le second degré, ou la seconde puissance, ou le quarré de a; as, le troisiéme degré, ou la troisième puissance ou le cube de a; at, le quatrième degré, ou la 4o puissance, ou le quarré quarré de a; a', le cinquiéme degré, ou la s puissance, ou le quarré cube de a; ao, le sixiéme degré, ou la fixieme puissance, ou le cube cube de a; a', le septiéme degré, ou la septiéme puissance de a, &ainfi à l'infini, d'où l'on voit que les puissances tirent leur nom de leurs exposans.

18. Une puissance peut aussi être regardée comme le produit de deux puissances, ou comme la puissance d'une autre puissance: ainsi a' peut être regardée comme le produit de a2 x at, ou comme la seconde puissance de a', ou comme la troisième de a2.

19. Il y a aussi des puissances faites du produit de deux ou plusieurs lettres multipliées l'une par l'autre : ainsi aabb, est la seconde puissance de abi ab, la troifieme puissance de abb. Il en est ainsi des autres,

DEFINITION.

20. S 1 deux quantitez differentes ou égales forment un produit, ou une puissance, ces quantitez font nommées cotez ou racines de ce produit ou de cette puissance. Ainfi a & b font les côtez, ou les racines de abi a le côté ou la racine de aa, &c.

FORMATION

Des puissances des quantitez incomplexes.

IL est évident (no. 17) que pour élever une quantité incomplexe à une puissance donnée, il n'y a qu'à multiplier cette quantité par elle-même autant de fois moins une que l'exposant de la puissance donnée contient d'unitez. Ainsi pour élever ab à la troisieme puissance, il faut multiplier ab deux fois par elle-même, ce qui don. nera asb. Il en est ainsi des autres.

22. D'où il est aisé de voir qu'on peut faire la même chose d'une maniere plus courte, en multipliant les Exposans de la grandeur donnée par l'Exposant de la puisfance à laquelle on veut élever cette grandeur. Ainsi la 3o puissance de ab, ou a'b'est a**3 b1×3= a'b'; la 4o puif

fance de a' est a3 x 4 est a 22X3 63x3 = a eft-a

mn

a

6

12

=aila

1X3

2.1

ou ab

Σ

3o puissance de aab' ab'; la 3o puissance de-a, a'; la quatrième puissance de a' est a*4= a*, & en general la puissance ndea" est

I

1X3

=-a

4

La puissance n de-a eft + a

gnifie un nombre pair, ou impair.

mn

ou-a -a ou

selon que n si

23. Il est clair (no. 14, &15) que pour multiplier un produit ou une puissance par un autre produit, ou par une autre puissance où se trouvent les mêmes lettres, il n'y

3

a qu'à ajouter leurs Exposans. Ainsi a' x a

=a=1. On verra

=, & pourquoi a=1.

MULTIPLICATION

Des quantitez complexes algebriques, & de la Formation de leurs puissances.

REGLE.

24. ON multipliera tous les termes de l'une des quan titez par chacun de ceux de l'autre, en observant les Régles prescrites n°. 14, & 15, & l'on aura le produit total que l'on réduira (1.11) à sa plus simple expression,

b

EXEMPLES.

25. S01 T la quantité à multiplier par

Produits particuliers.

Produit total.

E.2aa+Jab-2ac +666-36c.

Le premier terme 24 de la quantité B multipliant tous les termes de la quantité A donnera la quantité C.

Le second terme 36 de la quantité B, multipliant tous les termes de la quantité A donnera la quantité D; & ayant fait la réduction des deux quantitez C & D, l'on aura la quantité E qui sera le produit des deux quantitez A & B.Donc 2a+26-cx2a+36=2aa7a6-2ac +666-366.

26. Soit la quantité
à multiplier par

Produits particuliers.
Produit total

A.aa+bb.

B. aabb.
C.aaabb.
D.-aabb+6+

E at 64.

Le premier terme aa de la quantité B, multipliant la quantité A produit la quantité C. Le 2e terme - bb de la quantité B multipliant la quantité A produit la quantité D, & en réduisant les produits particuliers C & D, l'on a le produit total E. Donc aa + bb x aa - bb

64.

44

27. On se contente quelquefois pour exprimer la multiplication de deux quantitez complexes, d'écrire entre deux le signe de multiplication.

Ainfi pour multiplier a+b par a-b, l'on écrit a +6 xa-b, oua+bxa-b. Il en est ainsi des autres.

FORMATION

Des puissances des quantitez complexes. 28. Pour élever une quantité complexe à une puissan

1

ce donnée, il faut, comme pour les quantitez incomplexes, la multiplier consecutivement autant de fois moins une que l'exposant de la puissance donnée contient d'unitez. Ainsi pour élever a + b, à la 3o puissance, il faut (no. 24) multiplier a + b par a+b, ce qui donne aa2ab + bb, qui étant encore multipliée par a+b, donne a3+ zaab+3abb+b2, qui est la 3o puissance, ou le cube de ab. Il en est ainsi des autres.

On peut abreger l'operation lorsqu'il s'agit d'élever un pobynome au quarré.

29. On écrira le quarré du premier terme + ou deux fois le rectangle au produit du premier par le second, + le quarré du second; & ces trois termes feront le quarré cherché, si c'est un binome. Mais si c'est un trinome, on écrira encore + ou - deux fois le pro. duit des deux premiers par le troisiéme + le quarre du troisieme. Si c'est un quadrinome, on écrira encore+ou deux fois le produit des trois premiers par le quatriéme. + le quarré du quatrième, & ainsi de suite. Ainfi le quarré de a - b+cest aa-2ab+bb2ac2bc

+ cc.

On a mis ici cette abréviation, parceque l'on a tressouvent besoin de cette operation dans l'Application de l'Algebre à la Geometrie.

Voici une abréviation plus confiderable pour élever un binome à une puissance quelconque.

30. L'on écrira au premier terme la premiere lettre du binome élevée à la puissance donnée; au second la mê. me lettre élevée à une puifssance plus basse de l'unité, & multipliée par la 2o lettre; au troisieme, la même lettre élevée à une puissance encore plus basse de l'unité & multipliée par le quarré de la seconde; & ainsi de suite, en abaissant à chaque terme la puissance de la premiere lertre de l'unité, & élevant au contraire celle du second de l'unité, jusqu'à ce que l'on arrive au terme, où la même premiere lettre n'aura qu'une dimension qui sera le pénultieme ; & l'on écrira au dernier terme la seconde lettre élevée à une puissance égale à celle du premier. Ainfi pour élever a + bà la 4o puissance, l'on écrira, A. a+ab+aabb + ab + b+. Si le binome est tout pofitif, tous les termes de la puissance auront le signe +; si la seconde lettre est négative, les termes où elle se trouvera élevée à une puissance impaire, ou dont l'exposant eft un nombre impair, auront le figne, & tous les autres le figne +, comme on voit dans la puissance A.

II reste encore à trouver les coefficiens; en voici la Méthode.

On donnera au second terme pour coefficient l'exposant du premier; on multipliera le coefficient du second par l'exposant que la premiere lettre a du binome a au même second & le produit divisé par 2, serale coefficient du troisieme. De même, le coefficient du troifiéme multiplié par l'exposant que la premiere lettre a au mê. me troisieme; & le produit divisé par 3, sera le cofficient du quatrième ; & ainsi de fuite. De maniere que le coefficient d'un terme quelconque multiplié par l'exposant que la premiere lettre du binome a dans le même terme, & le produit divisé par le nombre qui marque le lieu que ce même terme ocupe dans l'ordre des termes de la puissance, est le coefficient du terme suivant. Ainsi la 4 puissance du binome a + b entierement formée eft,

a++ 4a3b+6aabb+4ab3+b+. Il en est ainsi des autres. S'il y a quelque nombre entier ou rompu qui précede l'un des deux, ou tous les deux termes du binome on multipliera le coefficient de chaque terme de la puiffance par une puissance de ce nombre égale à celle où la lettre qu'il précede y est élevée. Ainsi pour élever a+2b à la 3o puissance, l'on y élevera premierement a + b & l'on aura a3 + zaab+3abb+b2, l'on multipliera enfuite les coefficiens des termes où b se rencontre par la puissance de 2 égale à celle où b y est élevée, c'est-à-dire que l'on multipliera zaab par 2, 3abb par4, & b par 8, & l'on aura a3 + 6aab+12abb+8l, qui fera le cube de a+2b.