terme, la transformer en une équation du troisième, & voir si elle ne peut point ensuite être divisée par quelque bino. me, composé d'un des diviseurs de deux dimensions du dernier terme, & du quarré de l'inconnue qu'elle renferme; & la réduire par ce moyen à une équation du second degré. Mais si l'on ne trouve aucun binome plan, qui puisse diviser l'équation transformée, le Problême sera solide, & on pourra le construire avec les deux équa tions indéterminées, de la maniere qu'on dira dans la neuvième Section ; & la construction sera même beaucoup plus simple, & plus élegante que celle qu'on tireroit de l'équation déterminée, qui resulte de l'évanouif sement de l'une des inconnues, comme on pourra voir en comparant les constructions des Problêmes solides de la neuviéme Section, avec celles de la dixième.

19. Si par la seule division l'équation déterminée peut être réduite à une équation du second degré, le Prolême sera plan, & on le construira par le moyen de l'équation réduite à deux dimensions, comme on enfeignera dans la Section suivante.

Si pour réduire l'équation déterminée à une équation du second degré, il faut employer la transformation, on pourroit encore le construire par le moyen de l'une des deux équations du second degré que l'on en tire: mais la construction en sera beaucoup plus simple, si en abandonnant ce qui est dit dans la premiere Observation, on prend d'autres lignes pour inconnues, & que l'on en tire de nouvelles, felon qu'on le jugera necessaire, & que par ce moyen on puisse venir à une équation déterminee du second degré. Et fil'on n'y réussit pas du premier coup, il faudra encore tenter d'autres voyes; car quand un Problême est simple, on peut trouver une équation fimple, & conforme à sa nature, soit d'une maniere, foit d'une autre.

20. Si aucune des deux équations indéterminées ne se rapporte point au cercle, & n'y puisse être réduite par la combinaison de l'une avec l'autre, ou autrement; & que l'équation qui résulte de l'évanouissement de l'une des inconnues, foit du troisième ou du quatrième degré, & ne puisse être réduite par la divifion, ou par la

transformation à une équation du second degré; il faudra par fon moyen construire le Problême, comme il fera enfeigné dans la dixiéme Section: car il sera neceffairement folide; & quand on chercheroit d'autres équations par d'autres voyes, elles ne pourroient être plus fimples que par leurs termes, un Problême ne pouvant jamais changer de nature.

21. Enfin si l'équation qui résulte de l'évanouissement de l'une des deux lettres inconnues renfermées dans les deux équations indéterminées, excede le quatrième degré, & n'y puifle être réduite par la division; le Problême fera lineaire, & on le construira par le moyen des deux équations indéterminées, comme on dira dans la douziéme Section.

22. La raison de tout ceci, est que pour construire les Problêmes simples, & plans, on ne doit employer que la ligne droite & le cercle; puisqu'on le peut toujours. Et fi on les construisoit par le moyen des deux équations indéterminées que l'on trouveen employant deux lettres inconnues, on y employeroit souvent d'autres courbes, qui ne sont pas si simples que le cercle.

Pour construire les Problêmes solides dont les équations sont du troisieme ou quatrième degré, on ne doit employer que le cercle, & une courbe du premier genre, puisque cela se peut aussi toujours,

Mais parceque pour construire les Problêmes. lineaires, dont les équations excedent le quatrième degré, l'on ne peut faire fervir le cercle; leur construction sera plus simple par le moyen des deux équations que l'on trouve en employant deux inconnues, felon la premiere Observation, que de toute autre maniere : car, à mon avis, c'est en quelque façon gêner la Geometrie que d'y introduire, souvent avec beaucoup de difficulté, de certaines courbes préferablement à d'autres

:

qui se présentent naturellement, & dont la defcription est souvent tres-simple: en quoi je voudrois que les courbes fussent préferées, sans avoir égard à leur genre, de la maniere qu'on le détermine ordinairement.

▼

AVERTISSE MEN T.

Lorsqu'on sçait qu'un Problème est simple, ou plan, il n'est point necessfaire d'avoir égard à la premiere obfervation, ni d'employer deux lettres inconnues pour le refoudre. Il y a aussi des Problèmes si simples, qu'il n'y a aucune difficulté, ni pour nommer les lignes, ni pour trouver des équations.

Tout ce qu'on a dit dans cette premiere Section sera éclairci par toute la suite de cet Ouvrage, qui n'en est que l'Application, & un Commentaire.

SECTΙΟΝ ΙΙ.

Où l'on donne la maniere d'exprimer Geometriquement les quantitez Algebriques, مین de resoudre les Problêmes simples, & plans; ou ce qui est la même chose, de construire les équations déterminées du premier & du Second degré.

V. N peut exprimer Geometriquement toutes les quantitez Algebriques, par le moyen des qua. tre operations suivantes, qui sont de trouver des troisiémes, quatrièmes, & moyennes proportionnelles, & de tirer les racines de la somme, ou de la difference de deux ou de plusieurs quarrez.

ab.

1. Pour exprimer Geometriquement ; ayant mené FIG. 3. une ligne droite AH, dont l'extremite Asoit fixe, fait AB=c, AD=a, mené BC=b, qui fasse avec AB un angle quelconque ABC, s'il n'est pas determine d'ailleurs, & mené ACG; la ligne De parallele à BC sera : car à cause des paralleles BC, DE, l'on aura AB (c). AD (a) :: BC (b). DE. Ce feroit la même chose s'il

ab

ab

C

: car il n'y auroit

qu'à faire BC=AD=a, aprés avoir fait AB=r ; où l'on remarquera que toute quantité fractionaire peut être regardée comme le quatriéme terme d'une proportion qui renferme les trois autres, & dont le dénominateur est le premier.

!

De même pour exprimer geometriquement";

aa+ab

c+d

en réduisant en proportion l'on a c + d.a+b::a.
Faisant donc AB=c+d, AD=a+b, BC=a; DE
parallele à BC, sera =
Ce sera la même chose

aa + eb
c+d

aab

ment a qui contient deux proportions, c.a:: a.

d.baaaab

l'on exprimera d'abord, comme on

vient de voir pour les quantitez précedentes, & ensuite

aa b

cd

Il en est ainsi des autres quantitez fractionnaires.

2. Pour exprimer geometriquement Vab. Il faut prendre sur une ligne droite AH, AD=a,& DB=b, F1 G. IC. & ayant décrit un demi cercle sur le diametre AB ; la perpendiculaire Deau point D, sera égale à Vab: car nommant DE, x; l'on aura a (AD). x (DE) :: x (DE). b (DB); dont xx=ab, &x=Vab. De même pour

exprimer Vaa+ab, on voit que aa+ab, est la produite de a+b; par a. Ainsi ayant fait AD=a+b; & DB

= a; DE, sera Vaa+ab.

:

Semblablement , pour exprimer Vaa - bb; puisque aa-bb, est le produit de a+6 par a-b, en faisant AD=a+b, & DB = a - b; DE sera=√aa-bb. On peut encore exprimer autrement cette quantité, comme on va voir no. 3.