SECTION V.

Où l'on démontre les principales proprietez de la parabole, décrite par des points trouvez sur un Plan.

FIG. 10. X.

PROPOSITION I.

Theorême.

NE ligne droite DFP, & deux points fixes D, & F fur cette ligne, étant donnez de position fur un Plan. Je dis que si l'on mene librement la ligne MPm, perpendiculaire à DFP; & fi du centre F, & du rayon DP, l'on décrit an cercle; il coupera la perpendiculaire MPm, en deux points M &m, qui feront à la parabole.

DEMONSTRATION.

IL est clair qu'ayant divisé DF par le milieu en A, le cercle décrit du centre F, & du rayon DA, touchera en A, la perpendiculaire menée par le point A, & ne rencontrera point celles qui feroient menées au - deffus de A par rapport à F: mais qu'il coupera en deux points toutes celles qui feront menées au - dessous de A, comme MIPm; d'où il fuit que la courbe qui pafse par les points M, m trouvez, comme on vient de dire, passe auffi par le point A.

Ayant mené FM, & nommé les données, ou constan. tes AF, ou AD, a; & les indéterminées, ou variables AP, x ; PM, y ; FP sera x – a, ou a-x ; & FM, ou DP, xa.

Le triangle rectangle FPM donne xx-24x + aa+ yy=aa+zax + xx, qui se réduit à 4ax=yy, ou (en fai

:

fant 4ap) px=yy. Or comme cette équation est la même que celle de l'article 9. no. 8; il suit que la courbe MAm, est une parabole, dont le parametre est p === 41=4AF=2FD. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

1.I Lest évident que 2FD . PM :: PM . AP : car l'équation 4ax= yy, étant réduite en analogie, donne 4a.

y::y. x.

L

COROLLAIRE II.

2.11 est clair que si l'on mene par D la ligne ED parallele à PM, & par les points M, m qui sont communs à la parabole & à la perpendiculaire MPm, les droites ME, me paralleles à PD, elles seront égales entr'elles, à PD, & à FM, & que les parties PM, Pm de la perpendiculaire MPm, feront aussi égales.

DEFINITIONS,

3. La ligne AP eft nommée l'axe de la parabole; A, le sommet de l'axe, ou de la parabole; PM, ou Pm P'appliquée, ou l'ordonnée; AP, l'abcifsse ou la coupée ; F, le foyer; D, le point generateur; Ee, la ligne generatrice; AB, quadruple de AF, ou de AD, le parametre de l'axe.

COROLLAIRE III.

4. L'on voit par l'équation précedente 4ax =yy que * croissant y croît aussi; & qu'ainsi la parabole s'eloigne toujours de plus en plus de son axe à mesure que le point Ps'éloigne du sommet A, & que cela peut aller à l'infini: car il n'y a rien dans l'équation qui empêche d'augmenter x à l'infini.

COROLLAIRE IV.

S.Do où il suit que les lignes comme EM menées paralleles à AP passent au dedans de la parabole étant prolongées vers R, & ne ne la rencontre qu'en un feul point M.

L

COROLLAIRE V.

6.S I dans l'équation 4ax = yy, l'on fait x x = a,le point P tombera en F, & l'on aura 4aa = yy; donc 2a = y; c'est-à-dire que l'appliquée Fo qui part du foyer est égale à la moitié du parametre ; & si l'on fait x = 4a, l'on aura 16aa = yy, ou 4a=y, c'est-à-dire que AP, & PM feront chacune égale au parametre.

COROLLAIRE. VI.

7. I L est manifeste que la quantité constante qui accompagne l'inconnue ou l'indéterminée qui n'a qu'une dimension dans un des membres de l'équation, est l'expression du parametre de l'axe de la parabole, lorsque le quarré de l'autre indéterminée est seul dans l'autre membre: par exemple dans cette équation

aa

aax

= yy,

est l'expression du parametre de l'axe de la parabo. le dont l'abcisse est x; & l'appliquée y.

PROPOSITION II

Theorême.

8. LES quarrez des ordonnées PM, QN font entreux comme les abcisses correfpondantes AP, AQ

Ayant nommé comme dans la Proposition précedente AB, 4a; AP,x; PM, y; & AQ, S; QNz.

2

Il faut prouver que PM2 (yy). QN2(zz)::AP(x). AQ (S).

D'EMONSTRATION.

L'ona par la Propofition precedente 4ax =yy, & 4af=zz; donc yy. zz :: 4ax. 4af :: x. f. C. Q. F. D.

9. LES mèmes chofes étant toujours fupposées. Je dis que, fi d'un point quelconque m pris fur la parabole, on mene me parallele à PA, qui rencontrera la generatrice ene, & par le fommet A, la droite AC parallele à De qui rencontrera em en C; le cercle mle décrit fur le diametre me coupera AC par le milieu en I.

Ayant nomme la donnée AD, ou eC, a; & les indéterminées AP, ou Cm, x; Pm, ou AC, y; & CI, f.

I

Il faut prouver que CI (f) = AC (1)

2

DEMONSTRATION.

2

y

2

L'on a par la premiere propofition 44x=yy, & par la proprieté du cercle ax (eCxCm) = ff(CI2), ou 44x=4//; donc y= 2f, ou +y=f.C.Q.F.D.

PROPOSITION . IV.

Theorême.

10. EN fuppofant encore les mèmes choses, fi l'on prend AG, menée par le sommet A parallele aux appliquées PM, pour l'axe de la parabole, & GM parallele à AP pour l'appliquée, en nommant AG ou PM, x; GM, ou AP & le parametre 4 AF, 4a. Je dis que 4 AF × GM = AG2.

DE'MONSTRATION.

L'on a par la premiere Propofition 4ay = xx. C. Q.

F. D.

L'on n'a mis ici cette Proposition que pour faire voir qu'il est indifferent de prendre celui qu'on voudra des deux axes conjuguez pour l'abciffe, & l'autre pour l'ap. pliquée; ce qui convient à toutes les courbes Geometriques, où les deux indéterminées forment toujours un parallelogramme que nous avons nommé (art. 3 n°. 16) le parallelogramme des coordonnées.

PROPOSITION. V.

Problême.

11. UNE équation à la parabole, bx = yy, étant donnée, décrire la parabole, lorsque les coordonnées font perpendiculaires l'une à l'autre.

6, étant (no. 7) le parametre ; x, l'abciffe ; & y, l'appliquée de la parabole qu'il faut décrire, comme il est démontré dans la premiere Propofition.

Soit A le commencement dex, qui va vers P; & dey qui va vers B, ayant pris AB=6, & prolongé AP du

I

côté de A, on fera AF, & AD chacune égale à 6

I

4

4

AB, & l'on décrira une parabole AM par la premiere Proposition qui satisfera au Problême, & dont A fera le sommet, F le foyer, & D le point genera

teur.

DE'MONSTRATION.

A Y AN T mené une ordonnée quelconque PM; AF

I

étant, b; AP,x; PM, y; FP fera, x-b, ou

4

I

4

4

b-x; & FM =PD (no. 2 2), x+6. Et le trian

I

4

gle rectangle FPM donnera xx+bx+bb = xx

1

2

2

16

-bx+bbyy qui se reduit à bx=yy. C. Q. F.D.

16

REMARQUE

12. S i l'on avoit nommé (Prop. 1 1) DP, x; x ; & DF, a; l'on auroit trouve 2ax - aa=yy; & fi l'on avoit nom