Je dis, le premier terme aa est un quarré, dont la racine est a que j'écris au Quotient, & je soustrais le quarré de a qui est aa du premier terme aa de la quantité proposée, en l'écrivant au-dessous avec le signe - Je réduis à la maniere de la division la quantité proposée, & le quarré soustrait, & j'écris la Réduction A au-dessous d'une ligne.

Je double le Quotient a, ce qui me donne 2a que j'écris à la gauche de la Réduction A, & qui fait partie du premier diviseur. Je divise le premier terme + 2ab de la quantité A par 2a ; ce qui me donne + 6 que j'écris au Quotient, & à la droite du diviseur 2a, & j'ai le premier diviseur complet 2a + b que je multiplie par le nouveau Quotient b, & j'ai plus zab+bb que je fouftrais de la quantité A, en l'écrivant au-dessous avec des signes contraires, & la Réduction de ces deux quantitez me donne la quantité B. Je double le Quotient a + b, & j'ai 24+26 pour une partie du nouveau diviseur que j'écris à la gauche de B. Je divise de nouveau le premier terme 2ac de la quantité B par + 2a, ce qui me donne c que j'écris au Quotient, & à la droite du nouveau diviseur 2a + 2b; ce qui fait 2a + 2b + c pour le second diviseur complet. Je multiplie ce second diviseur 28

+26+ c par le nouveau Quotient, & j'ai 2ac+2bc+cc que j'écris au-dessous de la quantité Bavec des signes contraires ; & réduisant ces deux quantitez je trouve zero pour la troisième Réduction; d'où je conclus que l'operation est achevée, & que par consequent,

Vaa+2ab+bb+2ac+2bc+a=a+b+c.

So

EXEMPLE II.

ΟΙΤ Tla quantité gaa - 12ab + 4bb dont il faut extraire la racine quarrée.

Le premier terme gaa étant un quarré dont la racine est 34; j'écris za au Quotient, & fon quarré gas au-defsous de gaa avec le signe -, & la premiere Réduction est la quantité A. Je double le Quotient za, ce qui me donne 6a, qui font partie du premier diviseur, & que j'écris à la gauche de la quantité A. Je divise 12ab par + 6a, ce qui me donne - 2b que j'écris au Quotient & à la droite de 6a, & j'ai par ce moyen le diviseur complet 6a - 2b. Je multiplie 6a 2b par 2b, ce qui me donne 12ab + 4bb, & j'écris + 12ab -4bb audessous de la quantité A. Je réduis ces deux dernieres quantitez, & la Réduction B qui se trouve égale à zero, fait voir que la quantité proposée est un quarré dont la racine est 3a - 2b, c'est-à-dire, que √9aa-12ab+4bb

za

2b.

-

S'il venoit une Réduction qui ne pût être divisée par le double du Quotient, ce seroit une marque que la quantité proposée ne feroit point quarrée; & il faudroit al ors fe contenter de lamettre sous le signe radical. Par exemple, fi on vouloit extraire la racine quarrée de aa + bb, l'on trouveroit que la racine de aa est a : mais on ne pourroit diviser la Réduction bb par ce qui feroit voir que aa + bb, n'est point un quarré; c'est pourquoi il faudroit se contenter d'en exprimer la racine en cette forte Vaa + bb. Il en est ainsi des autres.

24,

Au reste, il est aisé de connoître par la formation des puissances, ou lorsqu'on a un peu d'habitude dans le calcul algebrique, fi une quantité proposée est quarrée, ou un cube, &c. & d'en extraire par consequent la racine sans le secours d'aucune operation, ou par la seule inf pection des termes de la quantité proposée.

63. Mais sans cela, & sans le secours des Régles que nous venons de donner, l'on peut, avec toute la facilité possible extraire toutes fortes de racines, quarrées, cụbes, quarrées quarrées, &c. par le moyen de la formule generale proposée n°. 30: car pour cela il n'y a qu'à regarder les quantitez dont on veut extraire une racine quelconque, comme des quantitez qu'il faut élever à une puissance dont l'exposant foit celui de la racine qu'on veut extraire, c'est-à-dire, que cet exposant soit

I

2

I

4

fi

fi

c'est la racine quarrée;, si c'est la racine cube; c'est la racine quarrée quarrée, &c. ce qui est facile en suivant ce qui est prescrit no. 31, comme on va voir par les Exemples qui suivent.

EXEMPLE I.

SOIT la quantité a - zaab + 3abb - b dont il faut extraire la racine cube, ou ce qui est la même chose,

qu'il faut élever à la puissance.

3

:

Ayant fait a3 =p, zaab+3abb - L'=q, & mettant ces valeurs de p & de q dans les deux premiers ter

m

a de la formule genera'e proposée no,

30; (car les autres termes sontinutiles, lorsque les raci

nes qu'on veut extraire, sont rationnelles ;) l'on aura a

3m

& faifant encore m

3

x-zaab+jabb-b', ou

-273

bb-ab: mais parceque

3

le second terme-a ̄?+?b=-ab th=b; le

troisieme & quatriéme terme font nuls. Ainsi l'on a a-b

pour la racine cherchée, c'est-à-dire, que

SOI

EXEMPLE II.

O I T la quantité aa+ 2ab2ac+bb-2bc+ce dont

il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à

2

-2ac+bb

26c+

Ayant fait aa ou a2 = p, + 2ab ec === q, & mettant ces valeurs de p & de q dans les deux

m

m-I

premiers termes de la Formule p + mp q, l'on aura

12

bc+a

I

2

2

1-2

a

1-2+1

I
c+a

2

12

bb

10

1-2

cc. Mais parceque le second & troisième

terme deviennent b, &- c; il suit que tous les autres termes, où b, & c se rencontrent sont nuls. Ainfi

I

EXEMPLE III.

Sort la quantité gaa + 12ab+466 dont il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à la puis

fance.

2

+

=

Ayant supposé gaa, ou ga2=p, & 12ab 466 & mettant ces valeurs de p & de q dans les deux premiers

m

m2m

termes de la Formule p + mp q, l'on aura 9 "a

x 12ab+4bb,ou en faisant m

X

1

a x 12ab+466: mais 9 ou √9 = 3; donc 3a+

I

ax 12ab+466,ou

b+a bb, ou za +

6

2ab+

+a

3

I

X

bb: mais le second terme za b = 16; c'est pourquoi ce second terme est le dernier, & le troifiéme est nul. Ainsi

64. S 1 dans aucun terme la valeur de m, exposant de p, ne se trouvoit point = o, la racinede la quantité proposée seroit irrationnelle, & l'extraction se pourroit continuer à l'infini; ce qu'on appelle approximation des racines :mais cela n'est point necessaire pour l'Application de l'Algebre à la Geometrie: car lorsque la racine d'une quantité est irrationnelle, on se contente de l'exprimer par le moyen du signe radical qui lui convient, comme on a déja dit,& comme on pourra voir dans la fuite.

Pour