Où l'on donne la Méthode de conftruire les par degré. METHOD E. XXIV. OIT qu'on ait employé deux ou plufieurs lettres inconnues ou qu'on n'en ait employé qu'une pour réfoudre un Problême, quand on est venu à une équation déterminée du troifiéme ou du quatrième degré, qui ne peut être réduite à une équation du fecond, le Problême eft neceffairement Solide, comme on a déja dit ailleurs, & on le pourra toujours conftruire par le moyen de cette équation, en obfervant les régles qui fuivent. 1. Si l'équation a un fecond terme, on le fera premierement évanouir. Cela fait. 2. Si l'équation eft du troifiéme degré, on la mul. tipliera par l'inconnue qu'elle renferme pour la rendre du quatrième. 3. On trouvera une équation à la parabole dont un des membres fera le quarré de la lettre inconnue de l'équation que l'on veut conftruire, & l'autre membre fera le produit d'une autre lettre inconnue par une lettre connue quelconque, ou plûtôt par une des lettres connues qui fe trouve le plus frequemment dans l'équation à conftruire :car par ce moyen on rend la conftruction un peu plus fimple. 4. On fera évanouir l'inconnue de l'équation à conftruire dans le premier & dans le troifiéme terme: (car on fuppofe qu'elle n'en a point de fecond) en fubftituant en fa place, sa valeur prise dans l'équation à la parabole que l'on a formée, & l'équation qui en résultera fera une autre équation à la parabole. 5. On combinera par addition ou fouftraction ces deux équations à la parabole, de maniere que l'équation qui en résulte foit une équation au cercle. 6. On conftruira l'équation au cercle, & la plus fim. ple des deux équations à la parabole, comme dans la Section précedente, en fuppofant que les lignes exprimées par les deux inconnues font un angle droit, & les Interfections de ces deux courbes donneront les racines, ou valeurs tant pofitives que négatives de l'inconnue de l'équation à construire. Tout ceci fera éclairci par les exemples qui fuivent. 7. EXEMPLE I. Problême Solide. TROUVER une ligne dont le cube foit au cube d'une ligne donnee CD, dans la raifon donnée de m à n. Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée AB, a; & l'inconnue x, l'on aura par la condition du Problême x3, a3 :: m, n, d'où l'on tire x3 = n qui eft une équation du troisième degré, qui ne pouvant être réduite à une équation du fecond; il fuit que le Problême eft Solide. En multipliant cette équation par x, l'on aura x+ ma3x & faifant (no 3 ) ay=xx, qui eft une équa tion à la parabole, l'on a aayy = x2; & mettant dans l'équation à construire pour x+ sa valeur aayy, l'on tion à la parabole. Et combinant ces deux équations à la parabole par addition ou foustraction, l'on aura yy ay MAX xx, qui eft une équation au cercle dont la construction jointe avec celle de l'équation à la parabo. le ay xx, réfoudra le Problême. Soit le point A l'origine des inconnues y qui va vers G, FIG. 94. &x qui lui est perpendiculaire. Et foit décrite (art: 10 no.11) fur l'axe AG dont le fommet est A la parabole AH, dont le parametre foit a= AB. Cette parabole fera celle dont l'équation eft ay = xx. est L'équation au cercle étant réduite donnera avec les réductions cette conftruction. Ayant pris fur AG, AI=—a=— CD, on élevera au point I la ligne IK perpendiculaire à AG & égale & du centre K par A, l'on décrira un cercle qui coupera la parabole AH au point M, par où l'on menera la droite MP parallele à IK; je dis que MP expri mée par x qui eft l'inconnue de l'équation x3 = que l'on vient de conftruire, eft le côté du cube qu'il fal. doit trouver. DEMONSTRATION. AYAI max. Mais à caufe de la parabole l'on a (art. 10 ) n ay=xx ; donc yy=mettant donc dans l'équa Сс FIG. 95. 8. DIVISER un arc de cercle BDEC en trois parties égales BD, DF, FC. Ayant fuppofé le Problême réfolu; puisque par l'Hypothese les arcs BD, DF, FC font égaux, les cordes BD, FD, FC feront auffi égales, & DF fera parallele à BC. Ayant mené les rayons AB, AD, AF, AC, & outre cela la ligne FI parallele à AD; les triangles ADB, ADF, AFC feront égaux, femblables & ifofceles, comme auffi les triangles BHD, CKF : car l'angle CFK (= KFD=AKH) — CKF. Par la même raison l'angle BDH l'angle BHD; c'est pourquoi, puifque (Hyp.) CFDB; ČK sera =BH, Mais les triangles ACF, CFK, FKI, font auffi semblables & ifofceles: car à caufe des paralleles AD, IF, l'angle KIF (BHD)=IKF=KFC=FCA. = En nommant presentement le rayon AC, a; la don née BC,b; & l'inconnue CF, ou CK, ou IH, ou HB, x; Pon aura AC ( a ). CF ( x) :: CF (x). FK==,& CF (*). FK (**) * ). KI=1, d'où l'on tire x3 = zaax-aab, qui eft une équation du x. Mettant donc dans l'équation du Problême, pour x, & pour xx, leurs valeurs aayy, & ay; l'on aura après avoir divifé par aa, yy=3ay-bx, qui eft une autre équation à la parabole. Et en combinant par addition ou soustraction, ces deux équations à la parabole, l'on aura aprés la réduction yy-4ay——xx— bx, qui eft une équation au cercle, dont la construction jointe avec celle de l'équation à la parabole ay=xx, réfoudra le Problême. Soit donc le point A l'origine des inconnues y qui va FIG. 95. vers G, & perpendiculaire à AG qui va vers B, & foit décrite (art. 1o no 11 ) fur l'axe AG, dont le fommet soit A, la parabole AH dont le parametre foita (Fig. 95) AC.Cette parabole fera celle dont l'équation eft ay=xx. L'équation au cercle étant réduite, donnera, avec les réductions, cette construction. il = Soit prife AI=2a =( Fig. 95) 2AC, & ayant élevé IK perpendiculaire à AG & = · — b —— BC, l'on décrira du centre K par A, un cercle AMNF qui coupera la parabole aux points A, M, N, F, parmi lesquels y en a trois M, N, & F dont on peut tirer des perpendiculaires MP, NO, FE fur l'axe AG de la parabole, qui font les trois racines de l'inconnue x de l'équation du Problême, deux desquelles PM,& QN font pofitives, & la troifième EF, negative, de forte que PM fera la corde du tiers de l'arc BDFC qu'il falloit diviser; & QN, la corde du tiers du refte du cercle BVC. DEMONSTRATION. PAR la proprieté de la parabole l'on a (art. 10) ay=xx. Ayant joint KA, & mené le diametre ZKR parallele à AG ; l'on aura par la proprieté du cercle KA2, ou KR2 — KT2 —TN2, ou Kz2 KX=XM2, ou en termes algebriques, 4aa✦ — bb— yy ➡ Aay — 4aa — |