FIG. 53.

1

donc en substituant b en la place de x + a dans l'équation precedente, elle deviendra 4bt = uu, ou 4 MF × MO = OG2. C. Q. F. D.

11.

DEFINITION.

L
A ligne égale à 46=4MF=4MH eft nom-

mée le parametre du diametre мо.

PROPOSITION XL

Problême.

12.U NE équation à la parabole (ax = yy ) dont les coordonnées x & y ne font point perpendiculaires, étant donnée, décrire la parabole.

Soit M le fommet du diametre MO, dont le parametre esta, & l'origine des variables x, qui va vers 0, & y qui va vers K en faisant avec MO l'angle oblique OMK. İl faut décrire par M la parabole LMG dont l'equation est ax =yy

4

Ayant prolongé OM & pris MH=-a=(Prop. preced.) au quart du parametre du diametre MO, on menera par H la droite HE perpendiculaire à HO qui fera (Prop. preced.) la ligne generatrice ; & ayant fait l'angle KMF = l'angle KMH, pris MF = MH & mené par F la ligne FD parallele à MO qui coupera la generatrice HE en D. Par la Propofition precedente, & par la fixième, F sera le foyer; FD, l'axe; D le point generateur, & A milieu de FD le fommet de l'axe de la parabole qu'il faut décrire. On la décrira par la premiere Propofition.

!

DEMONSTRATION.

ELLE eft claire par la Proposition precedente, & par

la fixiéme.

:

:

SECTION VI.

Où l'on démontre les principales proprietez
de l'Ellipse décrite par des points
trouvez fur un Plan.

PROPOSITIONL

Theorême.

en C, F1 C. 54.

NE ligne droite AB, divisée par le milieu
deux points fixes F, G également diftans
du milieu C, ou des extremitez A & B, étant donnée de
grandeur & de position; fi l'on prend entre F & Gun point
quelconque H, & que du centre F & du rayon AH; du centre
G& du rayon BH, l'on décrive deux cercles; ces deux cer-
cles se couperont en deux points M, m de part & d'autre de la
ligne AB; puisque leurs demidiametres furpassent FH+HG.
Et je dis que les points M&m, & tous ceux qui feront tc-
vez de la mème maniere, en prenant d'autres points H, (c-
ront à une Ellipfe dont Ceft le centre, AB le grand axe, DE
l'axe conjugué à l'axe AB,qui est double de la moyenne propor-
tionnelle entre AF & FB, ou AG & GB.

XII.UNE en C,

DEMONSTRATION.

D Un des points M, trouvez comme on vient de di-
re, ayant abbaisse la perpendiculaire MP, mené FM
& GM, & nommé les données AC, ou CB,a; FC,
ou CG, c; & les indéterminées CP,x; PM, y; AP
fera, a - x; PB,a+x; FP, c- x ou, x - c; & PG,c+x.
Il est clair par la description que FM+MG = AB
=2a; puisque FM = AH, & MG = HB;nommant
donc la difference de FM, & MG, 25; FM fera, a -s
& MG, a+f. Cela posé.,

Mij

2CX+Xx+yy = aa —

Cc+2cx+x+yyaa+za+ss,

& en ôtant la pre

miere de la feconde, le premier membre du premier & le second du second, l'on aura 4cx=4af, d'où l'on ti

cx

ref= & mettant cette valeur des, & celle de fon

a

quarré dans l'une des deux premieres équations, l'on

Ccxx

aura cc - 20x + xx + yy=aa-20x+ d'où l'on ti

aa

re en reduifant, transposant, & divisant par aa - “

Mais lorsque le point P tombe en C, PM (y) devient CD, & (x) devient nulle, ou= 0; c'est pour

quoi en effaçant le terme xx, l'on a aa=

ز

aayy aa-cc

ou da

a-c

-=y=CD2, & partant y = + CD: nommant donc CD, b; l'on a, aa-a=bb; d'où l'on tire (AF).6(CD) :: b (CD) a + c (FB). Qui est une des choses qu'il falloit démontrer. Or mettant bb dans l'équation en la place de aa - cc l'on

aa

xx=

aayy

a, aa-xx-66

Et comme cette équation est la

même que celle qu'on a trouvée (Art. 9, 10) il suit que la courbe ADBE estune Ellipse. Ce qui est une des autres chofes proposées.

• Si dans l'équation aa - xx =

,l'on fait y = 0, l'on

aura xx = aa; donc x = + a, ce qui fait voir que l'El lipse passe par les points A & B. Et en faisant x = o l'on a trouvé y = + CD qui montre que l'Ellipse AM pafle auffi par les points D & E, en faisant CE=CD; c'est pourquoi (Art. n. 6) AB, est le diametre principal de l'Ellipfe; DE fon axe conjugué, & C le centre. Ce qu'il falloit enfin démontrer.