2. Les Problêmes font d'autres propositions qui demandent que l'on faffe quelqu'operation, & que l'on démontre que l'operation que l'on a faite, fatisfait à la question. Ce qui s'appelle refoudre le Problême.

Il y a des Problèmes déterminez, & d'autres indéter

minez.

3. Les Problêmes déterminez sont ceux qui n'ont qu'une feule solution, ou qu'un nombre déterminé de folutions. Si l'on propose, par exemple, de couper une ligne donnée en deux également, on voit clairement que ce Problême ne peut avoir qu'une feule solution; mais fi

FIG. 1. l'on propose de couper une ligne donnée AB en un point C, en forte que le rectangle AC × CB soit égal au quarré d'une autre ligne donnée E F; il est clair que que ce Problême peut avoir deux folutions, & qu'il n'en peut pas avoir davantage: car si aprés avoir trouvé le point C qui fatisfait à la question, on la coupe encore en un autre point D qui soit autant éloigné de A que C l'est de B, le rectangle AD × DB sera égal au rectangle ACCB puisque AD=CB, & AC=DB. Il est aise de voir qu'il n'y a point d'autre point qui puiffe fatisfaire au Problême.

FIG. 2.

4. Les Problêmes indéterminez sont ceux qui ont une infinité de solutions : comme si l'on propose de diviser une ligne donnée en deux parties sans y admettre aucune autre condition, il est évident que tous les points de cette ligne fatisfont au Problême. De même si l'on propose de trouver deux lignes dont le rapport soit égal à celui de deux autres lignes données; l'on voit évidem. ment que les deux lignes que l'on cherche, peuvent être prises d'une infinité de grandeurs differentes, & qui auront toûjours entr'elles le même rapport. Semblablement 5. Si l'on demande de trouver un point B fur la circonference d'un demi cercle ABC, en forte que la perpenculaire BH, menée du point cherché B sur le diametre AC foit moyenne proportionnelle entre les parties AH &HC du diametre AC. On sçait que tous les points de la circonference ont cette proprieté, c'est-à-dire que toutes les perpendiculaires, comme BH font moyennes proportionnelles entre AH & HC en quelqu'endroit que l'on prenne le point B.

DEFINITION.

6. LE s lignes droites ou courbes qui renferment, ou fur lesquelles font tous les points qui refolvent un Problême indéterminé, font appellez lieux Geometriques. Ain. fi la demi circonference ABC est le lieu qui contient tous les points B, d'où l'on peut tirer des perpendiculaires BH moyennes proportionnelles entre AH, & Hс. AVERTISSEMENT.

7. Quoique l'on se propose ici de donner la maniere de démontrer les Theorèmes de Geometrie par le moyen de l' Alzebre'; il ne faut pas entendre cela fi generalement qu'il n'y en ait quelques-uns d'exceptez : car il y en a d'Elementaires où l'Algebre n'a point de prise. On ne peut, par exemple, démontrer par l' Algebre que le quarré de l'hypothenuse d'un triangle rectangle est égal aux deux quarrez des deux autres côtez, ni que les côtez homologues des triangles femblables font proportionnels. Il en eft de mème de plusieurs autres ; & c'est particulierement de ces deux Theorèmes que l' Algebre a besoin, & par le moyen desquels onvient à bout de tout, comme on verra dans toute l'étendue de cet Ouvrage. Soit qu'il s'agiffe de refoudre un Problème, ou de dénombrer un Theorème de Geometrie par le moyen de l'Alzebre, il est toujours neceffaire de trouver des équations & pour ce sujet il faut nommer toutes les lignes connues, & inconnues qui y peuvent fervir, par des lettres de l' Alphabet, avec cette difference que l'on nommera les données ou connues, ou déterminées, ou conftantes par les premieres a, b, c,d, &c. & les inconnues ou indeterminées ou variables par les dernieres, r,f, t, u, x, y, z.

Et parcequ'il y a souvent plusieurs chemins pour trouver les équations neceffaires pour la démonstration d'un Theorème, ou pour la résolution d'un Problème, on pourroit prendre celui qui

:

se presenteroit le premier s'ils conduisoient tous à des équations également simples, & d'où l'on pût tirer des constructions également élegantes : mais comme l'on arrive quelquefois à des équations tres composées en suivant certaines routes, & que l'on arriveroit à de tres-fimples en en suivant d'autres ; il s'enfuit que lorsqu'on ne trouve pas les premieres équations ausquelles on eft parvenu par les premieres fuppofitions, à ces fimples, il en faut chercher d'autres par d'autres voyes, & ne se point rebuter : car lorsqu'un Problème est simple de sa nature, on trouve ordinairement des équations fimples pour le refoudre : mais parceque pour trouver des équations simples, cela dépend particulicrement des lignes que l'on nomme par des lettres inconnues, c'est-à-dire, qu'en nommant certaines lignes par des lettres inconnues, on arrive à des équations tres-compofées, au lieu qu'en en nommant d'autres par les mêmes lettres inconnues, on arrive fouvent à des équations tres-fimples.

8. On ne peut donner de regles précises pour déterminer par mi les lignes inconnues celles que l'on doit nommer pardes lettres inconnues, pour parvenir aux équations les plus fimples, ni pour tirer certaines lignes qui font neceffaires tant pour la démonstration des Theorèmes, que pour la résolution des Problèmais l'on peut faire certaines remarques, & établir certains principes qui ne laissent pas d'avoir un grand usage dans l'un & l'autre cas. Onles trouvera ailleurs,

mes,

II.

PRINCIPES GENERAUX

L

Pour appliquer l'Algebre à la Geometrie. ORSQU'IL S'agit de refoudre un Problême, ou de démontrer un Theorême de Geometrie, on doit premierement bien entendre ce dont il s'agit, c'està-dire l'état de la question, & bien remarquer les qualitez des lignes qui doivent former la figure sur laquelle on doit operer: car il y a deslignes données de position feulement; d'autres données de grandeur, && de position tout ensemble; d'autres données de grandeur, & non de position; & d'autres enfin qui ne font données ni de grandeur ni de position.

1. Les lignes données de position seulement, sont celles dont la situation est invariable & toûjours la même, mais dont la longueur n'est point déterminée: comme la ligne EFG, qui étant une fois posée dans une situation perpendiculaire au prolongement du diametre AC d'an demi cercle ABC, à une certaine distance du point C, ne peut avoir aucune autre position.

Les lignes données de grandeur & de position tour ensemble, font celles qui ne peuvent changer de situation, & dont la longueur est déterminée, de forte qu'elles ne peuvent ni alonger ni acourcir: comme le diametre AC du demi cercle ABC, qui étant une fois posé dans une fituation perpendiculaire à la ligne FG, ne peut avoir aucune autre pofition.

Les lignes données de grandeur, & qui ne le sont point de pofition, font celles dont la grandeur ne peut varier; quoique leur situation puisse changer, comme le demi diametre DB, qui demeurent toujours de même gran, deur en quelqu'endroit de la circonference ABC que l'on prenne le point B. Les lignes données de grandeur font aussi appellées lignes connues ou lignes constantes, & & on les nomme par des lettres connues, a, b, c, d, &c.

Les lignes qui ne font données ni de grandeur ni de position, font celles qui en changeant de places, changent auffi de grandeur, comme la perpendiculaire BH qui changera de grandeur & de place autant de fois que le point Hs'éloignera ou s'approchera du point D. Les lignes qui ne font données ni de grandeur ni de pofition, font aussi appellées lignes inconnues, indéterminées, ou variables, & on les nomme par des lettres inconnues x, y, z, &c.

2. Lorsqu'on veut resoudre un Problême, on le doit confiderer comme déja resolu, & ayant mené les lignes que l'on juge necessaires, l'on nommera celles qui font connues par des lettres connues, & celles qui font inconnues par des lettres inconnues, & fans faire de diftinction entre les quantitez connues & inconnues, on examinera les qualitez de la question, & l'on cherchera le moyen d'exprimer une même quantité en deux manieres differentes;& ces deux expressions d'une même quantité étant égalées l'une à l'autre, donneront une équation qui refoudra le Problême, qui sera déterminé, si elle ne renferme qu'une seule lettre inconnue.

2

Mais si elle renferme plusieurs lettres inconnues, il faut tâcher par le moyen des differentes conditions du Problême de trouver autant d'équations que l'on aura employé de lettres inconnues, afin que les faisant évanouir, de la maniere qu'il est enseigné dans tous les livres d'Algebre, l'on ait enfin une équation qui n'en renferme qu'une seules cette équation étant reduite, s'il est neceffaire, à ses plus fimples termes par les manieres ordinaires expliquées dans les mêmes livres d'Algebre, donnera la solution du Problême qui fera encore déterminé.

Si l'on ne peut trouver autant d'equations que l'on a employé de lettres inconnues, de forte qu'il reste au moins deux inconnues dans la derniere équation, le Problême sera indetermine, & aura une infinité de folutions. Enfin, si dans la dernière équation il restoit trois où un plus grand nombre de lettres inconnues, le Problême feroit encore indetermine, mais il feroit d'une autre espece dont nous ne parlerons point.

Il est souvent facile de reconnoître par les qualitez d'un Problême, s'il est déterminé ou indetermine; auquel cas on sçait, fi ayant employé deux inconnues, on doit trouver deux équations, ou fi l'on n'en doit trouver qu'une feule: mais il arrive aussi quelquefois que cela n'est pas fi facile à diftinguer, & c'est en ce cas qu'il faut tacher de trouver autant d'équations qu'on a employé d'inconnues, afin de déterminer par ce moyen la qualité du Problême.

(

J

On n'explique point plusau long ce principe; car tout ce Traité n'en eft que l'application. On se contenterà de faire ici quelques reflexions fur les équations qui ne contiennent qu'une feule, ou deux lettres inconnues,