moins autant de dimensions, qu'il y a de points où la ligne exprimée par cette inconnue rencontre la courbe, il faudroit que dans les équations de ces courbes, au moins une des inconnues eut une infinité de dimensions, ce qui est impossible.

AVERTISSEMENT,

22. Avant Mr Descartes, on ne prenoit pour Geometrique que ce qui se faisoit par le moyen du cercle, & de la ligne droite, tout ce qui se faisoit par d'autres courbes étoit reputé méchanique. Mais Mr Descartes, & aprés lui tous les nouveaux Geometres, ont pris pour Geometrique, tout ce qui se fait par le moyen des courbes Geometriques. Et les mémes Auteurs ne prennent pour méchanique, que ce qui se fait par le moyen des cour bes méchaniques.

IV.

OBSERVATIONS

Pour l' Application de l' Algebre à la Geometrie,

Von parle dema

a

OICI les Remarques ou Observations dont premier Article, no. 8. 1. Lorsqu'on veut résoudre un Problême, il faut toujours employer deux lettres inconnues, pour nommer deux lignes indéterminées, qui ayent leur origine en un point fixe, & qui fassent toujours un angle conftant, c'est-à-dire, que la ligne nommée par l'une des lettres inconnues, croiffant ou diminuant; celle qui est nommée par l'autre lettre inconnue, demeure toujours parallele à elle-même, ou à quelque ligne donnée. Ainsi, lorsqu'on a nommé (art. 3. n°. 9.) CP, x; & PM,y; l'on a eu égard à cette Observation. De même le demi cercle AMB étant donne ; s'il étoit question de déterminer le point M sur sa circonference ; ayant abaisse la perpendiculaire MP, l'on pourroit nommer indifferemment AP, ou CP, ou BP, x; car les points A, C, & B font fixes; & PM, y. Et fi le Problême est déterminé, on trouvera deux équations indéterminées ; mais on n'en trouvera qu'une seule, s'il est indéterminé.

? 2. Si l'on employe plus de deux inconnues, il faut qu'il y en ait deux qui expriment des lignes, dont la position soit telle qu'on vient de dire dans l'observation précedente; on placera ensuite les autres, comme on voudra. Mais on peut presque toujours se dispenser d'en employer plus de deux, en exprimant les autres lignes inconnues, dont on a besoin, ou par la propriété du triangle rectangle, ou par celle des triangles semblables.

3. S'il y a un point donné B sur un des côtez AH FIG. 3. d'un angle donné GAH; la droite BC perpendiculaire à AH, ou parallele à quelque ligne donnée de pofition, fera donnée de grandeur & de position; comme aussi les intervalles AB, AC; & partant ces lignes peuvent être nommées par des lettres connues a, b, c. Mais si le point B, eft cherché, les lignes AB, BC, AC feront indéterminées, ou variables: & l'on en pourra nommer deux AB & BC, ou AC & BC par deux lettres inconnues x, & y: car elles ont les qualitez requifes par la premiere Obfervation..

4. S'il y a un point donné D hors d'une ligne AB FIG. 5. donnée de position & de grandeur, la ligne DC perpendiculaire à AB, ou parallele à quelque ligne donnée de position, & les deux parties AC, CB, de la ligne AB feront aussi données de grandeur & de pofition. Mais fi le point D eft cherché, les lignes DC, AC, & CB feront variables, & l'on pourra nommer une des parties AC, de la donnée AB, x; CDy; & CB (ayant nommé AB, a) sera a - x.

1. Un angle GAH, & un point B au dedans de cet FIG. 6.7. angle (Fig. 6), ou au dehors (Fig. 7) étant donnez de position; les paralleles BC, BD, ou leurs égales AC, AD, feront aussi données, & on les pourra nommer a & b: mais fi le point B eft cherché, les paralleles AC, AD, feront inconnues, & on les pourra nommer x, & y.

6. Ce seroit la même chose, si le point B étoit donné FIG. S. ou cherche sur une courbe donnée HBG, dont AG, & AH font les deux axes, ou deux diametres conjuguez : mais le point B étant cherché, on pourroit nommer GC, & CB, ou HD, & DB, ou ( fi la courbe rencon

FIG. 8.

FIC. 9.

troit encore CG prolongée en un point F) FC, & CB, x & y.

7. Lorsqu'on détermine par une operation repetée, plusieurs points B sur un plan où il y a des lignes qui servent à déterminer tous ces points, & qu'on veut trouver une équation qui exprime la nature de la courbe sur laquelle les mêmes points se doivent rencontrer, il faut toujours nommer par une lettre inconnue, quelque ligne; comme BC, qui part d'un des points B, & qui étant parallele à quelque ligne donnée AH, rencontre une autre ligne AG donnée de position en quelque point C,& nommer par une autre lettre inconnue quelque partie de la ligne AG comprise entre le point variable C, & quelque point fixe A, ou G.

8. Un angle GAH, & un point fixe D hors de cet angle, étant donnez de position sur un plan; s'il s'agit de mener une ligne DEF par quelque point cherché E ou F sur un des côtez de cet angle, dans de certaines conditions, les parties AE, AF seront inconnues, & pour, ront être nommées x, & y: mais les paralles DB, DC, aux côtez AH, AG, ou leurs égales AC, AB seront données, & pourront être nommées, a, & b.

9. Si l'on eft obligé de tirer des lignes autrement que felon les regles contenues dans les Observations precedentes; on les tirera de maniere qu'elles forment plûtôt dans la figure, sur laquelle on opere, des triangles semblables, que des triangles rectangles: car les triangles semblables donnent des équations plus simples que les triangles rectangles.

10. La proprieté du triangle rectangle, & des triangles semblables, donnent presque toutes les équations dans lesquelles on tombe, en appliquant l'Algebre à la Geometrie.

11. Les hypothenuses des triangles rectangles doivent toujours être exprimées par le moyen des deux côtez qui forment l'angle droit, à moins qu'elles ne foient données de grandeur. Ainsi les deux côtez étant nommez x

&

&y, l'hypothenuse sera √xx + yy.

12. On ne doit jamais nommer les lignes égales, ou

qui doivent être égales, par des lettres differentes.

13. S'il y a de la difficulté à employer, & à nommer des lignes qui semblent necessaires à la resolution d'un Problême; on pourra employer en leur place d'autres lignes, pourvû qu'elles ayent entr'elles le même rapport. FIC. 3. Par exemple, en supposant que BC, & DE foient paralleles, s'il s'agit d'employer AB, & BD; & que AC, & CE soient nommées; on pourra employer AC, & CE au lieu de AB, & BD; puisque AC. CE :: AB .BD.

14. On abrege le calcul, & on trouve souvent des équations plus simples, en prenant pour l'origine des inconnues le point qui divise par le milieu une ligne donnée de grandeur : & l'on tombe par ce moyen dans un principe tres-connu, & qui est souvent d'un grand fecours dans l'Application de l'Algebre à tous ses usages.

Le voici.

15. La moitié de la somme de deux grandeurs, plus la moitié de leur difference est égale à la plus grande; & la moitié de la somme de deux grandeurs, moins la moitié de leur difference est égale à la plus petite. Ainsi, nommant la fomme 2m, & la difference 2n; la plus grande seram+n, & la plus petite m-n.

16. Il n'est pas necessaire de prendre tant de précautions, pour nommer les lignes de la figure sur laquelle on opere, quand il s'agit de démontrer un Theorême: car comme il n'y a point de lignes dont il soit necessaire de déterminer la longueur, on les peut toutes nommer par telles lettres qu'on voudra, connues, ou inconnues: mais on doit toujours suivre les regles précedentes pour tirer les lignes necessaires.

On confidere neanmoins quelquefois les Theorêmes qu'on veut démontrer, comme des Problêmes à refoudre. Et en ce cas, on peut fuivre les principes précedens,

D

:

AVERTISSEMENT.

Toutes ces Obfervations peuvent apporter beaucoup de facilité pour trouver des équations dans l' Application de l' Algebre à laGeometrie: mais la premiere & la septième sont les plus confiderables de toutes ; car en fuivant ce qui y est prescrit, les Problèmes indéterminez, feront toujours refolus par la voye la plus fimple, ou plûtôt par la seule voye naturelles c'est pourquoi fi en ce cas, on avoit employé plus de deux inconnues, il faudroit faire évanouir celles qui expriment des lignes dont la position n'est point conforme à ce qui eft dit dans ces deux ObServations. Mais parcequ'on ne peut pas construire tous les Problèmes déterminez par le moyen de deux équations indéterminées, pour les raisons que l'on a dites art. 3. n. 17 on eft quelquefois obligé d'abandonner ces deux Observations. Voici à peu près ce qu'il y a à obferver, quand on les veut fuivre.

17. Quand en résolvant un Problême avec deux inconnues, suivant la premiere Observation, on trouvera deux équations indéterminées; le Problême sera déterminé, & on le pourra construire avec ces deux équations, si elles se rapportent toutes deux à la ligne droite ou l'une à ligne droite, & l'autre au cercle, ou toutes deux au cercle; car il n'y a point de lignes plus simples que la droite, & la circulaire.

18. Si l'une de ces deux équations indéterminées se rapporte au cercle, & que l'autre soit du seconddegré, il faudra faire évanouir l'une des deux inconnues, & fi l'équation déterminée qui en resulte, n'est point du premier, ou du second degré, on examinera fi elle ne peut point être divisée par quelque binome composé de quelqu'un des diviseurs du dernier terme, & d'une puiffance du premier qui lui soit égale, pour la réduire, fi cela se peut, à une équation déterminée du second degré. Si par ce moyen on n'y réussit point, il faudra, fi elle est du quatrième degré, faire évanouir le second