des Problêmes indéterminez qui n'est autre chose que la description des Courbes dont on a les équations, il n'y a point d'autre voye naturelle pour la démontrer, que l'Analyse. Les Sections coniques étant d'un grand usage dans la Geometrie, j'ai jugé à propos d'en démontrer par l'Analyse, dans la 4, 5, 6, & 7° Section, les principales proprietez; & principalement celles dont je prévoyoisavoir besoin pour la construction des Problêmes. Je les ai d'abord considerées dans le Cone, parcequ'elles y ont pris leur origine & leur nom, & pour faire voir que celles que l'on trouve décrites sur des Plans dans la 5, 6, & 7° Section, sont précisément les mêmes que celles qu'on coupe dans le Cone. e Addition à la page liij de l'Introduction. 5°. IL est quelquefois à propos, & même necessaire, pour rendre plus facilement l'équation qui renferme I'Hypothese semblable à celle qui renferme la consequence, de nommer les grandeurs proportionnelles,comme nous avons dit n°. 19, 20, 21 & 22; & de nommer par les mêmes lettres les quantitez inégales qui ne sont point proportionnelles, en caracterisant les unes par quelque signe, ou par quelque lettre qui fasse voir leur inégalité. Par exemple, fi l'on veut démontrer quelque proprieté qui convienne à trois grandeurs differentes A, B, C; ayant nommé A, a, au lieu de nommer B, b ; & C, on peut nommer B, ma, (m fignifie multiple, ou foûmultiple), ou a+p; & C, na (n fignifie multiple, ou foumultiple, different dem), oua+p±r, en se servant du figne, ou-, felon que les quantitez qu'on veut exprimer, sont moindres, ou plus grandes que celle qui est exprimée par la premiere lettre a. SECTION I. Ου l'on donne les définitions & les princi- pes generaux qui feront pour résoudre les Problèmes, & démontrer les Theorèmes SECTION II. Où l'on donne la maniere d'exprimer geome- triquement les quantitez Algebriques, & de réfoudre les Problèmes simples, & plans; ou ce qui est la même chose, de construire SECTION III. Où l'on donne la Méthode de démontrer les SECTION IV. Des Sections du Cone, & du Cilindre, p. 68 SECTION VIII. Où l'on donne la Méthode de réfoudre les Problèmes indéterminez du premier & du fecond degré, c'est-à-dire, de construire les équations à la ligne droite, & aux quatre Courbes du premier genre, qui font le Cercle, la Parabole, l' Ellipse & Hy- SECTION IX. Où l'on donne la Méthode de construire les Problèmes folides déterminez, par le Problèmes folides par le moyen de leurs de leur description, & des Problèmes qu'on AVERTISSEMENT POUR LES CITATIONS. exemple, pour trouver cette citation, art. 4 n°. 6, il faut chercher la page, où l'on trouve le chiffre Romain IV, & ensuite le chiffre Arabe 6, qui n'en est pas beau- coup éloigné. Pour une plus grande facilité, voici la Ta- RTICLEI, pag. 1. Art. II, pag. 4. Art. III, pag. 10. Art. IV, pag. 22. Art. V, pag. 30. Art. VI, pag. 35. Art. VII, pag. 38. Art. VIII, pag. 60. Art. IX, pag. 68, Art. X, pag. 80. Art. XI, pag. 85. Art. XII, pag. 91. Art. XIII, pag. 101. Art. XIV, pag. 116. Art. XV, pag. 132. Art. XVI, pag. 141. Art. XVII, pag. 145. Art. XVIII, pag. 148. Art. XIX, pag. 153. Art. XX, pag. 162. Art. XXI, ! INTRODUCTION A L'APPLICATION DE L'ALGEBRE I. A LA GEOMETRI E. DEFINITIONS. 'ALGEBRE est l'Art de faire sur les lettres de l'Alphabet, les operations que l'on fait sur les nombres, c'est-à-dire, l'Addition, la Soustraction, la Multiplication, la Division & les Extractions de racines. L'on se sert des lettres de l'Alphabet préferablement à d'autres caracteres arbitraires, dont on pourroit également se servir, tant parcequ'on les connoît & qu'on écrit avec plus d'habitude que tous autres caracteres, que parceque ces lettres ne signifiant rien d'elles mêmes, on peut s'en fervir pour exprimer tout ce qu'on voudra. Ce qui fait qu'on ne peut pas tirer le même avantage des caracteres Aritmetiques & des Nombres, que des lettres dans l'Application de l'Algebre à tous les usages, c'est, 1o. qu'après avoir fait quelques unes des operations dont on vient de parler sur les lettres, on en connoît non seulement le résultat, mais on connoît & on distingue en même temps toutes les quantitez qu'il renferme; ce qui n'est point de même dans les résultats des mémes operations faites sur les nombres. : 2o. Que les quantitez inconnues entrent dans le calcul auffi - bien que les connues, & que l'on opere avec la même facilité sur les unes que sur les autres. 3o. Que les Démonftrations que l'on fait par le calcul algebrique font generales, & qu'on ne fauroit rien prouver par les nombres que par induction. C'est précisément en ces trois chofes que confifte le grand avantage qu'on tire du calcul algebrique dans fon application à toutes les parties des Mathematiques, qu'on en démontre tous les Theorêmes, & qu'on en refout tous les Problêmes avec autant de facilité qu'il y auroit de difficulté à faire les mêmes choses selon la maniere des Anciens. On s'est accoûtumé à employer les premieres lettres de l'Alphabet a, b, c, d, &c. pour exprimer les quantitez connues, & les dernieres m, n, p,q,rass tu,x,y,z pour exprimer les inconnues. 1. Outre les lettres qu'on employe dans l'Algebre, il y a encore quelques autres fignes qui fervent pour marquer les operations que l'on fait sur les mêmes lettres. Ce figne +, fignifie plus, & est la marque de l'Addition. Ainfi a+b, marque que b est ajoutée avec a. Ce figne , fignifie moins, & est la marque de la Soustraction. Ainfi a - b, marque que b est soustraite de a. Celui cix, fignifie fois, ou par, & est la marque de la multiplication. Ainsi a x b, marque que a & b, font multipliées l'une par l'autre. On néglige tres-fouvent ce signe, parcequ'on est convenu que lorsque deux ou plusieurs lettres font jointes ensemble fans aucun signe qui sépare ces lettres, où les quantitez qu'elles expriment, font multipliées, par exemple ab marque affez que a & b se multiplient : mais on s'en fert toujours pour marquer que deux quantitez exprimées par des lettres majuscules de l'Alphabet se multiplient.AinfiABxCD; marque que la grandeur exprimée par AB eft multipliée par la grandeur exprimée par CD. On employe encore le signe de multiplication en d'autres ocasions qu'on trouvera dans la fuite. |