contrent point, le Problême sera impossible. On pourroit aussi se servir de l'équation à l'Hyperbo le xy =aa, aa, au lieu de l'équation à la parabole ay = xx, pour tirer des équations indéterminées des équations déterminées, du troisieme & du quatrième degre, & de l'équation à 'Hyperbole cubique xxy = as, au lieu de l'équation à la parabole cubique aay x', pour construire les Problêmes déterminez dont les équations excedent le quatrième degré. Enfin les Problêmes déterminez construits de la maniere que nous avons proposée, feront toujours construits avec les courbes les plus simples qu'ils le puissent être. 16. Pour décrire les courbes du premier genre, on a réduit leurs équations à un certain état : on n'a point fait la même chose pour décrire celles des genres plus composez, parcequ'il y en a une trop grande quantité dans chaque genre. Il peut neanmoins arriver qu'en changeant l'origine, ou la position de leurs axes, ou ce qui revient au même, de leurs coordonnées, les équations en deviendront plus simples, & par consequent aussi leur construction. Or ces changemens se font de la même maniere que ceux qui se font par les réductions, comme on a vû dans toute l'étendue de la Section huitieme, en égalant une de leurs inconnues + ou - une quantité connue à une nouvelle inconnue, & substituant dans l'équation la valeur de l'inconnue que l'on en veut faire évanouir, ce qui donnera une équation dont la forme fera dffierente de la premiere. On peut faire la même chose sur l'autre inconnue, On peut encore non-feulement changer l'origine des coordonnées : mais on peut aussi changer l'angle qu'elles font entr'elles, & leur faire faire tel angle qu'on voudra, comme l'on a fait en plusieurs endroits de la même Section huitieme. SECTION Des Courbes méchaniques, ou transcendentes, de leur description, & des Problémes qu'on peut construire par leur moyen. XXVI. T OUTES les Courbes geometriques rentrent en elles-mêmes, ou s'étendent à l'infini; de maniere que leurs axes, ou leurs coordonnées les rencontrent en un nombre déterminé de points, ce qui fait que les lettres indéterminées des équations qui en expriment la nature, ou, ce qui est la même chose, qui ex. priment la relation que leurs coordonnées ont entr'elles, ont un nombre déterminé de dimensions, & qu'on peut par consequent trouver tous les points de ces Courbes geometriquement, c'est-à-dire, par l'interfection de deux lignes geometriques droites, ou courbes. Toutes les Courbes méchaniques rentrent aussi en elles-mêmes, ou s'étendent à l'infini. mais on ne peut point trouver d'équations qui expriment geometriquement la relation de leurs coordonnées: car il y a des Courbes mechaniques dont une des coordonnées est une ligne droite, & l'autre une ligne courbe dont la rectification est geometriquement impossible. Il y en a d'autres dont les coordonnées sont deux lignes courbes ; d'autres dont les appliquées partent toutes d'un même point, & d'autres qui font figurées de maniere que leurs axes les rencontrent en une infinité de points; d'où il suit qu'afin qu'une équation en pût exprimer la nature; il faudroit qu'au moins une de ses inconnues eût une infinité de dimenfions, ce qui est impossible; & c'est pour cela que ces Courbes font aussi nommées transcendentes. Il suit de tout ceci que l'on ne peut geometriquement trouver tous les points des Courbes méchaniques, puis Gg , : que leurs équations n'en expriment que méchaniquement la nature. Il y a même des Courbes méchaniques dont on ne connoît que certaines proprietez, d'où l'on ne peut tirer d'équations en termes finis. Il faut alors avoir recours à l'infini, en regardant les Courbes comme des Polygones d'une infinité de côtez, & en comparant les côtez d'un triangle infiniment petit, formé par une petite portion de la Courbe comprise entre deux appliquées infiniment proches, par la difference de ces deux appliquées; & parla distance de l'une à l'autre, & que l'on regarde comme un triangle rectiligne, aux côtez d'un grand triangle formé par la tangente, ou la perpendiculaire, par l'appliquée, & par la foûtangente, ou par la soûperpendiculaire, & les équations que l'on tire de la comparaison des côtez de ces deux triangles, font nommées équations differentielles; parceque les cotez du petit triangle font les differences de la Courbe, des deux appli quées infiniment proches, & des deux abscisses qui correfpondent à ces deux appliquées. On n'entreprend point ici de donner une Theorie complete des Courbes méchaniques; mais plutôt une fimple explication de celles qui se rencontrent le plus ordinairement dans les Ouvrages des Geometres, & particulierement dans l'excellent Livre de l'Analise des Infiniment Petits de feu Monficur le Marquis de l' Hopital, où il suppose que fon Lecteur connoisse toutes les Courbes dont il explique les plus belles proprietez. PROPOSITION I FIG. 105. 1. SOIT un cercle ABP, dont le centre eft C, & un rayon CA. Si l'on conçoit que le rayon CA fafle un tour entier autour de fon extremité immobile C, de maniere que le point A fe meuve uniformement fir la circonference de A par Ben A, pendant qu'un point mobile parcourera aufli d'un mouvement uniforme, le rayon CA allant de Cen A; ce point décrira par la composition de ces deux mouvemens, une Courbe CDMA, qui aura cette proprieté dans toutes les situations de AC, par exemple en celle de CP, que la circonference entiere ABA sera à sa partie ABP: comme CA ou CP à CM, ou (ayant nommé CA, a¡ ABA, CABP, X; CM,y;) c. x :: a.y, d'où l'on tire ax=cy. Si l'on suppose que le rayon CA fasse encore un, ou plusieurs tours, le point décrivant parcourera pendant chaque tour, furCA prolongée, des parties comme AE égales à CA, & la courbe fera autant de tours autour d'elle-même , que CA en aura fait ; & comme on peut supposer que le rayon CA fafle une infinité de tours; il fuit que la Courbe peut le rencontrer en une infinite de points; & que par consequent elle est mechanique, ou tranfcendente. Archimede Auteur de cette Courbe l'a nommée Spirale. Pour la décrire, ayant divisé la circonference ABA, & le demi diametre CA en un nombre égal de parties égales, & mené CP à quelqu'une des divisions, on portera de Cen M autant de parties de CA, que ABP en contient, ou de Pen M, autant de parties de CA que AFP en contient; & de l'une ou de l'autre maniere le point M fera à la Courbe CDM: car l'on aura toujours ABA. ABP :: CA. CM, ouABA. AFP :: CA. PM. Ondécrira de même le 2e tour, en portant fur le prolongement de CP autant de parties de CA que ABP en contient, & ainsi des autres, en décrivant pour chaque tour un cercle dont le rayon soit double, triple, &c. du rayon CA, Si l'on suppose que le rayon CA, & le point décrivant, se meuvent avec des vitesses qui foient en telle raison qu'on voudra, c'est-à-dire, que ces vitesses soient telles que l'on ait toujours ABAm, ABPm :: CA". CP, ou cm, xm :: a". ym, d'où l'on tirera ax = cm y", qui est une équation pour toutes les Spirales à l'infini. Ce seroit la même chose si le rayon AC tournoit autour du point C d'un sens contraire, de A par F vers P, pendant que le point mobile descendroit de A vers C, en Sim & n signifient des nombres positifs, les spirales fe- FIG. 106. 2. & n PROPOSITION II. 2. So I Tun quart du cercle ADB, dont le centre est C, & les rayons CA & CB. Si l'on conçoit que le rayon CA se meuve uniformement autour du centre C, jusqu'à ce qu'il arrive en CB, & que pendant ce temps-là une perpendiculaire PM au rayon CA, partant du point A, parcourre aussi uniformement le rayon AC, en demeurant parallele à CB; l'interfection M du rayon CA qui devient CD, & de la perpendiculaire PM, décrira une courbe AME, qui sera telle que ADB. AD :: AC. AP. Diocles, son Auteur, l'a nommée Quadratice. FIG. 107. 3. Si le rayon AC au lieu de se mouvoir autour du centre C, se mouvoit parallele à lui-même, de forte qu'étant parvenu dans une situation quelconque DF, l'on ait toujours ADB . AD :: AC. AP; l'interfection M de la paralleleDF avec la perpendiculaire PM, décriroit la Courbe AMB, que Monfieur Tchirnhausen a aussi nommée Quadratrice. FIG. 106. Si l'on nomme AC, a; ADB, c; AD, x; AP, y; l'on 107. aura c. x :: a. y;donc ax = cy, pour l'équation commune à ces deux courbes. |