On peut aussi élever par les mêmes régles un binome quelconque p + qà une puissance indéterminée m (mfi. gnifie un nombre quelconque entier ou rompu, positif

quel

ou négatif) qui fera,

voit que la premiere lettre p du binome a pour exposant dans tous les termes, m moins un nombre entier; c'est pourquoi fi ce nombre entier se trouve dans quelqu'un égal àm, l'exposant de p y fera = 0; & par confequent p=1, & ce terme fera le dernier de la puissance m du binome p + q. Mais fi ce nombre entier ne se trouve jamais =m, la puissance m du binome p+q pourra être continuée à l'infini.

31. Le binome p + q élevé à la puissance m, comme on vient de faire, peut fervir de formule generale, pour élever un binome, ou un polynome quelconque à une puissance donnée.

Soit par exemple 2ax-xx qu'il faut élever à la 3o puiffance.

XX

Xx

Ayant suppose 2ax = p =q, & m= 3, l'on substituera en la place dep, deq, & dem, leurs valeurs 24x, & 3; & en la place des puissances de p & de q, les puissances égales de leurs valeurs 2ax & - xx, & l'on aura 8a x3-12adx++6ax-x6 pour la puiffance cherchée: car m devient = 3 au qua triéme terme de la Formule. De même pour élever a + b-cà la 3o puissance. Ayant suppose a=p, b-cq; &m=3, l'on aura aprés les substitutions a3+3aab+

ب

zabb+b2
заас
en est ainsi des autres.

Gabc+3acc-3bbc+zbacc-c. II

32. On fe contente quelquefois pour élever uu polynome à une puissance donnée, d'écrire à sa droite l'exposant de la puissance à laquelle on le veut élever. Ainfi pour élever a + b au quarré, on écrit a + b2; pour l'élever au cube, l'on écrit a + b' ; & en general, pour éle

2

ver a + b à la puissance m, l'on écrit a + b. m fignifie un nombre quelconque entier ou rompu, positifou négatif. 33. Il est clair que pour élever une puissance quelconque d'un polynome, formée comme on vient de dire, à une puissance donnée, il n'y a qu'à multiplier l'expofant de l'une par l'exposant de l'autre. Ainfi pour élever

a + bà la

m

e

6

a+b.

3o puissance, l'on écrira a + b2 pour élever a + b au quarré, ou à la 2o puissance, l'on écrira a + b2. Pour élever a + b à la puissance n, l'on écrira a + b. Il en est ainsi des autres.

2+3

773

2

34. Il est encore évident que pour multiplier deux puissances de la même quantité complexe, formées comme on a dit no. 32. il n'y a qu'à ajouter ensemble leurs posans. Ainsi pour multiplier a+b+para+b3, l'on écri=a+bia+bix a+bc-s =a+bab "; a + b xa + b ̄"=a+b" a+b=a+b =a+b =1.

ra

a+b

-2-5 a+b-c

a-b

m+n

m

-m

m-m

3.

0

DIVISION

Des quantitez algebriques incomplexes & complexes.
REGLE GENERALE.

35. On écrira le diviseur au dessous du dividende en forme de fraction, & l'on prendra cette fraction pour le quotient de la division. En effet, puisque toute divifion numerique exprimée, comme on vient de dire, est égale à son quotient, par exemple

= 3;=, & quelle peut par consequent être prise pour fon quotient; il en doit être de même des divisions algebriques. Ainfi

pour diviser ab parc, l'on écrira ab

:

36. Mais comme il est toujours necessaire de réduire les quantitez algebriques à leurs plus fimples expreffions lorsqu'il est possible, & que les divisions, ou fractions dont on vient de parler, n'y sont pas toujours réduites, il faut donner les règles necessaires pour cet effet..

Il y a differentes manieres, ou plutôt, il y a des cas où il faut operer d'une certaine maniere; d'autres, où il faut operer d'une autre maniere pour réduire les fraca tions ou les divisions à leurs plus fimples termes. Nous ne donnerons à present que le cas où l'operation eft celle qu'on a toujours nommée division; les autres se trou veront ailleurs.

DIVISION

Des quantitez incomplexes.

37.IL est évident(n°.14 & 15) que lorsque le dividende est le produit du diviseur par une autre quantité quelconque, le quotient sera le dividende, aprés en avoir effacé le diviseur. Ainsi le quotient de ab divise par a eft b c'est-à-dire que = b; le quotient de abc divisé par

ab

Il y a souvent des nombres autres que l'unité qui précedent ou le dividende, ou le diviseur, & quelquefois tous les deux. Il faut aussi avoir égard aux fignes. Voici la regle qu'il faut observer.

38. On divisera par les regles de la division numerique, le nombre qui précede le dividende par celui qui précede le diviseur, & (n°. 37), les lettres du dividende par celles du diviseur, & l'on donnera au quotient le signe + fi le dividende & le diviseur ont tous deux le même figne + ou -; & fi l'una + & l'autre -, l'on donnera

12

est 46: car 2 = 4, & ab

au quotient le signe -. Ainfi le quotient de 12ab par 34 =4b. -124366 -зав

3

De même 12abc

-4ac

a

36;

= a, & partant

4aab. Il en est ainsi des autres.

Izab
34

Sab;

39. Si le dividende & le diviseur sont semblables, &

a

Izab

12ab

1.

égaux, le quotient sera l'unité. Ainsi = 1; Ce qui suit de ce que toute quantité se mesure, ou fe contient elle même une fois.

40. Il arrive souvent que les nombres se peuvent di. viser, & que les lettres ne se peuvent pas diviser; & au contraire, auquel cas il faut diviser ce qui se peut diviser, & laisser le reste en fraction. Ainfi nab

36

4ab Sabc
зав

6

ز

86

3.

41. Lorsque niles nombres, ni les lettres ne se peuvent diviser, on écrit le diviseur au dessous du dividende en forme de fraction; & c'est en ce cas qu'il est necessaire de prendre cette fraction pour le quotient de la divifion. Ainsi pour diviser a parb, l'on écrira; pour di

viser 3ab par 2c, l'on écrira 3ab ; pour diviser - 2ab par

; pour diviser sab par - 20, l'on écrira, ou; pour diviser-4ab par-3c, l'on

changemens de fignes que l'on vient de faire.

Si l'on multiplie le quotient d'une division par le diviseur, il viendra la quantité à diviser: car la multiplication, & la division ont des effets contraires, aussi-bien que l'addition & la soustraction.

42. Il est clair (no. 21 & 37 ) que pour diviser une puif fance fance quelconque d'une quantité incomplexe par une puissance quelconque de la même quantité, il n'y a qu'à Toustraire l'exposant du diviseur de l'exposant du dividende. Ainfi=a

3-2

= a*b=abb;

43. LORSQUEle dividende est le produit du diviseur par quelqu'autre quantité, il est clair que la division se fera toujours exactement aussi-bien que celle des quantitez incomplexes.

• Or il est souvent aisé de voir si une quantité que l'on yeut diviser par une autre quantité, est le produit de la quantité qui doit être le diviseur par une troifiéme quan. tité; & alors le quotient sera cette troisième quantité. Ainfi ax - bx divisée par a-b, donnée au quotient x car ax bx est le produit de a - b x x ; & ax - bx divisée par x, donne au quotient a - b. Pareillement

44. Lorsqu'on ne peut pas aisément voir si une quantité complexe peut être divisée par une autre quantité complexe, il faut l'examiner par la reglequi fuit, qui est celle qu'on appelle division.

45. Pour faire plus facilement la division des quanti tez complexes, on examine dans les deux quantitez que l'on veut diviser l'une par l'autre, qu'elle est la lettre qui se trouve le plus fréquemment avec des dimensions differentes ; & l'on écrit dans l'une & dans l'autre quantité le terme, où cette lettre a plus de dimensions, le premier, & ensuite les autres termes, selon l'ordre des puis sances de la même lettre. Quelques-uns appellent cette lettre, lettre dominante.

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