PROPOSITION. 1.

Theorême.

FIG. 45. 8. EN supposant les mêmes choses que l'on a fuppofées dans la Figure où la courbe IDH, est une parabole; & outre cela, si on mene DO parallele à BC, ou à MN; fi on prend AP = DO, & qu'on mene PQ parallele à DO, ou à MN. Je dis que DL × PQ=LI2=LH2.

Puisque le Plan coupant EDF est (no. 5.) parallele à AC; AP=DO sera = LN; & ayant nommé les données AO, b; DO, ou AP, ou inconnues DL, x; & LI, y.

X

LN, c;

PQ, p; & les

Il faut prouver que px(PQ x DL) = yy (LI2).
DE'MONSTRATION.

Les triangles semblables AOD, DLM, donnent
AO (b). OD (c) :: DL(x). LM=: Or (n°. 4),

cx

& par la proprieté du cercle (LM× LN)=(LI2) =yy: mais la ressemblance des triangles AOD, APQ donne b. (AO). c (OD) :: c {AP). p (PQ); donc ca = bp. Mettant donc bp en la place de ce dans la premiere équation, l'on aura px = yy, C. Q. F. D.

DEFINITION.

9. La ligne PQ=p, est appellée le parametre de l'axe de la parabole.

:

10.

PROPOSITION II.

Theorême.

EN supposant les mèmes choses que dans la Figure où FIG. 46.

la courbe IDH est une ellipfe ; & outre cela, si l'on divise Dd par le milieu en K, & si l'on mene SKT parallele à MN, & VKR parallele à HI; RV, fera lacommune Section de l'ellipfe, & d'un cercle SRTV, dont le diametre efł ST, & qui est coupé dans la fuperficie Conique par un Plan parallele à la base du Cone, ou au Plan du cercle MΙΝΗ, puisque HI eft ( no. 4 ) la commune Section de l'ellipfe, & du cercle MINH. De forte que V&R feront dans la circonfe. rence du cercle SRTV, & dans celle de l'ellipse. Cela pofé, je dis que DL x Ld . LI2 :: DK 2. KR2.

2

2

Ayant nomme les données DK, ou Kd, a; SK, g; KT, f; KV, ou KR, b; & les indéterminées KL, x; LI, ou LH, y; DL sera a – x, & dL, a + x.

Il faut démontrer que aa (LI2) :: aa (DK2). 66 (KR2).

- xx (DL x Ld). yy.

DEMONSTRATION.

Les triangles semblables dKT, dLN, & KDS, LDM, donnent dK (a). KT (f):: ::dL (a+x).LN= af+fx

a

& KD (a). KS (g) :: LD (a-x) LM-8-gx

=

a

う

+ afgx - fgxx

donc par la proprieté du cercle aafg-afgx

aa

aa

==yy:

(LN×LM)=yy (LI2), qui se reduit à aafg -fgxx
mais fg = TK × KS = (par la proprieté du cercle )
KR2=bb; c'est pourquoi mettant dans l'équation pré-

-

cedente pour sg sa valeur bb, l'on aura aabb - bbxx=yy, ou

aa

:

Sil'on avoit nommé DL, x; l'on auroit trouvé cette

FIG. 47. II. EN supposant les mèmes choses que l'on a supposées dans la Figure où la courbe IDH est une hyperbole, outre cela, si l'on divise Dd par le milieu en K, & qu'ayant mené KTS parallele à MN, on trouve une moyenne proportionnelle KR entre KS, & KT. Je dis que DL x Ld. LI :: DK 2KR2.

2

Ayant nommé les données KD, a; KR, b; KS, gi KT,f; & les indéterminées KL,x; LI, ou IH, yi LD fera, x - a; & Ld, x + a.

DEMONSTRATION.

Les triangles semblables dKT, dLN, & DKS, DLM, donnent,dK (a). KT (f) :: dL (x+a). LN=x+af,

a

&DK(a).KS(g):: DL)x-a(.LM=8; donc

aa

par la proprieté du cercle &fxx-Nafs (ML × LN) = yy (LI2). L'on a aussi par la constructiong (KS). b (KR) :: b. (KR) .f (KT); donc gf=bb; c'est pourquoi fi l'on met dans l'équation précedente, en la place de of

sa valeur bb, l'on aura

bbxx aabb

aa

=yy, ou xx - aa

=, d'où l'on tire xx-aa. yy :: aa.bb. C. Q. F. D.

DEFINITΙΟΝ.

12.L A ligne VKR double de KR menée par K paralle- F1 c. 46, le à IH, eft appellée l'axe conjugué à l'axe Dd.

13. Dans l'ellipfe & dans l'hyperbole, la troifiéme proportionnelle à deux diametres conjuguez quelconques, eft appellée le parametre de celui qui occupele premier lieu dans la proportion.

14. Suivant cette Définition, il est aisé de déterminer le parametre de l'axe Dd dans l'ellipfe, & dans l'hyperbole: car il n'y a qu'à prendre DP = 2KT ; & la droite PQ, parallele à MN, qui rencontre le côté AB du cone en Q, fera le parametre qu'on cherche: car, ayant nomme la ligne PQ, p; les triangles semblables DKS, DP2, donnent a (DK). g (KS) :: 2f (DP, ou 2KT). p (PQ); donc pa = 2fg: mais (no.11) fg = bb ; donc pa=2bb, d'où l'on tire a . b :: 2b.p, ou 2a . 2b :: 26 . p, c'est à-dire Dd . RV :: RV . PQ.

I

15. Puisque (no. 14) a. b :: 26. p :: 6. p; doncaa.

24

2

; c'est pourquoi, si l'on met dans les deux équa.

aa

tions précedentes (no. 10, & 11 ) au lieu de lieu de sa valeur

66

ou xx - aa . yy :: 2a. p, c'est-à-dire,

DL × LD. LI2 :: Dd . PQ.

47.

PROPOSITION IV.

Theorême.

FIG. 48. 13. L. A mème hyperbole IDH, dont l'axe déterminé eft D'd, le centre K, le diametre ou l'axe conjugué RV perpendiculaire à Dd, une ordonnée IL parallele à RV, étant mise fur un Plan. Je dis qu'ayant fait au fommet D, DB, & DE paralleles, & égales à KR, ou KV; les lignes KB, KE menées du centre K par les points B, E, & indéfiniment prolongées, ne rencontreront jamais l'hyperbole, & qu'elles s'en approcheront de plus en plus à l'infini.

DEMONSTRATION.

AYANT mené du fommer D, les droites DG, DO
paralleles à KB, & à KE; du point I, les droites IM,
IP paralleles aux mêmes KE, KB, & prolongé IL
de part & d'autre qui rencontre KB & KE en C, & F;
& nommé, comme dans la proposition précedente,
les données DK, a; DB, ou DE, 6; KO, ou GD, ou KG,
ou OD, qui font toutes égales, c; & les indeterminées
KL, x; LI, ou LH, y; IP ou MK, S; IM, ou PK 2.
Les triangles semblables KDB, KLC, donnent KD (a).
DB (6) :: KL (x). LC=*; donc IC=y&IF=
+y: car puisque (conft.) DB=DE, LC fera =LF;
& puisque (no. 4) LI=LH, IC, fera =HF. De
plus, les triangles semblables DBG, ICM, & DEO,

bx

a

bx

bx

IFP donnent, 6. (DB).c(DG) :: -y (IC)

bx

bx

{IM), &b (DE).c(DO)::+y (IF).∫(IP),

bex

d'où l'on tire ces deux équations bz=-cy, & bf

bex

A

+ cy: mais l'on a par la Proposition précedente xx