par une fraction litterale, comme, avant que de la combiner avec l'équation F, comme on vient de faire; l'on aura une équation à l'Hyperbole, & une à l'Ellipse.

On peut de même combiner deux des équations precedentes prises à volonté, & ensuite celles qui résultent de ces combinaisons, ce qui donnera une infinité d'é quations aux Sections coniques, de l'une desquelles on pourra se fervir avec l'équation au cercle.

15. On tirera de la même maniere d'une équation du quatriéme degré qui n'a point de second terme, des équations aux Sections coniques, & une au cercle: mais on n'en trouvera point à l'Hyperbole par rapport à ses asymptotes: où l'on remarquera que si l'on tiroit deux équations au cercle d'une équation du troisième ou du quatrième degré, le Problême seroit plan, & l'équation se pourroit réduire à une équation du second degré.

16- On peut encore construire les Problêmes solides avec l'équation au cercle, & telle Section conique qu'on voudra, comme on peut voir dans le Traité de la ConstruCtion des Equations de M' de la Hire, dont on a suivi ici la Méthode.

17. On multiplie les équations du troisiéme degré par leur inconnue, pour en tirer une équation à la parabole, differente de celle que l'on forme arbitrairement pour introduire dans l'équation déterminée afin d'en tirer des équations indéterminées : mais cela n'y apporte aucun changement: car les Problêmes du troisième & du quatrième degré sont de même nature; & même leurs constructions ne different qu'en ce que les deux Courbes qu'on y employe passent par l'origine de l'in- connue de l'équation, quand elle eft du troisiéme degré, & qu'elles n'y passent pas quand elle est du quatriéme.

1

:

Dd

1

:

Où l'on donne la Méthode de résoudre & de construire les Problêmes indéterminez, dont les Equations excedent le second degré : ou ce qui est la même chose, de décrire les courbes dont ces Equations expriment la nature ; & de résoudre & de construire les Problêmes déterminez, dont les Equationsexcedent le quatriéme degré.

XXV.

Ο

Na

METHODE.

donné des règles dans la cinquiéme, fixiéme & septiéme Section pour décrire les courbes du premier genre d'une maniere plus simple que celles qu'on tireroit naturellement de leurs équations: mais on n'en peut pas donner pour décrire celles des genres plus composez. Il faudroit pour cela les avoir examinées les unes aprés les autres; ce qui iroit à l'infini: car chaque genre en contient un nombre d'autant plus grand qu'il est plus composé, & il y a une infinité de genres.

1. On dira seulement en general qu'aprés avoir trouvé une équation pour chaque Problême (en observant pour nommer les lignes inconnues, ce qui est pref crit dans la premiere ou septiéme Observation de l'art. 4), qui exprime la nature de la Courbe qui doit servir à le réfoudre, qui en détermine le genre, & qui soit réduite à fon expression la plus fimple; il faut examiner par l'inspection des termes de l'équation, celle des deux inconnues dont on peut plus facilement trouver les valeurs en suivant les regles de la construction des équations déterminées, trouver par les mêmes regles les valeurs de

cette inconnue, en assignant à l'autre inconnue une valeur déterminée, & arbitraire; & l'on aura à chaque fois qu'on assignera à cette inconnue des valeurs arbitrai res, autant de points de la courbe qu'on veut décrire que l'autre inconnue aura de valeurs réelles, positives, & negatives. De forte que si l'inconnue la moins élevée de l'equation, fi elles ne le font pas toutes deux également, à une ou deux dimensions, on en trouvera les valeurs par les regles de la Section II, en affignant à l'autre inconnue des valeurs arbitraires, & la regardant ensuite comme déterminée. Si elle a trois ou quatre dimensions, on en trouvera les valeurs par les regles de la Section précedente; & fi elle a un plus grand nombre de dimensions, on en trouvera les valeurs comme on expliquera dans la suite: mais comme l'on en pourra plus tirer l'équation au cercle, il ne sera point necessaire d'en faire évanouir le second terme, s'il s'y rencontre: où l'on remarquera qu'il faut réiterer la construction autant de fois qu'on assignera des valeurs differentes à l'inconnue que l'on prend pour constante.

2. On peut auffi, aprés avoir trouvé une équation comme on vient de dire, abandonner la premiere & feptiéme Observation de l'art. 4, & nommer d'autres lignes par des lettres inconnues, & chercher par ce moyen d'autres équations, qui n'exprimeront pas effectivement la nature de la courbe qui doit résoudre le Problême, & qui n'en détermineront pas le genre: mais qui pourront servir à décrire plus simplement la même courbe, foit par elles-mêmes, ou en faisant évanouir par leur moyen les inconnues de la premiere équation, afin de la rendre plus simple, & d'en tirer plus facilement la maniere de décrire la même courbe.

3. On peut encore tirer de l'équation qui exprime la nature de la courbe qui doit réfoudre un Problême, des équations à quelqu'une des quatre courbes du premier genre, lorsqu'on y trouve l'expression de l'appliquée de quelqu'une des quatre mêmes courbes, en égalant cette expression à une troisieme lettre inconnue, ou à fon quarré, & la construction de ces équations facilitera

la description de la courbe qu'on veut décrire. Tout ce-ci se trouvera pratiqué dans les exemples qui suivent.

FIG.97.4.

:

EXEMPLE I.

Problême indéterminé.

UN N demi cercle AFB, dont le diametre eft AB, & le centre C, étant donné, ayant mené par un point quelconque P du diametre AB, la droite PK perpendiculaire à AB, qui rencontre la circonference AFB en K. Il faut trouver fur PK le point M, qui la divise en forte que AP. PM :: PB. PK. Et comme il y a une infinité de points comme M, il faut trouver la courbe fur laquelle ils se trouvent tous.

a

Ayant fuppofé le Problême résolu; & nomme le diametre AB, ; & les indéterminées AP, x; PM, PB fera, a & par la proprieté du cercle PK seravax - xx, & l'on aura par les qualitez du Problême, AP(x).PM(y) :: PB (a - x). PK 4-ку √ax - xx, & en quarrant chaque membre, multipliant enfuite par xx, & divisant par - x; l'on aura x3=

ayy

a

x

xy

xyy, qui est une équation du troisiéme degré, qui montre que la courbe cherchée dont elle exprime la nature est du second genre. On tire de l'équation que

xVx

Va-x

xx

Vax-xx

en multipliant les deux termes de la fraction parvx, ce qui ne change ni le degré de l'équation, ni le genre de la courbe, d'où l'on voit que la courbe passe des deux côtez de l'axe AB par les points M, &m, & que la partie Am est égale & semblable à la partie AM, puisque

Pm=PM.

Si l'on fait x = 0, le point P tombera en A, les termes où x se rencontrent feront nuls, & l'on aura par confequenty = 0, d'où l'on connoît que la courbe rencontre son axe au point A, puisque AP & PM s'y aneantiffent, & qu'elle ne rencontre qu'en A la parallele à PK menée par A: car fi elle la rencontroit encore en quelqu'autre point, l'on trouveroit une valeur de y qui le détermineroit.

Si l'on fait y = o, l'on aura aussi x = 0, qui montre que la courbe ne rencontre son axe AB qu'au seul point A; & comme elle ne rencontre aussi la parallele à PK, menée par A qu'au seul point A; il suir qu'elle est toute du côté de B par rapport à cette parallele.

Puifque par l'Hypothese PB. PK:: AP. PM, il est clair que la courbe AM touche fon axe au point A: car le point P étant infiniment proche de A, les points K & Men feront aussi infiniment proches; & parcequ'alors PB furpassera pour ainsi dire infiniment PK; AP furpaffera aussi pour ainsi dire infiniment PM; d'où il fuit que la petite partie AM de la courbe fera pour ainfi dire dans la direction de son axe AB, qu'elle touche & coupe par consequent au point A.

L'on voit encore par la même équation que x eroif fant , y croît aussi, même en deux manieres: car le numerateur xx du membre fractionnaire croissant, le dénominateur Vax - xx diminue.

Si l'on augmente x jusqu'à ce qu'elle deviennea, le point Ptombera en B, & l'équation deviendray =

, & comme ce rapport, est plus grand que tout rapport donné, c'est à dire, infiniment grand; il suic que si l'on mene par B une ligne BH parallele à PM, cette parallele ne rencontrera la courbe qu'à une distance infinie, ou, ce qui est la même chose, qu'elle lui fera asymptote. L'on voit aussi qu'on ne peut pas aug menter & en sorte qu'elle furpafle AB: car le dénomina teur de la fraction deviendroit une quantité imaginaire; & par consequent aussi les valeurs de y: ce qui fait voir que la courbe ne passe point au-delà BH menée par B parallele à PK. Il suit de tout ce qu'on vient de dire que