:

SECTION Χ.

Où l'on donne la Méthode de construire les Problèmes Solides par le moyen de leurs équations déterminées ; ou ce qui est la même chose, de construire les équations déterminées du troisième, & du quatriéme degré.

XXIV.

S

METHODE.

Οι I T qu'on ait employé deux ou plusieurs lettres inconnues, ou qu'on n'en ait employé qu'une pour réfoudre un Problême, quand on est venu à une équation déterminée du troisiéme ou du quatriéme degré, qui ne peut être réduite à une équation du second, le Probleme est necessairement Solide, comme on a déja dit ailleurs, & on le pourra toujours construire par le moyen de cette équation, en observant les régles qui suivent.

:

1. Si l'equation a un fecond terme, on le fera premierement évanouir. Cela fait.

2. Si l'équation est du troisieme degré, on la mul tipliera par l'inconnue qu'elle renferme pour la rendre du quatrième.

3. On trouvera une équation à la parabole dont un des membres sera le quarré de la lettre inconnue de l'équation que l'on veut construire, & l'autre membre fera le produit d'une autre lettre inconnue par une lettre connue quelconque, ou plûtôt par une des lettres connues qui se trouve le plus frequemment dans l'équation à construire : car par ce moyen on rend la construction un peu plus simple.

4. On fera évanouir l'inconnue de l'équation à con. struire dans le premier & dans le troisiéme terme: (car on suppose qu'elle n'en a point de second) en substituant en sa place, sa valeur prise dans l'équation à la parabole que l'on a formée, & l'équation qui en résultera sera une autre équation à la parabole.

5. On combinera par addition ou soustraction ces deux équations à la parabole, de maniere que l'équation qui en résulte soit une équation au cercle.

6. On construira l'équation au cercle, & la plus fim. ple des deux équations à la parabole, comme dans la Section précedente, en supposant que les lignes expri. mées par les deux inconnues font un angle droit, & les Interfections de ces deux courbes donneront les racines, ou valeurs tant positives que négatives de l'inconnue de l'équation à construire. Tout ceci sera éclairci par les exemples qui suivent.

EXEMPLE I.
Problême Solide.

7. TROUVER une ligne dont le cube soit au cube d'une ligne donnee CD, dans la raison donnée de m à n.

Ayant supposé le Problême résolu, & nommé la donnée AB, a; & l'inconnue x, l'on aura par la condition du Problême x, a :: m n, d'où l'on tire x = qui est une équation du troisieme degré, qui ne pouvant être réduite à une équation du second; il suit que le Problême est Solide.

n

En multipliant cette équation par x, l'on aura x*

ma3x

n

& faisant (n° 3) ay = xx , qui est une équation à la parabole, l'on a aayy = x+ ; & mettant dans l'équation à construire pour x+ sa valeur aayy, l'on

max

tion à la parabole. Et combinant ces deux équations à
la parabole par addition ou soustraction, l'on aura yy -
ay
xx, qui est une équation au cercle dont la
construction jointe avec celle de l'équation à la parabo.
le ay = xx, résoudra le Problême.

n

Soit le point A l'origine des inconnues y qui va vers G, F 16.94. & x qui lui est perpendiculaire. Et soit décrite (art: 10 no.11) sur l'axe AG dont le sommet est A la parabole AH, dont le parametre soit a = AB. Cette parabole sera celle dont l'équation est ay = xx.

L'équation au cercle étant réduite donnera avec les réductions cette construction.

Ayant pris fur AG, AI=÷=÷CD, on élevera au point I la ligne IK perpendiculaire à AG & égale

& du centre K par A, l'on décrira un cercle qui coupera la parabole AH au point M, par où l'on menera la droite MP parallele à IK; je dis que MP expri

ma

mée par x qui est l'inconnue de l'équation x' = que

l'on vient de construire, est le côté du cube qu'il fal. loit trouver.

DEMONSTRATION.

AYANT joint AK, & mené KOR parallele à AP qui rencontrera le cercle en R, & PMen O. L'on a par la proprieté du cercle, KA2, ou KR-KOOM2, се qui est en termes algebriques

I

da xx

4

max

•

max

+

mmaa
4nn

I

4

aa+

mmaa

4nn

-yy+ay

, qui devient ay-yy

Mais à cause de la parabole l'on a (art. 10)

ay = xx ; donc yy= ; mettant donc dans l'équa

Cc

tion précedente pour ay, sa valeur xx, & pour yy, fa

x4

valeur l'on aura aprés les réductions ordinaires x'=

FIG. 95. 8. DIVISER un arc de cercle BDEG en trois parties égales BD, DF, FC.

Ayant suppose le Problême résolu; puisque par l'Hypothese les arcs BD, DF, FC font égaux, les cordes BD, FD FC feront aussi égales, & DF sera parallele à BC. Ayant mené les rayons AB, AD, AF, AC, & outre cela la ligne FI parallele à AD; les triangles ADB, ADF, AFC feront égaux, femblables & isofceles, comme aussi les triangles BHD, CKF: car l'angle CFK (=KFD=AKH) = CKF. Par la même raison l'angle BDH = l'angle BHD; c'est pourquoi, puisque (Hyp.) CFDB; CK sera =BH. Mais les triangles ACF, CFK, FKI, font aussi semblables & ifofceles: car à cause des paralleles AD, IF, l'angle KIF (=BHD) = IKF=KFC=FCA.

En nommant presentement le rayon AC, a; la donnée BC, b; & l'inconnue CF, ou CK, ou IH, ou HB, x; l'on aura AC (a). CF(x) :: CF(x). FK =, & CF

xx

xx

(x). FK () :: FK().KI, donc CI =

x

x3

aa

a

aa

; & partant CB=IB+C1=2x+xd'où l'on tire x3 = zaax-aab, qui est une équation du troisième degré, & qui ne pouvant être réduite à une équa tion du second, fait connoître que le Problême est solide. Pour le construire, soit premierement l'équation précedente multipliée par son inconnue x, & l'on aura x+ =3aaxxaabx; & ayant fait ay=xx, l'on aura aayy

=x4. Mettant donc dans l'équation du Problême,
pour x, & pour xx, leurs valeurs aayy, & ay; l'on au-
ra après avoir divise par aa, yy =3ay-bx, qui est une
autre équation à la parabole. Et en combinant par ad-
dition ou soustraction, ces deux équations à la parabole,
l'on aura aprés la réduction yy -4ay
c-bx, qui
est une équation au cercle, dont la construction jointe
avec celle de l'équation à la parabole ay = xx, résoudra
le Problême.

96.

Soit donc le point A l'origine des inconnues y qui va FIG. 95. vers G, & x perpendiculaire à AG qui va vers B, & foit décrite (art. 10 no 11 ) sur l'axe AG, dont le sommet soit A, la paraboleAH dont le parametre soita = (Fig. 95) AC.Cette parabole sera celle dont l'équation est ay=xx. L'équation au cercle étant réduite, donnera, avec les réductions, cette construction.

2

I

2

Soit prise AI= 2a = (Fig. 95) 2AC, & ayant élevé IK perpendiculaire à AG & =÷6=BC, l'on décrira du centre K par A, un cercle AMNF qui coupera la parabole aux points A, M, N, F, parmi lesquels il y en a trois M, N, & F dont on peut tirer des perpendiculaires MP, NQ, FE sur l'axe AG de la parabole, qui font les trois racines de l'inconnue x de l'équation du Problême, deux desquelles PM, & QN sont positives, & la troisieme EF, negative, de forte que PM sera la corde du tiers de l'arc BDFC qu'il falloit diviser; & QN, la corde du tiers du reste du cercle BVC.

DEMONSTRATION.

PAR la proprieté de la parabole l'on a (art. 10) ay=xx. Ayant joint KA, & mené le diametre ZKR parallele à AG; l'on aura par la proprieté du cercle KA2, ou KR-KT2 =TN2, ou KZ-KX=XM2, ou en