DEMONSTRATION. ELLE est la même que la précedente. PROPOSITION VII. Theorême. FIG. 63. 31. UNE Hyperbole BM, dont Cest le centre; AB & DE les deux axes, ou deux diametres conjuguez quelconques; & CH, CT, les asymptotes. Si l'on mene (no. 6) par un point quelconque M autre que B la tangente EMF, qui rencontre les afymptotes en E & F. Je dis qu'elle rencontrera le diametre AB en un point L, qui sera situé entre le centre C, & l'extremité B du mème diametre AB ; & que CP. CB :: CB . CL. Ayant mené par Mles droites PMK parallele à DE, ou HT; MO, parallele à CB; MI, parallele à CH, & par le point B, les droites BG, BN paralleles aux asymptotes CT, CH, & nommé les données & constantes CB, ou CA, a; CD, ou BH, ou BT, b; BG, ou CN,c; BN, ou CG, d; & les indéterminées CP,x; PM,y; CI, ou (n°. 6) IE, S; MI, z; & CL,t. Il faut prouver que x . a :: a. t. DE'MONSTRATION. LES triangles femblables CBT, CPK donnent CB (a). bx bx bx a BT (b) :: CP (x). PK= ; donc MK= K= -y.Les a Les triangles semblables BNC, MIO donnent cz BN(d). NC(c) :: MI (z(.10 =; donc EO = EI+10=f+; & BN(d).BC(a) :: MI(x). MO 3 Enfin les triangles semblables FOM, ECL donnent zafz cd 2 tire : mais (Prop. 1). f=cd, & f c'est pourquoi en mettant ces valeurs de/& dez dans ver bdx-ady ab zadz CO celle de t', l'on aurat dd+ Or l'on vient de trou; mettant donc cette valeur de z, & celle de fon quarré dans la précedente valeur de t, l'on aura apres les réductions zaabbx zaby aabbbbxx-zabxy + aayy (Prop.5) aayybbxx - aabb;c'est pourquoi en mettant cette valeur de aayy dans la derniere det, l'on aura apres les réductions, = ; d'où l'on tire F. D. 4 2 T mais NB YOU C 2.1 L'est clair qu'on peut par quelconque donne sur l'Hyperbole, mener une tangente fans le secours des asymptotes, en prenant CL troisieme proportionnelle à CP & à CB. *** pour l'expression de la soutangente PL. COROLLAIRE III, 34. Si de CB (4) l'on ôte CL(4), I'on aura BL sou si l'on suppose que CP (x) devienne infi niment grande, le point touchant M sera infiniment R éloigné de B; & effaçant le terme - aa dans l'expression de BL; parcequ'alors il devient nul par rapport à ax, BL l'on aura BL= x a 7; d'où il suit que le point Z tom. be en C, & la tangente LM devient Ce qui est l'asymptote de l'Hyperbole. 35. U FIG. 64. 35. NE Hyperbole BM, dont C est le centre; AB & DE, les axes conjuguez, étant donnée; i l'on fait CF & CG chacune égale à l'intervalle BD, ou BE, & que l'on mene d'un point quelconque M, pris furl Hyperbole, les droites MF, MG, (no. 32) la tangente ML. Je dis que l'angle LMF fera égal à l'angle LMG. -Ayant mené Pappliquée MP perpendiculaire à l'axe AB, & nommé CB, ou CA, a; CD, ou CE, 6; CF, ou CG, ou BD, T; MF, MG, ; CP, *; PM, y; PF fera, PG, x+c; & CL (no. 31) x ou donc FL Il faut prouver que MF (2). MG (S) :: FL() .GL( Cx+na ::cx-aa.cx+aa. D'EMONSTRATION. : : Les triangles rectangles FPM & GPM donnent A. xx - 2x+cc+yy=zz, & B. xx + 2cx+cc+vy = ff: mais (Prop.4) C. yy bbxxaabb, & le triangle rectangle BCD don. ne bb cc-aa, mettant donc cette valeur de bb dans l'équation C, l'on a yy ccxx - aaxx -aacc++ AA , & mettant cette valeur de yy dans les deux équations A, & B, l'on aura aprés les réductions & extractions de racines, cx -. aa = az, & cx+ad=af; donc cx-da.cx+aa :: az af:: z.f. C. Q. F. D A COROLLAIREnnak LOI KO 36. D'où l'on voit que si l'un des points F, ou étoit un point lumineux, les prolongemens ens des rayons reflechis à la rencontre de l'Hyperbole se réuniroient à l'au セー tre point Gou F. 37. Les points F & G font appellez les foyers de l'Hyper. bole. M Où l'on donne la méthode derésoudre les Pro blémes indéterminez du premier & du Second degré, c'est-à-dire, de construire les équations à la ligne droite, & aux quatre courbes du premier genre, qui font le Cer cle, la Parabole, l'Ellipse & l'Hyperbole. XV. METHODE. On a vu dans les Sections précedentes Lion dans les que connues ne font multipliées ni par elles - mêmes ni entr'elles, appartiennent à la ligne droite, & que lorsque ces équations n'ont que deux termes, comme celle-ci ay=bx, ou x = y; les inconnues x & y ont leur origine au point d'interfection de deux lignes droites, dont l'une renferme tous ces points qui fatisfont au Problême, & l'autre, tous les points d'où menant des lignes paralleles à quelque ligne donnée, & terminées par la premiere, font la construction du Problême. 28. Que lorsqu'une équation à la parabole n'a que deux termes, l'un desquels est le quarré de l'une des inconnues, & l'autre, le produit de l'autre inconnue par une quantité connue, comme ax = yy ; les inconnues x, & y ont leur origine au sommet de l'axe, ou d'un diametre exprimé par x, & que l'orsqu'elle a plus de deux termes, l'origine des inconnues n'est point au fommet d'un diametre. 3°. Que lorsqu'une équation au cercle, ou à l'Ellipfe, ou aux diametres de l'Hyperbole, n'a que trois termes,deux desquels renferment les quarrez des deux inconnues, & |