xx=aa-aa=o. & fi l'on faisoit y= 0, l'on auroit xx=aa; donc x = + a. Mais dans cette équation ax=by, on peut donner telle valeur que l'on voudra à l'inconnue y : car x aura toujours une valeur positive, à moins que l'on ne face y=0, auquel cas l'on aura ax=, ou x=0==0.

2.

A

THEOREME.

SI l'on assigne à une des inconnues d'une équation indéterminée du premier degré, où elles ne font multipliées ni par elles - mèmes, ni entrelles, tant de valeurs arbitraires qu'on voudra. Je dis que tous les points qui détermineront les valeurs correspondantes de l'autre inconnue, feront dans une ligne droite.

DE'MONSTRATION.

SOIT l'équation ay=bx, en la reduisant en Analogie l'on a a. b:: x. y; soit presentement une ligne droite AH, dont le point A foit fixe; & ayant pris sur AH l'intervalFIG. 3. le AB égal à la ligne donnée a, mené par le point B, la ligne BC égale à la ligne donnée b, qui fasse avec AH tel angle qu'on voudra, & mené par A & C, la droite AC indéfiniment prolongée. Il est clair qu'ayant pris fur AH un point quelconque D, mené DE parallele à BC; & nommé AD, x; & DE, y; l'on aura toujours a. b :: en quelqu'endroit de la ligne AH que l'on prenne le point D, ou ce qui est la même chose, quelque grandeur arbitraire que l'on affigne à l'inconnue x, celle dey fera toujours déterminée par la ligne AG. De forte que la ligne AG est lieu qui renferme tous les points qui fatisferont au Problême, qui doit être resolu par l'équation propofée ay=bx C. Q. F. D.

x.y,

COROLLAIRE.

3. S 1 l'équation proposée étoit déterminée, comme ay =bc, ce seroit toujours la même chose, excepté que la

:

lettre a qui tient la place de x, est constante; ainsi ayant pris fur AH, AD=c, & mené DE parallele à BC; DE sera la valeur de c; mais en ce cas de tous les points de la ligne AG, iln'y a que le seul point E qui résout le Problême, puisque AD = ne peut avoir differentes valeurs.

COROLLAIRE II.

4. D'où l'on voit que les équations déterminées, & indéterminées du premier degré, sont de même genre; puisqu'elles se construisent par les mêmes lignes, & de la même maniere.

COROLLAIRE III.

5. SI Dans l'équation precedente ay =bx, = a étoit égale à b, elle deviendroit y = x; & il n'y auroit alors qu'à faire BC = AB; & affignant à x la valeur arbitraire AD; DE (y) parallele à BC, feroit égale à AD = x.

COROLLAIRE IV.

6. I L est évident que dans toutes les équations indéterminées du premier degré, les inconnues ont entr'elles un rapport conftant, c'est-à-dire, qu'elles font l'une à l'autre comme une ligne donnée, à une ligne donnée, ou en raison d'égalité : comme dans l'équation précedente aybx, où x. y :: a. b, & dans celle-ci y = x, où x. y : : 1. I.

COROLLAIRE IV.

7. On voit aussi avec évidence que dans les équations indéterminées du premier degré, une des inconnues croissant ou diminuant, l'autre croît aussi ou diminue; qu'elles peuvent toutes deux augmenter ou diminuer à l'infini, en gardant toujours entr'elles le même rapport.

:

A

THEOREME.

8. SI dans une équation indéterminée qui n'est point du premier degré, & où par confequent les deux lettres inconnues font multipliées ou par elles-mèmes, ou entr'elles, de quelque maniere que ce puisse ètre, l'on assigne à l'une des deux tant de valeurs arbitraires qu'on voudra. Je dis que tous les points qui détermineront les valeurs correspondantes de l'autre, feront dans une ligne courbe.

DEMONSTRATION.

Dans les équations à la ligne droite, les inconnues gardent toujours (n° 6) entr'elles un rapport constant. Or lorsque dans une équation, les deux lettres inconnues font multipliées ou par elles-mêmes ou entr'elles, ou de l'une & de l'autre maniere tout ensemble; elles ou les lignes qu'elles expriment, ne peuvent garder le même rapport dans toutes les variations ou changemens de valeurs qu'elles peuvent recevoir : car il faudroit pour cela, que l'une des deux fût dans un des membres de l'équation, & l'autre dans l'autre, toutes deux seules, ou accompagnées seulement de lettres connues. Mais par l'hypothese, ces deux lettres font multipliées ou par elles-mêmes ou entr'elles; donc elles ne peuvent garder un rapport constant dans tous les changemens de valeur qu'on leur peut assigner: c'est pourquoi, en assignant tant de valeurs que l'on voudra à l'une des deux, les valeurs relatives de l'autre ne peuvent être déterminées par une ligne droite. Il faut donc qu'elles le foient par une ligne courbe, C. Q. F. D.

C'est ici la preuve generale, chaque équation en fournit de particulieres, en les comparant à l'équation à la ligne droite, comme on va voir par l'exemple qui suit,

:

EXEMPLE.

9. So IT l'équation yy=aa-xx, qui est du second degré; ; Il est clair, 1. Que x croiffant , y diminue : car le second membre de l'équation devient d'autant plus petit, que x devient grande. 2°. On ne peut pas augmenter & en forte qu'elle furpasse la ligne exprimée par a: car le second membre deviendroit negatif; & la valeur de y feroit par consequent imaginaire. 3°. Si l'on fait x=a, l'équation deviendra yy =aa-aa=0. Il est donc évident que cette équation ne se rapporte point à la ligne droite; puisque ses qualitez font toutes differentes de celles des équations du premier degré ; & partant qu'elle se rapporte à une ligne courbe.

Pour déterminer & décrire cette courbe par le moyen de son équation yy=aa-xx. Soit une ligne droite CH, FIG. 4. donnée de position dont l'extremite C foit fixe, & dont les parties CP foient nommées x; soit une autre ligne CG perpendiculaire à CH, & dont les parties C foient nommées, y; soit aussi une ligne donnée KL nommeé, a; ayant mené PM parallele à CG, & QM parallele à CH; QM sera =CP = x, & PM=CQ=y.

Si l'on assigne presentement tant de valeurs differentes qu'on voudra à l'une des inconnues x (CP) l'on déterminera par la Geometrie, les valeurs correspondantes de y (PM). De forte que tous les points M feront à la courbe à laquelle se rapporte l'équation proposée yy =

aa-xx.

Supposons premierement x= 0; le point P tombera en C, & le point M, sur la ligne CG; & effaçant dans l'équation, le terme xx, qui devient nul par la suppofition de x=0 o, l'on aura yy=aa, donc y = a; c'est pourquoi si on prolonge CG du côté de C; & qu'on fafle Ce, & CE chacun=KL=a; CE sera la valeur positive dey, & Ce sa valeur negative, & les points E&, feront la courbe dont il s'agit.

Supposons en second lieu y = 0, le point ose c on

fondra avec le point C, le point Mtombera fur CH, & l'on aura 0=aa-xx, ouxx=aa ; donc x=+a; c'est pourquoi, si l'on prolonge CH du côté de C, & qu'on prenne de part & d'autre du point C, CB & CA chacune égale KL=a; CB sera la valeur positive de x, & CA sa valeur negative, & les points B & A, feront à la même courbe en question. D'où l'on voit déja que les quatre points A, E, B, e, sont également distans du point C.

Si l'on assigne à x une valeur quelconque CP moindre que CB pour déterminer la valeur de PM=y, l'on

aura en extrayant la racine quarrée y = + Vaa-xx d'où l'on tire cette construction. Ayant prolongé PM du côté de P; du point C pour centre, & pour demi diametre l'intervalle KL=a, l'on décrira un cercle qui coupera PMenM & m ; PM sera la valeur positive de y, & Pm sa valeur négative, & les points M, mseront à la courbe cherchée; car à cause du triangle rectangle CPM; l'on a PM2 =CM2-CP2, c'est-à-dire en termes Al

gebriques yy=aa-xx ; dont y+Vaa-xx.

Or il est évident que pour déterminer la valeur de y (PM) dans toutes les positions du point P, il faudra décrire un cercle du centre C, & du rayon KZ; c'est pourquoi ce cercle est lui-même la courbe cherchée; ce qui d'ailleurs étoit facile à remarquer : mais on a jugé à propos de faire sur l'équation au cercle, qui est la plus simple de toutes les courbes, les raifonnemens que l'on vient de faire, pour donner une idée de ceux que l'on doit faire fur les équations aux autres courbes, afin de les décrire par leur moyen, d'en marquer les principales determinations, & d'en découvrir les principales proprietez.

COROTTAIRE