DEMONSTRATION. ELLE eft la même que la précedente. PROPOSITION VIL FIG. 63. 31. UNE Hyperbole BM, dont C eft le centre; AB & DE les deux axes, ou deux diametres conjuguez quelconques ; & CH, CT, les afymptotes. Si l'on mene ( no. 6) par un point quelconque M autre que B la tangente EMF, qui rencontre les afymptotes en E& F. Je dis qu'elle rencontrera le diametre AB en un point L, qui fera fitué entre le centre C, & l'extremité B du mème diametre AB; & que CP. CB:: CB. CL. & Ayant mené par M les droites PMK parallele à DE, ou HT, MO, parallele à CB; MI, parallele à CH, par le point B, les droites BG, BN paralleles aux afymptotes CT, CH,& nommé les données & conftantes CB, ou CA, a; CD, ou BH, ou BT,b; BG, ou CN,c; BN, ou CG, d; & les indéterminées CP, x; PM,y; CI, ou (n°. 6') IE, S; MI, L; & CL, t. Il faut prouver que xa :: a. t. LE DEMONSTRATION. E s triangles femblables CBT, CPK donnent CB (a) . bx a BT ( b) :: CP (x). PK= ; donc MK== (BN) :: bx ༢= bdx-ady Les triangles femblables BNC, MIO donnent ab BN (d). NC (c) :: MI (z ( · 10 = ; donc EO= EI+10=s+—; & BN ( d ). BC ( a ) :: MI (g). MO Enfin les triangles femblables EOM,ECZ donnent (EO). (OM) :: 2f( EC ) . † (CL), d'où l'on cd tire t=mais (Prop. 1). s1⁄2=cd, &=== √ c'eft pourquoi en mettant ces valeurs def & de dans MM 24dz celle de t, l'on aurat ddxz Or l'on vient de trou ver ༢= bdx-ady ; mettant donc cette valeur de z, & celle de fon quarré dans la précedente valeur de t, l'on aura après les réductions t―aabb bbxx — zabxy ✦aayy réductions_20abbx — 241by Amais (Prop.5) aayy =bbxx → aabb;c'est pourquoi en mettant cette valeur de aayy dans la derniere de l'on aura aprés les réductions, &= 3 d'où l'on tire %.4÷ a. t. C. L. x. 4:: 4.4. F.D. 10 wo, 40 km not 23, COROLLAIRE ¿I.QUO, no 32. I L'eft clair qu'on peut par ce moyen, d'un point quelconque donné fur l'Hyperbole, mener une tangente fans le fecours des afymptotes, en prenant CZ troifiémę proportionnelle à CP & à CB. 33. COROLLAIRE II 1 de CP (x) l'on ôte CZ l'on aura PL pour l'expreffion de la foutangente PL. COROLLAIRE III, 34. S1 (4) CZ AX de aa de CB ( 4 ) l'on ôte CI ( 24 ), l'on aura BZ ****, ou fi l'on suppose que CP (x) devienne infi x niment grande, le point touchant M fera infiniment R éloigné de B; & effaçant le terme aa dans l'expreffion de BL; parcequ'alors il devient nul par rapport à ax, fon aura BL ax x Eas d'où il fuit que le point Z tom, be en C, & la tangente LM devient CE qui eft l'afymp. tote de l'Hyperbole. PROPOSITION VIIL Theorême. FIG. 64. 35. UNE Hyperbole BM, dont C est le centre; AB & DE, les axes conjuguez, étant donnée ; fi l'on fait CF & CG chacune égale à l'intervalle BD, ou BE, & que l'on mene d'un point quelconque M, pris fur Hyperbole, les droites MF, MG, &(no. 32 Pla tangente ML. Je dis que l'angle LMF fera égal à l'angle LMG. Ayant mené l'appliquée MP perpendiculaire à l'axe AB, & nommé CB, ou CA, a; CD, ou CE,b; CF, ou CG, ou BD,t; MF, A; MG, CP, x; PM,y; PF sera, x = c; PG, x+c; & CZ (n. 31 ) —; donc FL ou ου Il faut prouver que MF (2) . MG (ƒ) :: FL(x — ^^) LES · ) :: cx—aa, cx + aa. D'EMONSTRATION. Es triangles rectangles FPM & GPM donnent A. xx — 2cx+cc+yy = 22, & B. xx + 2cx + cc ✦yy: mais ( Prop.4) C.yy= bbxx Abb. aa & le triangle rectangle BCD don. ne bbcc-aa, mettant donc cette valeur de bb dans cette valeur de yy dans les deux équations A, & B, l'on aura aprés les réductions & extractions de racines, cx aa = az, & cx+ad=af; donc çxaa, îx+aa :: az cx aa‚ af :: Z. S. C. Q. F. D COROLLAIRESrnah Lot (O 36. D'où l'on voit que fi l'un des points F, ou à étoit un point lumineux, les prolongemens des rayons reflechis à la rencontre de l'Hyperbole fe réuniroient à l'autre point Gou F. 37. bole. DEFINITION. LES points F&G font appellez les foyers de l'Hyper SECTION VIII Où l'on donne la méthode de réfoudre les Pro blêmes indéterminez du premier & du fecond degré, c'est-à-dire, de conftruire les équations à la ligne droite, & aux quatre courbes du premier genre, qui font le Cer cle, la Parabole, l'Ellipfe & Hyperbole. XV. METHOD E. 'ON a vu dans les Sections précedentes 1°. Que les équations indéterminées, où les lettres inconnues ne font multipliées ni par elles-mêmes ni entr'elles, appartiennent à la ligne droite, & que lorfque ces équations n'ont que deux termes, comme celle-ci aybx, ou xy; les inconnues x & y ont leur origine au point d'interfection de deux lignes droites, dont l'une renferme tous ces points qui fatisfont au Problême, & l'autre, tous les points d'où menant des lignes paralleles à quelque ligne donnée, & terminées par la premiefont la conftruction du Problême. re, 2. Que lorfqu'une équation à la parabole n'a que deux termes, l'un defquels eft le quarré de l'une des inconnues, & l'autre, le produit de l'autre inconnue par une quantité connue, comme ax=yy; les inconnues x, &y ont leur origine au fommet de l'axe, ou d'un diametre exprimé par x, & que l'orfqu'elle a plus de deux termes, l'origine des inconnues n'eft point au fommet d'un diametre. 3°. Que lorsqu'une équation au cercle,ou à l'Ellipfe, ou aux diametres de l'Hyperbole, n'a que trois termes,deux defquels renferment les quarrez des deux inconnues, & |