux entr'eux.

I

COROLLAIRE IV.

4. Si l'on avoit nommé NF, ou Ro, f, l'on auroit en 12=cd-cz, qui montre que lorsqu'une équation à l'Hyperbole renferme plus de deux termes, les indéterminées n'ont point leur origine au sommet de l'angle des afymptotes.

COROLLAIRE V.

5. It est évident que lorsqu'on décritune Hyperbole par un point fixe, comme D, les points O que l'on trouve en faifant XO = DI peuvent fervir à en trouver d'autres

« AnteriorContinuar »